Векторное уравнение для определения скоростей точек звена

iSopromat.ru

Рассмотрим порядок построения планов скоростей и ускорений точек звеньев на примере кинематического исследования плоского рычажного механизма (рисунок 1).

Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором скорости (ускорения) различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей (ускорений) в данный момент времени.

Абсолютное движение любой точки звена может быть составлено из переносного и относительного. За переносное принимается известное движение какой-либо точки. Относительное – движение данной точки относительно той, движение которой принято за переносное:

На плане абсолютные скорости (ускорения) изображаются векторами, выходящими из полюса плана.

На конце вектора абсолютной скорости (ускорения) ставится строчная (маленькая) буква, соответствующая той точке механизма, скорость (ускорение) которой данный вектор изображает. Отрезок, соединяющий концы векторов абсолютных скоростей, представляет собой вектор относительной скорости соответствующих точек.

Рисунок 1 – Кинематическая схема плоского рычажного механизма

Рассмотрим построение планов для механизма, представленного на рисунке 1. Вначале рассматривается начальный механизм, а далее решение ведется по группам Ассура в порядке их присоединения.

По вычисленному значению V_A выбираем масштаб плана скоростей K_V и из произвольного полюса откладываем отрезок va изображающий эту скорость:

Можно также назначать отрезок va а масштаб K_V вычислять:

Истинные значения (в м/с) относительных скоростей V_BA и V_BC определяются после построения плана умножением соответствующих отрезков (в мм) на масштаб плана:

а зная их, можно определить и угловые скорости звеньев 2 и 3:

Скорость точки D на плане скоростей можно определить по подобию. (Если известны скорости двух точек одного и того же звена, то скорость любой третьей точки этого же звена можно определить, построив на плане скоростей фигуру, подобную фигуре, образованной этими же буквами на звене механизма). Точки С, В , D на звене 3 лежат на одной прямой. На плане строим отрезок сd, соблюдая условие подобия:

Группа Ассура второго класса 3-го вида (звенья 4,5) :

где D₅ — точка, находящаяся на звене 5 под точкой D. После определения скорости движения точки D₅ относительно точки E можно вычислить угловую скорость звеньев 4 и 5 ( ω₄=ω₅ , т. к. эти звенья соединяются поступательной парой):

Примечание: в данном случае размер DE является величиной переменной (т.е. в задании он отсутствует), поэтому в каждом положении механизма он определяется через отрезок на чертеже и масштаб длин.

План ускорений строится в таком же порядке.

Начальный механизм

Ускорение точки A состоит только из нормальной составляющей, т.к. задана постоянная угловая скорость первого звена ( ω₁=соnst ):

По вычисленному значению ускорения точки A выбирается масштаб плана ускорений и определяется отрезок на плане, соответствующий этому ускорению (или вычисляется масштаб плана ускорений по выбранному отрезку, изображающему ускорение точки A):

Здесь точка w – полюс плана ускорений.

Группа Ассура (звенья 2,3) второго класса 1-го вида:

После построения определяются a τ _BA и a τ _BC , по которым можно вычислить угловые ускорения звеньев 2 и 3:

Ускорение точки D определяем по подобию так же, как определяли скорость этой точки:

Рисунок 5 – Планы скоростей и ускорений для заданного положения механизма

Группа Ассура (звенья 4,5) второго класса 3-го вида:

Для определения направления a k _D5D надо вектор V_D5D повернуть на 90° в направлении ω₅ . Угловые ускорения:

При силовом расчете необходимо иметь ускорения центров масс ( a_si ), которые на плане ускорений определяются методом подобия.

Планы скоростей и ускорений для первого положения заданного механизма приведены на рисунке 5.

Уравнение планов скоростей и ускорений для каждой группы Ассура приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Кинематический анализ групп Ассура II класса методом планов

Кинематический анализ плоского механизма – пример решения задачи

Основные законы и формулы, применяемые при решении задач

Использование мгновенного центра скоростей

При плоском движении твердого тела, отличном от поступательного, существует такая точка, скорость которой равна нулю. Такая точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС) тела. Точка МЦС может как принадлежать телу, так и находиться за его пределами. Положение мгновенного центра скоростей может как оставаться неизменным, так и меняться в течении времени.

