Векторное и скалярное виды уравнения

Скалярное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

Сначала докажем равенства

для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:

то последнее равенство можно переписать так:

а по первому определению скалярного произведения имеем

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

→0 * →0 = 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

→a * →a = →∣∣a∣∣2

Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

→a * →b = →b * →a

Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

(→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c

Сочетательный закон для скалярного произведения:

(k * →a) * →b = k * (→a * →b)

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Введем систему координат.

Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:

Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:

Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:

Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Линейная алгебра для разработчиков игр

Эта статья является переводом цикла из четырёх статей «Linear algebra for game developers», написанных David Rosen и посвящённых линейной алгебре и её применению в разработке игр. С оригинальными статьями можно ознакомиться тут: часть 1, часть 2, часть 3 и часть 4. Я не стал публиковать переводы отдельными топиками, а объединил все статьи в одну. Думаю, что так будет удобнее воспринимать материал и работать с ним. Итак приступим.

Зачем нам линейная алгебра?

Одним из направлений в линейной алгебре является изучение векторов. Если в вашей игре применяется позиционирование экранных кнопок, работа с камерой и её направлением, скоростями объектов, то вам придётся иметь дело с векторами. Чем лучше вы понимаете линейную алгебру, тем больший контроль вы получаете над поведением векторов и, следовательно, над вашей игрой.

Что такое вектор?

В играх вектора используются для хранения местоположений, направлений и скоростей. Ниже приведён пример двухмерного вектора:

Вектор местоположения (также называемый «радиус-вектором») показывает, что человек стоит в двух метрах восточнее и в одном метре к северу от исходной точки. Вектор скорости показывает, что за единицу времени самолёт перемещается на три километра вверх и на два — влево. Вектор направления говорит нам о том, что пистолет направлен вправо.

Как вы можете заметить, вектор сам по себе всего лишь набор цифр, который обретает тот или иной смысл в зависимости от контекста. К примеру, вектор (1, 0) может быть как направлением для оружия, как показано на картинке, так и координатами строения в одну милю к востоку от вашей текущей позиции. Или скоростью улитки, которая двигается вправо со скоростью в 1 милю в час (прим. переводчика: довольно быстро для улитки, 44 сантиметра в секунду).

Важно отслеживать единицы измерения. Допустим у нас есть вектор V (3,5,2). Это мало что говорит нам. Три чего, пять чего? В нашей игре Overgrowth расстояния указываются в метрах, а скорости в метрах в секунду. Первое число в этом векторе — это направление на восток, второе — направление вверх, третье — направление на север. Отрицательные числа обозначают противоположные направления, на запад, вниз и на юг. Местоположение, определяемое вектором V (3,5,2), находится в трёх метрах к востоку, в пяти метрах вверху и в двух метрах к северу, как показано на картинке ниже.

Итак, мы изучили основы работы с векторами. Теперь узнаем как вектора использовать.

Сложение векторов

Чтобы сложить вектора, нам надо просто сложить каждую их составляющую друг с другом. Например:

(0, 1, 4) + (3, -2, 5) = (0+3, 1-2, 4+5) = (3, -1, 9)

Зачем нам нужно складывать вектора? Наиболее часто сложение векторов в играх применяется для физического интегрирования. Любой физический объект будет иметь вектора для местоположения, скорости и ускорения. Для каждого кадра (обычно это одна шестидесятая часть секунды), мы должны интегрировать два вектора: добавить скорость к местоположению и ускорение к скорости.

Давайте рассмотрим пример с прыжками Марио. Он начинает с позиции (0, 0). В момент начала прыжка его скорость (1, 3), он быстро двигается вверх и вправо. Его ускорение равно (0, -1), так как гравитация тянет его вниз. На картинке показано, как выглядит его прыжок, разбитый на семь кадров. Чёрным текстом показана его скорость в каждом фрейме.

Давайте рассмотрим первые кадры поподробнее, чтобы понять как всё происходит.

Для первого кадра, мы добавляем скорость Марио (1, 3) к его местоположению (0, 0) и получаем его новые координаты (1, 3). Затем мы складываем ускорение (0, -1) с его скоростью (1, 3) и получаем новое значение скорости Марио (1, 2).

Делаем то-же самое для второго кадра. Добавляем скорость (1, 2) к местоположению (1, 3) и получаем координаты (2, 5). Затем добавляем ускорение (0, -1) к его скорости (1, 2) и получаем новую скорость (1, 1).

