Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве
Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.
Уравнение прямой в пространстве: общие сведения
Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.
Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.
Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей
Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.
Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.
Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.
Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .
Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:
x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0
Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.
Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.
Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.
Параметрические уравнения прямой в пространстве
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.
Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:
x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1
Рассмотрим конкретный пример:
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .
Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .
Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой в пространстве
Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .
Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .
Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .
Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .
Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.
Уравнения прямых и плоскостей
Поверхности и линии первого порядка.
Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label
$$
при условии \(A^<2>+B^ <2>\neq 0\).
В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref
В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.
В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.
Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.
Параметрические уравнения прямой и плоскости.
Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.
Рис. 6.1
Вектор \(\overrightarrow
$$
\boldsymbol
$$
Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref
Уравнение \eqref
Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.
Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol
Рис. 6.2
Вектор \(\overrightarrow
\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol
$$
\boldsymbol
+t_<2>\boldsymbol.\label
$$
Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_<1>\) и \(t_<2>\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_<1>\) и \(t_<2>\), уравнение \eqref
Пусть \((x, y, z)\) и \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) — координаты точек \(M\) и \(M_<0>\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) имеют компоненты \((p_<1>, p_<2>, p_<3>)\) и \((q_<1>, q_<2>, q_<3>)\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref
$$
x-x_ <0>= t_<1>p_<1>+t_<2>q_<1>,\ y-y_ <0>= t_<1>p_<2>+t_<2>q_<2>,\ z-z_ <0>= t_<1>p_<3>+t_<2>q_<3>.\label
$$
Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.
Прямая линия на плоскости.
Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.
В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) и направляющим вектором \(\boldsymbol(a_<1>, a_<2>)\) может быть записано в виде \eqref
Уравнение \eqref
Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol
Действительно, в этом случае \((\boldsymbol, \boldsymbol
Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_<2>/a_<1>\) (рис. 6.3).
Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2
Отношение компонент направляющего вектора \(a_<2>/a_<1>\) называется угловым коэффициентом прямой.
Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol
Рис. 6.4. \(k=\operatorname
Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref
Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref
Векторные уравнения плоскости и прямой.
Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_<0>\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol
, \boldsymbol) = 0.\label
$$
Вектор \(\boldsymbol
, \boldsymbol]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Уравнения \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref
$$
(\boldsymbol
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol
Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol
Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol
Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol
$$
(x\boldsymbol
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol
$$
A = (\boldsymbol
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol
Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol
$$
\boldsymbol
$$
Вектор \(\boldsymbol
Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol
$$
x(\boldsymbol
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol
Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).
Это сразу вытекает из формул \eqref
Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref
Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.
Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.
Действительно, \(\alpha_<1>, \alpha_<2>\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.
Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.
Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.
Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B.\label
$$
Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref
$$
C_ <1>= \lambda C.\label
$$
Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_<1>, A_<1>)\) — направляющие векторы прямых.
Докажем вторую часть. В равенствах \eqref
Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_ <1>= 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) обеих прямых, то \(Ax_<0>+By_<0>+C = 0\) и \(\lambda(Ax_<0>+By_<0>)+C_ <1>= 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_ <1>= \lambda C\), как и требовалось.
Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B,\ C_ <1>= \lambda C.\label
$$
Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref
$$
D_ <1>= \lambda D.\label
$$
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol
Условия \eqref
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0,\label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0.\label
$$
Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.
При условии \eqref
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_<1>\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_<1>\) система имеет единственное решение \((x, y)\).
Уравнения прямой в пространстве.
Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\<\begin
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0.
\end
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\label
$$
Разумеется, систему \eqref
Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref
$$
t = \frac
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac
$$
Уравнения \eqref
Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_<0>,\ \frac
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_<0>\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_<1>\), а другая компонента.
Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\) и \(\alpha_<2>\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_<0>,\ y = y_<0>.\label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.
Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref
Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_<1>t+\beta_<1>,\ y = \alpha_<2>t+\beta_<2>,\ z = t.\nonumber
$$
Первые две координаты начальной точки прямой \(M_<0>(\beta_<1>, \beta_<2>, 0)\) можно получить, решая систему \eqref
Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_<1>, B_<1>, C_<1>\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
$$
Вектор с компонентами \eqref
Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, \alpha_<3>)\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_ <3>= 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_<1>\alpha_<1>+B_<1>\alpha_<2>+C_<1>\alpha_ <3>= 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref
Способы задавания уравнений прямых в плоскости и в трехмерном пространстве
Прямая является основным геометрическим объектом на плоскости и в трехмерном пространстве. Именно из прямых строятся многие фигуры, например: параллелограмм, треугольник, призма, пирамида и так далее. Рассмотрим в статье различные способы задавания уравнений прямых.
Определение прямой и виды уравнений для ее описания
Каждый школьник хорошо себе представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. Прямую можно представить как совокупность точек, причем если соединить каждую из них по очереди со всеми остальными, то мы получим набор параллельных векторов. Иными словами, попасть в каждую точку прямой можно из одной фиксированной ее точки, перенося ее на некоторый единичный вектор, умноженный на действительное число. Это определение прямой используется для задавания векторного равенства для ее математического описания как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Вам будет интересно: Муляж — это необходимость или выдумка?
Прямая может быть математически представлена следующими видами уравнений:
- общее;
- векторное;
- параметрическое;
- в отрезках;
- симметричное (каноническое).
Далее рассмотрим все названные виды и покажем на примерах решения задач, как с ними работать.
Векторное и параметрическое описание прямой
Вам будет интересно: Размер бумаги А3 в сантиметрах и не только: краткий путеводитель
Начнем с задавания прямой через известный вектор. Предположим, что в пространстве имеется фиксированная точка M(x0; y0; z0). Известно, что прямая проходит через нее и направлена вдоль векторного отрезка v¯(a; b; c). Как по этим данным найти произвольную точку прямой? Ответ на этот вопрос даст следующее равенство:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c)
Где λ — произвольное число.