Если положение МЦС остается неизменным, то такое движение называется вращением вокруг неподвижной оси. В этом случае точка мгновенного центра скоростей совпадает с осью вращения, направленной перпендикулярной плоскости движения. Все необходимые для этого случая формулы даны на странице «Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях».

Но даже если положение МЦС меняется со временем, то формулы для определения скоростей точек тела имеют тот же вид, что и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через мгновенный центр скоростей. Для ускорений такой подход не работает, но скорости точек можно определять по формулам вращательного движения с неподвижной осью.

Рис. 1. Мгновенный центр скоростей P.

Для определения положения МЦС мы используем свойство вращательного движения: направление скорости любой точки тела перпендикулярно прямой, проведенной через эту точку и центр вращения. Здесь мы изначально принимаем, что движение является плоским. То есть центр вращения является осью, перпендикулярной плоскости движения. Если мы знаем направления скоростей и двух точек A и B, то мы можем определить положение МЦС. Для этого надо через эти точки провести прямые, перпендикулярные векторам и . Точка P пересечения этих прямых и является мгновенным центром скоростей. Если эти прямые не пересекаются, то это поступательное движение. В этом случае скорости всех точек тела равны. Если же прямые совпадают, то зная только направления скоростей выбранных точек, определить положение МЦС нельзя.

Зная положение МЦС и абсолютное значение скорости хотя бы одной точки тела, мы можем определить угловую скорость ω и скорости всех точек тела в рассматриваемый момент времени. Для этого мы применяем следующую формулу:
.
Здесь |DP| – расстояние между произвольной точкой D и мгновенным центром скоростей P. Вектор скорости направлен перпендикулярно DP.

Применение теоремы о проекции скоростей

Пусть мы знаем направление и абсолютную величину скорости одной точки и направление другой точки тела. Тогда найти абсолютное значение второй точки можно с помощью теоремы о проекции скоростей:
.

Применение теоремы о скоростях точек плоской фигуры

Согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры, скорость произвольной точки B определяется по формуле:
(1) .
Здесь – скорость наперед выбранной точки тела, которую, в данном случае, называют полюсом; – скорость точки B относительно A.

Удобство применения этой теоремы состоит в том, что относительное движение является вращением вокруг неподвижной оси, проходящей через полюс A. Тогда относительная скорость определяется по формулам вращательного движения. То есть мы раскладываем движение на поступательное со скоростью и вращательное относительно центра A.

Вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости движения. Поэтому он перпендикулярен AB (см. рисунок 3). Тогда относительная скорость направлена перпендикулярно отрезку AB в сторону вращения. Спроектировав векторное равенство (1) на ось AB, получим теорему о проекциях скоростей (см. рис. 2):
(2) .
Спроектировав (1) на ось, перпендикулярную AB, получим уравнение, связывающее скорости точек с угловой скоростью тела:
(3) .
Здесь следует выбрать знак плюс или минус исходя из направления вращения.

Применение теоремы об ускорениях точек плоской фигуры

При вычислении ускорения мы также можем разложить движение на поступательное и вращательное. Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры, ускорение произвольной точки B фигуры определяется по формуле:
(4)
.
Здесь – ускорение предварительно выбранной точки тела, которую называют полюсом; – ускорение точки B относительно точки A. Относительное движение является вращением вокруг неподвижной оси, проходящей через полюс A. К относительному ускорению применимы формулы вращения вокруг неподвижной оси. Тогда вектор можно разложить на касательное и нормальное ускорение:
.

Касательное относительное ускорение еще называют вращательным или тангенциальным ускорением. Оно определяется аналогично скорости точки, вращающейся вокруг неподвижного центра:
.
Только вместо угловой скорости здесь стоит угловое ускорение . Вектор направлен по касательной к траектории, то есть по касательной к окружности с центром в точке A и радиусом AB.