Обычно игрок контролирует ускорение игрового персонажа с помощью клавиатуры или геймпада, а игра, в свою очередь, рассчитывает новые значения для скоростей и местоположения, используя физическое сложение (через сложение векторов). Это та-же задача, которая решается в интегральном исчислении, просто мы его сильно упрощаем для нашей игры. Я заметил, что мне намного проще внимательно слушать лекции по интегральному исчислению, думая о практическом его применении, которое мы только что описали.

Вычитание векторов

Вычитание рассчитывается по тому-же принципу что и сложение — вычитаем соответствующие компоненты векторов. Вычитание векторов удобно для получения вектора, который показывает из одного местоположения на другое. Например, пусть игрок находится по координатам (1, 2) с лазерным ружьём, а вражеский робот находится по координатам (4, 3). Чтобы определить вектор движения лазерного луча, который поразит робота, нам надо вычесть местоположение игрока из местоположения робота. Получаем:

(4, 3) — (1, 2) = (4-1, 3-2) = (3, 1).

Умножение вектора на скаляр

Когда мы говорим о векторах, мы называем отдельные числа скалярами. Например (3, 4) — вектор, а 5 — это скаляр. В играх, часто бывает нужно умножить вектор на число (скаляр). Например, моделируя простое сопротивление воздуха путём умножения скорости игрока на 0.9 в каждом кадре. Чтобы сделать это, нам надо умножить каждый компонент вектора на скаляр. Если скорость игрока (10, 20), то новая скорость будет:

0.9*(10, 20) = (0.9 * 10, 0.9 * 20) = (9, 18).

Длина вектора

Если у нас есть корабль с вектором скорости V (4, 3), нам также понадобится узнать как быстро он двигается, чтобы посчитать потребность в экранном пространстве или сколько потребуется топлива. Чтобы сделать это, нам понадобится найти длину (модуль) вектора V. Длина вектора обозначается вертикальными линиями, в нашем случае длина вектора V будет обозначаться как |V|.

Мы можем представить V как прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 3 и, применяя теорему Пифагора, получить гипотенузу из выражения: x 2 + y 2 = h 2

В нашем случае — длину вектора H с компонентами (x, y) мы получаем из квадратного корня: sqrt(x 2 + y 2 ).

Итак, скорость нашего корабля равна:

|V| = sqrt(4 2 + 3 2 ) = sqrt(25) = 5

Этот подход используется и для трёхмерных векторов. Длина вектора с компонентами (x, y, z) рассчитывается как sqrt(x 2 + y 2 + z 2 )

Расстояние

Если игрок P находится в точке (3, 3), а взрыв произошёл в точке E по координатам (1, 2), нам надо определить расстояние между игроком и взрывом, чтобы рассчитать степень ущерба, нанесённого игроку. Это легко сделать, комбинируя две вышеописанных операции: вычитание векторов и их длину.
Мы вычитаем P — E, чтобы получить вектор между ними. А затем определяем длину этого вектора, что и даёт нам искомое расстояние. Порядок следования операндов тут не имеет значения, |E — P| даст тот-же самый результат.

Расстояние = |P — E| = |(3, 3) — (1, 2)| = |(2, 1)| = sqrt(2 2 +1 2 ) = sqrt(5) = 2.23

Нормализация

Когда мы имеем дело с направлениями (в отличие от местоположений и скоростей), важно, чтобы вектор направления имел длину, равную единице. Это сильно упрощает нам жизнь. Например, допустим орудие развёрнуто в направлении (1, 0) и выстреливает снаряд со скоростью 20 метров в секунду. Каков в данном случае вектор скорости для выпущенного снаряда?

Так как вектор направления имеет длину равную единице, мы умножаем направление на скорость снаряда и получаем вектор скорости (20, 0). Если-же вектор направления имеет отличную от единицы длину, мы не сможем сделать этого. Снаряд будет либо слишком быстрым, либо слишком медленным.

Вектор с длиной равной единице называется «нормализованным». Как сделать вектор нормализованным? Довольно просто. Мы делим каждый компонент вектора на его длину. Если, к примеру, мы хотим нормализовать вектор V с компонентами (3, 4), мы просто делим каждый компонент на его длину, то есть на 5, и получаем (3/5, 4/5). Теперь, с помощью теоремы Пифагора, мы убедимся в том, что его длина равна единице:

(3/5) 2 + (4/5) 2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1

Скалярное произведение векторов

Что такое скалярное произведение (записывается как •)? Чтобы рассчитать скалярное произведение двух векторов, мы должны умножить их компоненты, а затем сложить полученные результаты вместе

(a1, a2) • (b1, b2) = a1b1 + a2b2

Например: (3, 2) • (1, 4) = 3*1 + 2*4 = 11. На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это:

Здесь мы можем увидеть, что если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение больше нуля. Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю. И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение меньше нуля.
В основном, с помощью скалярного произведения векторов можно рассчитать, сколько их указывает в одном направлении. И хоть это лишь малая часть возможностей скалярного произведения, но уже очень для нас полезная.