Аналогичное выражение можно записать для двумерного случая, где координаты векторов и точек представлены набором из двух чисел:
(x; y) = (x0; y0) + λ * (a; b)
Записанные уравнения называются векторными, а сам направленный отрезок v¯ — это направляющий вектор для прямой.
Из записанных выражений соответствующие параметрические уравнения получаются просто, достаточно лишь переписать их в явном виде. Например, для случая в пространстве получаем следующее уравнение:
С параметрическими уравнениями удобно работать, если необходимо проанализировать поведение каждой координаты. Заметим, что хотя параметр λ может принимать произвольные значения, но во всех трех равенствах он должен быть одинаковым.
Общее уравнение
Другим способом задавания прямой, который часто используют для работы с рассматриваемым геометрическим объектом, является применение уравнения общего вида. Для двумерного случая оно имеет вид:
A * x + B * y + C = 0
Здесь большие латинские буквы представляют конкретные числовые значения. Удобство данного равенства при решении задач заключается в том, что оно в явном виде содержит вектор, который перпендикулярен прямой. Если обозначить его n¯, тогда можно записать:
Кроме того, выражение удобно применять для определения расстояния от прямой до некоторой точки P(x1; y1). Формула для расстояния d имеет вид:
d = |A * x1 + B * y1 + C| / √(A2 + B2)
Несложно показать, что если из общего уравнения выразить явно переменную y, то получится следующая известная форма записи прямой:
Где k и b однозначно определяются числами A, B, C.
Уравнение в отрезках и каноническое
Уравнение в отрезках проще всего получить из общего вида. Покажем, как это можно сделать.
Предположим, что имеется следующая прямая:
A * x + B * y + C = 0
Перенесем свободный член в правую часть равенства, затем поделим на него все уравнение, получаем:
x / (-C / A) + y / (-C / B) = 1;
x / q + y / p = 1, где q = -C / A, p = -C / B
Мы получили так называемое уравнение в отрезках. Свое название оно получило по причине того, что знаменатель, на который делится каждая переменная, показывает значение координаты пересечения прямой с соответствующей осью. Этот факт удобно использовать для изображения прямой в координатной системе, а также для анализа ее взаимного расположения по отношению к другим геометрическим объектам (прямым, точкам).
Теперь перейдем к получению канонического уравнения. Это проще сделать, если рассмотреть параметрический вариант. Для случая на плоскости имеем:
Выразим параметр λ в каждом равенстве, затем приравняем их, получаем:
(x — x0) / a = (y — y0) / b
Это и есть искомое уравнение, записанное в симметричной форме. Так же, как и векторное выражение, оно в явной форме содержит координаты направляющего вектора и координаты одной из точек, которая принадлежит прямой.
Можно заметить, что в данном пункте мы привели уравнения для двумерного случая. Аналогичным образом можно составить уравнение прямой в пространстве. Здесь нужно заметить, что если каноническая форма записи и выражение в отрезках будут иметь такой же вид, то общее уравнение в пространстве для прямой представляется системой из двух уравнений для пересекающихся плоскостей.
Задача на построение уравнения прямой
Из геометрии каждый школьник знает, что через две точки можно начертить единственную линию. Предположим, что в координатной плоскости заданы следующие точки:
Следует найти уравнение прямой, которой принадлежат обе точки, в отрезках, в векторном, каноническом и в общем виде.
Получим сначала векторное уравнение. Для этого следует определить для прямой направляющий вектор M1M2¯:
M1M2¯ = (-1; 3) — (1; 2) = (-2; 1)
Теперь можно составить векторное уравнение, взяв одну из двух заданных в условии задачи точек, например, M2:
(x; y) = (-1; 3) + λ * (-2; 1)
Чтобы получить каноническое уравнение, достаточно преобразовать найденное равенство в параметрический вид и исключить параметр λ. Имеем:
x = -1 — 2 * λ, следовательно, λ = x + 1 / (-2);
y = 3 + λ, далее получаем λ = y — 3;
x + 1 / (-2) = (y — 3) / 1
Оставшиеся два уравнения (общее и в отрезках) можно найти из канонического, преобразуя его следующим образом:
общее уравнение: x + 2 * y — 5 = 0;
в отрезках уравнение: x / 5 + y / 2,5 = 1
Полученные уравнения показывают, что вектор (1; 2) должен быть перпендикулярен прямой. Действительно, если найти его скалярное произведение с направляющим вектором, то оно будет равно нулю. Уравнение в отрезках говорит, что прямая пересекает ось x в точке (5; 0), а ось y — в точке (2,5; 0).
Задача на определение точки пересечения прямых
На плоскости заданы две прямые следующими уравнениями:
(x; y) = (0; -1) + λ * (-1; 3)
Необходимо определить координаты точки, в которой эти прямые пересекаются.
Решить задачу можно двумя способами:
Поступим вторым способом. Имеем:
2 * (-λ) + (-1) + 3 * λ — 1 = 0;
Подставляем полученное число в векторное уравнение:
(x; y) = (0; -1) + 2 * (-1; 3) = (-2; 5)
Таким образом, единственной точкой, которая принадлежит обеим прямым, является точка с координатами (-2; 5). В ней прямые пересекаются.
http://univerlib.com/analytic_geometry/vector_algebra/lines_and_planes_equations/
http://1ku.ru/obrazovanie/41786-sposoby-zadavanija-uravnenij-prjamyh-v-ploskosti-i-v-trehmernom-prostranstve/