Нормальное относительное ускорение также называют центростремительным ускорением. Оно всегда направлено к центру вращения (нормально, то есть перпендикулярно траектории):
.

Пример решения задачи

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна Е, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O₁, О₂ шарнирами. Точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,6 м. Взаимное расположение элементов механизма определяется углами: α = 90°, β = 120°, γ = 150°, φ = 0°, θ = 30°. Задана угловая скорость и угловое ускорение звена 1: ω₁ = 5 c –1 , ε₁ = 10 c –2 . Угловая скорость направлена против часовой стрелки; угловое ускорение – в противоположную сторону.

Определить скорости точек A, B, D, E; угловые скорости звеньев 2, 3, 4; ускорение точки B и угловое ускорение звена 3.

Указания. Эта задача – на анализ и исследование кинематики плоского механизма. При ее решении, для определения скоростей точек и угловых скоростей звеньев, следует воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей и теоремой о проекциях скоростей двух точек тела. При определении ускорения точки В звена АВ, применить теорему об ускорении точек плоской фигуры.

Дано:
ω₁ = 5 c –1 , ε₁ = 10 c –2 , l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,6 м, α = 90°, β = 120°, γ = 150°, φ = 0°, θ = 30°.

Решение

Определение скоростей с помощью мгновенного центра скоростей

Делаем рисунок механизма при заданных значениях углов.
Точка A вращается вокруг неподвижного центра O₁ с заданной угловой скоростью ω₁ = 5 c –1 против часовой стрелки. Поэтому скорость точки A направлена перпендикулярно вниз, и имеет абсолютную величину
м/с.

Найдем мгновенный центр скоростей (МЦС) звена AB. Для этого воспользуемся свойством, согласно которому, скорость произвольной точки твердого тела перпендикулярна прямой, проведенной через эту точку и мгновенный центр скоростей. Тогда, чтобы найти МЦС, нужно знать направления скоростей двух точек тела.

Нам известно направление скорости точки A. Далее замечаем, что точка B вращается вокруг неподвижного центра O₂. Поэтому скорость этой точки перпендикулярна отрезку O₂B. Изображаем вектор скорости на рисунке. Определяем МЦС. Для этого через точки A и B проводим прямые, перпендикулярные векторам и . Они пересекаются в точке, которую обозначим как P_AB. Эта точка и является мгновенным центром скоростей звена AB.

Из геометрического построения получаем, что треугольник ABP_AB – прямоугольный. Находим длины его сторон:
м;
м.
Используя формулу , находим угловую скорость вращения звена AB:
с –1 .
Находим абсолютную величину скорости точки B:
м/с.

Найдем скорость точки D учитывая, что она принадлежит звену AB, угловую скорость которого и положение мгновенного центра скоростей мы знаем. Соединяем точки D и P_AB отрезком. Из геометрического построения получаем, что треугольник DAP_AB – равносторонний. Тогда
м.
Модуль скорости точки D:
м/с.
Направление скорости перпендикулярно отрезку DP_AB. В нашей задаче получается, что скорость направлена вдоль звена DE.

Теперь рассмотрим звено DE. Направление скорости точки D мы уже знаем. Направление движения точки E задается направляющими, то есть, в нашем случае, вертикально. Через точки D и E проводим прямые, перпендикулярные векторам и . Точка пересечения этих прямых является мгновенным центром скоростей P_DE звена DE.

Из построения находим, что в треугольнике EDP_DE, угол , . Тогда
м;
м.
Угловая скорость звена DE:
с –1 .
Скорость точки E:
м/с.

Точка B вращается вокруг неподвижного центра O₂. Зная скорость этой точки, находим угловую скорость вращения звена 4:
с –1 .

Определение скоростей с помощью теоремы о проекциях скоростей и теоремы о скоростях точек плоской фигуры

Теперь найдем значения скоростей, используя теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела на соединяющих их прямую. и теорему о скоростях точек плоской фигуры. Вычисляем скорость точки A.
м/с.

Применим теорему о проекциях скоростей. Из построения, угол между вектором и осью BA равен 60°. Угол между вектором скорости и той же осью равен 30°. По этой теореме, проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки равны:
.
Отсюда м/с.