Допустим у нас есть стражник, расположенный в G(1, 3) смотрящий в направлении D(1,1), с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H(3, 2). Как определить, находится-ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путём скалярного произведения векторов D и V (вектора, направленного от стражника к главному герою). Мы получим следующее:

V = H — G = (3, 2) — (1, 3) = (3-1, 2-3) = (2, -1)
D•V = (1, 1) • (2, -1) = 1*2 + 1*-1 = 2-1 = 1

Так как единица больше нуля, то главный герой находится в поле зрения стражника.

Мы уже знаем, что скалярное произведение имеет отношение к определению направления векторов. А каково его более точное определение? Математическое выражение скалярного произведения векторов выглядит так:

Где Θ (произносится как «theta») — угол между векторами A и B.

Это позволяет нам найти Θ (угол) с помощью выражения:

Как я говорил ранее, нормализация векторов упрощает нашу жизнь. И если A и B нормализованы, то выражение упрощается следующим образом:

Давайте опять рассмотрим сценарий со стражником. Пусть теперь угол обзора стражника будет равен 120 градусам. Получим нормализованные вектора для направления взгляда стражника (D’) и для направления от стражника к главному герою (V’). Затем определим угол между ними. Если угол более 60 градусов (половина от угла обзора), то главный герой находится вне поля зрения стражника.

D’ = D / |D| = (1, 1) / sqrt(1 2 + 1 2 ) = (1, 1) / sqrt(2) = (0.71, 0.71)
V’ = V / |V| = (2, -1) / sqrt(2 2 + (-1) 2 ) = (2,-1) / sqrt(5) = (0.89, -0.45)

Θ = acos(D’V’) = acos(0.71*0.89 + 0.71*(-0.45)) = acos(0.31) = 72

Угол между центром поля зрения стражника и местоположением главного героя составляет 72 градуса, следовательно стражник его не видит.

Понимаю, что это выглядит довольно сложно, но это потому, что мы всё делаем вручную. В программе это всё довольно просто. Ниже показано как я сделал это в нашей игре Overgrowth с помощью написанных мной С++ библиотек для работы с векторами:

Векторное произведение

Допустим у нас есть корабль с пушками, которые стреляют в правую и в левую стороны по курсу. Допустим, что лодка расположена вдоль вектора направления (2, 1). В каких направлениях теперь стреляют пушки?

Это довольно просто в двухмерной графике. Чтобы повернуть направление на 90 градусов по часовой стрелке, достаточно поменять местами компоненты вектора, а затем поменять знак второму компоненту.
(a, b) превращается в (b, -a). Следовательно у корабля, расположенного вдоль вектора (2, 1), пушки справа по борту будут стрелять в направлении (1, -2), а пушки с левого борта, будут стрелять в противоположном направлении. Меняем знаки у компонент вектора и получаем (-1, 2).

А что если мы хотим рассчитать это всё для трехмерной графики? Рассмотрим пример с кораблём.
У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх (0, 1, 0) и направление ветра: север-северо-восток W (1, 0, 2). И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер».

Для решения этой задачи мы используем векторное произведение: S = M x W.

Подставим теперь нужные нам значения:

S = MxW = (0, 1, 0) x (1, 0, 2) = ([1*2 — 0*0], [0*1 — 0*2], [0*0 — 1*1]) = (2, 0, -1)

Для расчётов вручную довольно сложно, но для графических и игровых приложений я рекомендую написать функцию, подобную той, что указана ниже и не вдаваться более в детали подобных расчётов.

Векторное произведение часто используется в играх, чтобы рассчитать нормали к поверхностям. Направления, в которых «смотрит» та или иная поверхность. Например, рассмотрим треугольник с векторами вершин A, B и С. Как мы найдем направление в котором «смотрит» треугольник, то есть направление перпендикулярное его плоскости? Это кажется сложным, но у нас есть инструмент для решения этой задачи.