Найдем угловую скорость звена AB, применяя теорему о скоростях точек плоской фигуры: .
Направим ось x вдоль AB, ось y – перпендикулярно (см. рисунок 7). Спроектируем это векторное уравнение на ось y:
;
с –1 .

Найдем скорость точки D. Применим теорему о скоростях точек плоской фигуры:
(П1) .
Пусть δ – угол между осью x и вектором скорости . Относительная скорость направлена по оси y и по модулю равна м/с.
Спроектируем векторное уравнение (П1) на оси x и y:
м/с;
м/с.
Отсюда
м/с;
.
Мы нашли . То есть вектор направлен вдоль звена 2.

Применим теорему о проекциях скоростей для звена 2. Векторы скоростей и составляют углы 0° и 60° с прямой DE. Тогда
;
м/с.

Найдем угловую скорость звена DE, применяя теорему о скоростях точек плоской фигуры. В качестве полюса возьмем точку D.
.
Спроектируем это векторное уравнение на ось y₂, перпендикулярную DE (см. рисунок 7):
;
с –1 .

Находим угловую скорость вращения звена 4:
с –1 .

Определение ускорений

Точка A движется по окружности радиуса O₁A = l₁. Найдем ее ускорение учитывая, что движение является вращением вокруг неподвижной оси.
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, то есть по касательной к дуге окружности радиуса |O₁A| с центром в точке O₁. Направление задается направлением углового ускорения ε₁. В нашем случае, оно направлено вверх и имеет абсолютную величину
м/с 2 .
Нормальное ускорение направлено к центру вращения и имеет абсолютную величину
м/с 2 .

Применим теорему об ускорениях точек плоской фигуры. В качестве полюса возьмем точку A. Тогда для ускорения точки B имеем:
.
Подставим .
(У1) .
Здесь нормальное ускорение точки B относительно точки A. Относительное движение является вращением вокруг неподвижной оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка. Поскольку угловая скорость звена AB известна, то м/с 2 .
Вектор направлен к оси вращения. В нашем случае – от B к A.

– касательное ускорение при движении точки B относительно A. Оно перпендикулярно AB и имеет абсолютную величину
.
Угловое ускорение ε_AB звена AB нам не известно. Выберем его направление произвольным образом. Будем считать, что оно направлено по часовой стрелке. Если оно будет направлено в противоположную сторону, то для ε_AB получим отрицательное значение. Изображаем векторы и на рисунке. Для удобства откладываем их из точки B.

С другой стороны, точка B вращается вокруг неподвижного центра O₂. Для вращения вокруг неподвижной оси имеем:
(У2) .
Здесь – нормальное ускорение. Оно направлено от B к O₂. Зная угловую скорость вращения звена 4, найдем его абсолютную величину.
м/с 2 .

– касательное ускорение точки B при вращении относительно неподвижного центра O₂. Оно направлено по касательной к окружности и по абсолютной величине равно
.
Здесь – угловое ускорение звена 4. Считаем, что оно направлено против часовой стрелки. Изображаем векторы и на рисунке.

Итак, для ускорения точки B мы получили два уравнения.
(У1) .
(У2) .
Отсюда
(У3) .

Проводим оси системы координат. Ось x направим горизонтально, ось y – вертикально. Спроектируем векторное уравнение (У3) на ось y.
;
.
Отсюда
м/с 2 ;
с –2 .
Спроектируем уравнение (У3) на ось x.
;
.
Отсюда

м/с 2 .
Полное ускорение точки B.
м/с 2 .

м/с; м/с; м/с; м/с; с –1 ; с –1 ; с –1 ; с –2 ; м/с 2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-11-2019

Контрольная работа: Кинематический анализ механизмов

Кинематический анализ механизмов

1. Основные задачи и методы кинематического анализа

2. Построение положений звеньев механизма

3. Функция положения механизма

4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений

5. Кинематические диаграммы

5.1 Построение диаграммы перемещений

Введение

Тема контрольной работы «Кинематический анализ механизмов» по дисциплине «Теория механизмов и машин».