Используем вычитание, для определения направления из A в С (C — A), пусть это будет «грань 1» (Edge 1) и направление из A в B (B — A), пусть это будет «грань 2» (Edge 2). А затем применим векторное произведение, чтобы найти вектор, перпендикулярный им обоим, то есть перпендикулярный плоскости треугольника, также называемый «нормалью к плоскости».

Вот так это выглядит в коде:

В играх основное выражение освещённости записывается как N • L, где N — это нормаль к освещаемой поверхности, а L — это нормализованный вектор направления света. В результате поверхность выглядит яркой, когда на неё прямо падает свет, и тёмной, когда этого не происходит.

Теперь перейдем к рассмотрению такого важного для разработчиков игр понятия, как «матрица преобразований» (transformation matrix).

Для начала изучим «строительные блоки» матрицы преобразований.

Базисный вектор

Допустим мы пишем игру Asteroids на очень старом «железе» и нам нужен простой двухмерный космический корабль, который может свободно вращаться в своей плоскости. Модель корабля выглядит так:

Как нам рисовать корабль, когда игрок поворачивает его на произвольный градус, скажем 49 градусов против часовой стрелки. Используя тригонометрию, мы можем написать функцию двухмерного поворота, которая принимает координаты точки и угол поворота, и возвращает координаты смещённой точки:

Применяя эту функцию ко всем трём точкам, мы получим следующую картину:

Операции с синусами и косинусами работают довольно медленно, но так как мы делаем расчёты лишь для трёх точек, это будет нормально работать даже на старом «железе» (прим. переводчика: в случаях, когда предполагается интенсивное использование тригонометрических функций, для ускорения вычислений, в памяти организуют таблицы значений для каждой функции и рассчитывают их во время запуска приложения. Затем при вычислении той или иной тригонометрической функции просто производится обращение к таблице).

Пусть теперь наш корабль выглядит вот так:

Теперь старый подход будет слишком медленным, так как надо будет поворачивать довольно большое количество точек. Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернём координатную решётку нашей модели?»

Как это работает? Давайте посмотрим внимательнее, что собой представляют координаты.
Когда мы говорим о точке с координатами (3, 2), мы говорим, что её местоположение находится в трех шагах от точки отсчёта по координатной оси X, и двух шагах от точки отсчёта по координатной оси Y.

По-умолчанию координатные оси расположены так: вектор координатной оси X (1, 0), вектор координатной оси Y (0, 1). И мы получим расположение: 3(1, 0) + 2(0, 1). Но координатные оси не обязательно должны быть в таком положении. Если мы повернём координатные оси, в это-же время мы повернём все точки в координатной решётке.

Чтобы получить повернутые оси X и Y мы применим тригонометрические функции, о которых говорили выше. Если мы поворачиваем на 49 градусов, то новая координатная ось X будет получена путём поворота вектора (0, 1) на 49 градусов, а новая координатная ось Y будет получена путём поворота вектора (0, 1) на 49 градусов. Итак вектор новой оси X у нас будет равен (0.66, 0.75), а вектор новой оси Y будет (-0.75, 0.66). Сделаем это вручную для нашей простой модели из трёх точек, чтобы убедиться, что это работает так, как нужно:

Координаты верхней точки (0, 2), что означает, что её новое местоположение находится в 0 на новой (повёрнутой) оси X и 2 на новой оси Y:

0*(0.66,0.75) + 2*(-0.75, 0.66) = (-1.5, 1.3)

Нижняя левая точка (-1, -1), что означает, что её новое местоположение находится в -1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y:

-1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (0.1, -1.4)

Нижняя правая точка (1, -1), что означает её новое местоположение находится в 1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y

1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (1.4, 0.1)

Мы показали, как координаты корабля отображаются в другой координатной сетке с повернутыми осями (или «базисными векторами»). Это удобно в нашем случае, так как избавляет нас от необходимости применять тригонометрические преобразования к каждой из точек модели корабля.

Каждый раз, когда мы изменяем базисные вектора (1, 0) и (0, 1) на (a, b) и (c, d), то новая координата точки (x, y) может быть найдена с помощью выражения:

Обычно базисные вектора равны (1, 0) и (0, 1) и мы просто получаем x(1, 0) + y(0, 1) = (x, y), и нет необходимости заботиться об этом дальше. Однако, важно помнить, что мы можем использовать и другие базисные вектора, когда нам это нужно.

Матрицы

Матрицы похожи на двухмерные вектора. Например, типичная 2×2 матрица, может выглядеть так:

Когда вы умножаете матрицу на вектор, вы суммируете скалярное произведение каждой строки с вектором, на который происходит умножение. Например, если мы умножаем вышеприведённую матрицу на вектор (x, y), то мы получаем:

Будучи записанным по-другому, это выражение выглядит так:

Выглядит знакомо, не так-ли? Это в точности такое-же выражение, которые мы использовали для смены базисных векторов. Это означает, что умножая 2×2 матрицу на двухмерный вектор, мы тем самым меняем базисные вектора. Например, если мы вставим стандартные базисные вектора в (1, 0) и (0, 1) в колонки матрицы, то мы получим:

Это единичная матрица, которая не даёт эффекта, который мы можем ожидать от нейтральных базисных векторов, которые мы указали. Если-же мы повернём базисные вектора на 49-градусов, то мы получим:

Эта матрица будет поворачивать двухмерный вектор на 49 градусов против часовой стрелки. Мы можем сделать код нашей игры Asteriods более элегантным, используя матрицы вроде этой. Например, функция поворота нашего корабля может выглядеть так:

Однако, наш код будет ещё более элегантным, если мы сможем также включить в эту матрицу перемещение корабля в пространстве. Тогда у нас будет единая структура данных, которая будет заключать в себе и применять информацию об ориентации объекта и его местоположении в пространстве.

К счастью есть способ добиться этого, хоть это и выглядит не очень элегантно. Если мы хотим переместиться с помощью вектора (e, f), мы лишь включаем его в нашу матрицу преобразования:

И добавляем дополнительную единицу в конец каждого вектора, определяющего местоположение объекта, например так:

Теперь, когда мы перемножаем их, мы получаем:

(a, c, e) • (x, y, 1) + (b, d, f) • (x, y, 1) + (0, 0, 1) • (x, y, 1)

Что, в свою очередь, может быть записано как:

x(a, b) + y(c, d) + (e, f)

Теперь у нас есть полный механизм трансформации, заключённый в одной матрице. Это важно, если не принимать в расчёт элегантность кода, так как с ней мы теперь можем использовать все стандартные манипуляции с матрицами. Например перемножить матрицы, чтобы добавить нужный эффект, или мы можем инвертировать матрицу, чтобы получить прямо противоположное положение объекта.

Трехмерные матрицы

Матрицы в трехмерном пространстве работают так-же как и в двухмерном. Я приводил примеры с двухмерными векторами и матрицами, так как их просто отобразить с помощью дисплея, показывающего двухмерную картинку. Нам просто надо определить три колонки для базисных векторов, вместо двух. Если базисные вектора это (a,b,c), (d,e,f) and (g,h,i) то наша матрица будет выглядеть так:

Если нам нужно перемещение (j,k,l), то мы добавляем дополнительную колонку и строку, как говорили раньше:

И добавляем единицу [1] в вектор, как здесь:

Вращение в двухмерном пространстве

Так как в нашем случае у нас только одна ось вращения (расположенная на дисплее), единственное, что нам надо знать, это угол. Я говорил об этом ранее, упоминая, что мы можем применять тригонометрические функции для реализации функции двухмерного вращения наподобие этой:

Более элегантно это можно выразить в матричной форме. Чтобы определить матрицу, мы можем применить эту функцию к осям (1, 0) и (0, 1) для угла Θ, а затем включить полученные оси в колонки нашей матрицы. Итак, начнём с координатной оси X (1, 0). Если мы применим к ней нашу функцию, мы получим:

(1*cos(Θ) — 0*sin(Θ), 1*sin(Θ) + 0*cos(Θ)) = (cos(Θ), sin(Θ))

Затем, мы включаем координатную ось Y (0, 1). Получим:

(0*cos(Θ) — 1*sin(Θ), 0*sin(Θ) + 1*cos(Θ)) = (-sin(Θ), cos(Θ))

Включаем полученные координатные оси в матрицу, и получаем двухмерную матрицу вращения:

Применим эту матрицу к Сюзанне, мартышке из графического пакета Blender. Угол поворота Θ равен 45 градусов по часовой стрелке.

Как видите — это работает. Но что если нам надо осуществить вращение вокруг точки, отличной от (0, 0)?
Например, мы хотим вращать голову мартышки вокруг точки, расположенной в её ухе:

Чтобы сделать это, мы можем начать с создания матрицы перемещения (translation matrix) T, которая перемещает объект из начальной точки в точку вращения в ухе мартышки, и матрицу вращения R, для вращения объекта вокруг начальной точки. Теперь для вращения вокруг точки, расположенной в ухе, мы можем сперва переместить точку в ухе на место начальной точки, с помощью инвертирования матрицы T, записанной как T -1 . Затем, мы вращаем объект вокруг начальной точки, с помощью матрицы R, а затем применяем матрицу T для перемещения точки вращения назад, к своему исходному положению.
Ниже дана иллюстрация к каждому из описанных шагов:

Это важный шаблон, который мы будем применять позднее — применение вращения для двух противоположных трансформаций позволяет нам вращать объект в другом «пространстве». Что очень удобно и полезно.

Теперь рассмотрим трёхмерное вращение.

Трёхмерное вращение

Вращение вокруг оси Z работает по тому-же принципу, что и вращение в двухмерном пространстве. Нам лишь нужно изменить нашу старую матрицу, добавив к ней дополнительную колонку и строку:

Применим эту матрицу к трехмерной версии Сюзанны, мартышки из пакета Blender. Угол поворота Θ пусть будет равен 45 градусов по часовой стрелке.

То-же самое. Вращение только вокруг оси Z ограничивает нас, как насчёт вращения вокруг произвольной оси?

Вращение, определяемое осью и углом (Axis-angle rotation)

Представление вращения, определяемого осью и углом, также известно как вращение в экспоненциальных координатах, параметризованное вращением двух величин. Вектора, определяющего вращение направляющей оси (прямая линия) и угла, описывающего величину поворота вокруг этой оси. Вращение осуществляется согласно правилу правой руки.

Итак, вращение задаётся двумя параметрами (axis, angle), где axis — вектор оси вращения, а angle — угол вращения. Этот приём довольно прост и являет собой отправную точку для множества других операций вращения, с которыми я работаю. Как практически применить вращение, определяемое осью и углом?

Допустим мы имеем дело с осью вращения, показанной на рисунке ниже:

Мы знаем как вращать объект вокруг оси Z, и мы знаем как вращать объект в других пространствах. Итак, нам лишь надо создать пространство, где наша ось вращения будет являться осью Z. И если эта ось будет осью Z, то что будет являться осями X и Y? Займемся вычислениями сейчас.

Чтобы создать новые оси X и Y нам нужно лишь выбрать два вектора, которые перпендикулярны новой оси Z и перпендикулярны друг другу. Мы уже говорили ранее о векторном умножении, которое берёт два вектора и даёт в итоге перпендикулярный им вектор.

У нас есть один вектор сейчас, это ось вращения, назовём его A. Возьмём теперь случайный другой вектор B, который находится не в том-же направлении, что и вектор A. Пусть это будет (0, 0, 1) к примеру.

Теперь мы имеем ось вращения A и случайный вектор B, мы можем получить нормаль C, через векторное произведение A и B. С перпендикулярен векторам A и B. Теперь мы делаем вектор B перпендикулярным векторам A и C через их векторное произведение. И всё, у нас есть все нужные нам оси координат.

На словах это звучит сложно, но довольно просто выглядит в коде или будучи показанным в картинках.
Ниже показано, как это выглядит в коде:

Тут показана иллюстрация для каждого шага:

Теперь, имея информацию о новых координатных осях, мы можем составить матрицу M, включив каждую ось как колонку в эту матрицу. Нам надо убедиться, что вектор A является третьей колонкой, чтобы он был нашей новой осью координат Z.

Теперь это похоже на то, что мы делали для поворота в двухмерном пространстве. Мы можем применить инвертированную матрицу M, чтобы переместиться в новую систему координат, затем произвести вращение, согласно матрице R, чтобы повернуть объект вокруг оси Z, затем применить матрицу M, чтобы вернуться в исходное координатное пространство.

Теперь мы можем вращать объект вокруг произвольной оси. В конце концов мы можем просто создать матрицу T = T = M -1 RM и использовать её много раз, без дополнительных усилий с нашей стороны. Есть более эффективные способы конвертирования вращений, определяемых осью и углом во вращения, определяемые матрицами. Просто описанный нами подход показывает многое из того, о чём мы говорили ранее.

Вращение, определяемое осью и углом, возможно, самый интуитивно понятный способ. Применяя его, очень легко инвертировать поворот, поменяв знак у угла, и легко интерполировать, путём интерполяции угла. Однако тут есть серьёзное ограничение, и заключается оно в том, что такое вращение не является суммирующим. То есть вы не можете комбинировать два вращения, определяемых осью и углом в третье.
Вращение, определяемое осью и углом — хороший способ для начала, но оно должно быть преобразовано во что-то другое, чтобы использоваться в более сложных случаях.

Эйлеровские углы

Эйлеровские углы представляют собой другой способ вращения, заключающийся в трёх вложенных вращениях относительно осей X, Y и Z. Вы, возможно, сталкивались с их применением в играх, где камера показывает действие от первого лица, либо от третьего лица.

Допустим вы играете в шутер от первого лица и вы повернулись на 30 градусов влево, а затем посмотрели на 40 градусов вверх. В конце-концов в вас стреляют, попадают, и, в результате удара, камера поворачивается вокруг своей оси на 45 градусов. Ниже показано вращение с помощью углов Эйлера (30, 40, 45).

Углы Эйлера — удобное и простое в управлении средство. Но у этого способа есть два недостатка.

Первый, это вероятность возникновения ситуации под названием «блокировка оси» или «шарнирный замок» (gimbal lock). Представьте, что вы играете в шутер от первого лица, где вы можете посмотреть влево, вправо, вверх и вниз или повернуть камеру вокруг зрительной оси. Теперь представьте, что вы смотрите прямо вверх. В этой ситуации попытка взглянуть налево или направо будет аналогична попытке вращения камеры. Всё что мы можем вы этом случае, это вращать камеру вокруг своей оси, либо посмотреть вниз. Как вы можете представить, это ограничение делает непрактичным применение углов Эйлера в лётных симуляторах.

Второе — интерполяция между двумя эйлеровскими углами вращения не даёт кратчайшего пути между ними.
Например, у вас две интерполяции между двумя одинаковыми вращениями. Первая использует интерполяцию эйлеровского угла, вторая использует сферическую линейную интерполяцию (spherical linear interpolation (SLERP)), чтобы найти кратчайший путь.

Итак, что-же больше подойдет для интерполяции вращений? Может быть матрицы?

Вращение с помощью матриц

Как мы уже говорили ранее, матрицы вращения хранят в себе информацию о трёх осях. Это означает, что интерполяция между двумя матрицами лишь линейно интерполирует каждую ось. В результате это даёт нам эффективный путь, то так-же привносит новые проблемы. Например, тут показаны два вращения и одно интерполированное полу-вращение:

Как вы можете заметить, интерполированное вращение значительно меньше, чем любое из исходных вращений, и две оси более не перпендикулярны друг другу. Это логично, если вдуматься — середина отрезка, соединяющего любые две точки на сфере будет расположена ближе к центру сферы.

Это в свою очередь порождает известный «эффект фантика» (candy wrapper effect), при применении скелетной анимации. Ниже показана демонстрация этого эффекта на примере кролика из нашей игры Overgrowth (прим. переводчика: обратите внимание на середину туловища кролика).

Вращение, основанное на матричных операциях, очень полезно, так как они могут аккумулировать вращения без всяких проблем, вроде блокировки оси (gimbal lock), и может очень эффективно применяться к точкам сцены. Вот почему поддержка вращения на матрицах встроена в графические карты. Для любого типа трёхмерной графики матричный формат вращения — это всегда итоговый применяемый способ.

Однако, как мы уже знаем, матрицы не очень хорошо интерполируются, и они не столь интуитивно понятны.

Итак, остался только один главный формат вращения. Последний, но тем не менее, важный.

Кватернионы

Что-же такое кватернионы? Если очень кратко, то это альтернативный вариант вращения, основанный на оси и угле (axis-angle rotation), который существует в пространстве.

Подобно матрицам они могут аккумулировать вращения, то есть вы можете составлять из них цепочку вращений, без опаски получить блокировку оси (gimbal lock). И в то-же время, в отличие от матриц, они могут хорошо интерполироваться из одного положения в другое.

Являются-ли кватернионы лучшим решением, нежели остальные способы вращений (rotation formats)?
На сегодняшний день они комбинируют все сильные стороны других способов вращений. Но у них есть два слабых места, рассмотрев которые, мы придём к выводу, что кватернионы лучше использовать для промежуточных вращений. Итак, каковы недостатки кватернионов.

Во-первых кватернионы непросто отобразить на трёхмерном пространстве. И мы вынуждены всегда реализовывать вращение более простым способом, а затем конвертировать его. Во-вторых, кватернионы не могут эффективно вращать точки, и мы вынуждены конвертировать их в матрицы, чтобы повернуть значительное количество точек.

Это означает, что вы скорее всего не начнете или не закончите серию вращений с помощью кватернионов. Но с их помощью можно реализовать промежуточные вращения более эффективно, нежели при применении любого другого подхода.

«Внутренняя кухня» механизма кватернионов не очень понятна и не интересна мне. И, возможно, не будет интересна и вам, если только вы не математик. И я советую вам найти библиотеки, которые работают с кватернионами, чтобы облегчить вам решение ваших задач с их помощью.

Математические библиотеки «Bullet» или «Blender» будут хорошим вариантом для начала.

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

(Наряду с обозначениями используют запись — радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов

Вектор можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,

Векторное поле называется однородным, если — постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней ).

Пример:

Найти поле линейной скорости материальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью вокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора , лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Построим радиус-вектор точки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости (модуль), как известно из курса физики, равно , где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но — угол между вектором r и осью Oz). Следовательно,

Вектор скорости направлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения векторы образуют правую тройку). Следовательно, т. е.

или

Поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: В частности, при с = 1 получим , т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении . Пусть вектор имеет начало в точке М и направляющие косинусы

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке в направлении вектора определяется как

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению называется предел

Производная по направлению и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если > 0, то функция U возрастает в направлении , если

где — бесконечно малые функции при (см. п. 44.3). Поскольку

Переходя к пределу при получим формулу для вычисления производной по направлению:

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Формула (70.2) принимает вид:

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Их можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление совпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) получим

Пример:

Найти производную функции в точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке
Решение:

Находим вектор и его направляющие косинусы:

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении производная имеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

и некоторого вектора

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е.

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

где угол между вектором grad U и направлением (см. рис. 269).

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Таким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Но тогда из (70.3) следует, что

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Решение:

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью , если точка А движется в направлении (антиградиентное направление).

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором . Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора .

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, — ее радиус-вектор. Тогда вектор направлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов следует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором (см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Интегрируя, получим: т. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть — единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Выберем в каждой площадке точку (см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости в каждой точке: ..

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через протекает количество жидкости, приближенно равное — площадь i-й площадки,— высота i-гo цилиндра с образующей . Но Я, является проекцией вектора на нормаль — единичный вектор нормали к поверхности в точке . Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров площадок):

Независимо от физического смысла поля полученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

где — проекция вектора а на направление нормали — дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

где вектор направлен по нормали к поверхности, причем

— проекции вектора на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора , можно записать в виде

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором острый угол и в точках, где векторные линии входят в объем, ).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К

Пример:

Найти поток вектора через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть на верхней стороне поэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Итак, Находим

В результате имеем:

Пример:

Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Очевидно, что

т. к.

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке М называется скаляр вида и обозначается символом , т. е.

Отметим некоторые свойства дивергенции.

1. Если — постоянный вектор, то
2. где с = const.
3. т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
4. Если U — скалярная функция, — вектор, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как то

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора . Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля в точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

где — некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Отсюда

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда , и мы получаем выражение для в точке М:

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. называется соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью .

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Имеем:

Поле — соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть — радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и — дифференциал дуги кривой

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

где — проекция вектора на касательную , проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости , перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол с осью Oz, то циркуляция будет равна с изменением угла величина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Отметим некоторые свойства ротора.

1. Если — постоянный вектор, то
2. 
3. т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
4. Если U — скалярная функция, а — векторная, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора по контуру L, т. е. (см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

где — некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Перейдя к пределу, получаем:

Ротором вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) , т. е. ротор вектора

По определению ротора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем являются gradU, Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Этот символический вектор называют также оператором (читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр U или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

где

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

(Понятно, что операция например, не имеет смысла: — скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о бессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается . Таким образом,

Дифференциальное уравнение Лапласа играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

4. так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Здесь — векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору .

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е.

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

1. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что ).

3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из равен нулю. Следовательно,

где n — внешняя нормаль.

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то и, следовательно,

Переменив направление нормали на площадке , т.е. взяв внутреннюю нормаль получим:

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле называется потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой L с началом в точке и концом в точке зависит только от положения точек и не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки соединим их двумя кривыми так, чтобы контур лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если , то существует функция U (х; у; z) такая, что

Из равенства вытекает, что т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Отсюда: Следовательно,

т. е. вектор поля является градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства следует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

где — координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. . (Иногда пишут ; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

и найти его потенциал.

Решение:

Следовательно, поле вектора потенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Так как

Гармоническое поле

Векторное поле называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле потенциально, то его можно записать в виде — потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

или, что то же самое,

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института