Цель работы: формирование знаний кинематического анализа механизмов.

Задачи выполнения работы: ознакомление с методами кинематического анализа механизмов.

Основные вопросы темы:

1. Основные задачи и методы кинематического анализа;

2. Построение положений звеньев механизма;

3. Функция положения механизма;

4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений;

5. Кинематические диаграммы.

1. Основные задачи и методы кинематического анализа

Основной задачей кинематики механизмов является изучение движения звеньев механизмов вне зависимости от сил, действующих на эти звенья.

При кинематическом исследовании механизмов рассматриваются следующие основные вопросы:

1) построение планов скоростей;

2) построение траектории любой точки механизма;

3) определение скоростей и ускорений любой точки механизма, определение угловых скоростей и ускорений любого звена механизма, определение радиуса кривизны в любой точке траектории и др.

Кинематическое исследование можно вести как с применением графических методов, так и аналитическим путем. Графические методы исследования, давая достаточную для инженерной практики точность, обычно оказываются проще и нагляднее аналитических. Однако, когда ведется систематическое углубленное исследование какого-либо определенного типа механизма, более удобным оказывается аналитический метод.

При графических построениях на чертеже приходится изображать не только длины звеньев, но и скорости и ускорения отдельных точек, а также и другие величины. В этих условиях удобно использовать масштабный коэффициент, которым называют отношение действительной величины к изображению:

— масштабный коэффициент;

— масштабный коэффициент;

— масштабный коэффициент

2. Построение положений звеньев механизма

Взаимное расположение звеньев движущегося механизма все время меняется, но в каждый данный момент времени расположение звеньев является вполне определенным. Графическое изображение взаимного расположения звеньев, соответствующее выбранному моменту времени, называется планом механизма. Ряд последовательных планов механизма, построенных для моментов времени, следующих друг за другом, называется планом положений и позволяет наглядно проследить за движением механизма.

Построение плана положений механизма начинают с изображения того звена, положение которого задано для данного момента времени.

Из центра О — оси вращения кривошипа ОА радиусами и на оси X — Xдвижения ползуна отмечаем В₀ — правое В₆ — левое крайние ползуна В. Прямые ОА₀ В₀ и ОА₆ В₆ — положения механизма, соответствующие крайним положениям В₀ и В₆ ползуна. Траекторию пальца А кривошипа от точки А₀ делим на 12 равных частей и из полученных точек А₁ , А₂ , А₃ … А₁₁ радиусами АВ==… отмечаем положения В₁ , В₂ , В₃ …В₁₁ ползуна на линии В₀ В₆ . Соединив точки А₁ , А₂ , А₃ … А₁₁ с центром О и соответствующими точками В₁ , В₂ , В₃ …В₁₁ , получим планы механизма. Кривая, последовательно соединяющая центры S₀ , S₁ , S₂ …S₁₁ шатуна в различных его положениях, будет шатунной кривой.

3. Функция положения механизма

Функцией положения механизма называется зависимость координаты выходного звена от обобщенных координат механизма.

Перемещения, скорости и ускорения звеньев и точек механизма является функциями перемещений, скоростей и ускорений звеньев механизма, принятых за ведущие. Число ведущих звеньев механизма должно быть равно числу степеней подвижности механизма или, что то же самое, числу обобщенных координат механизма.

Рассмотрим, в какой форме могут быть заданы законы ведущих звеньев. Эти законы называют функциями перемещений, скоростей и ускорений.

Функция перемещений может быть задана в аналитической форме в виде соответствующей функции, связывающей перемещение ведущего звена со временем (рис.2).

Если ведущее звено входит во вращательную пару со стойкой, то задается функция φ=φ (t), где: φ — угол поворота ведущего звена относительно неподвижной системы координат ХОY, связанной со стойкой, а t — время.

Если ведущее звено входит в поступательную пару, то задается функция s=s (t), где s — перемещение произвольно выбранной точки А ведущего звена относительно неподвижной системы координат, связанной со стойкой, а t — время.

Функции φ=φ (t) и s=s (t) могут быть также заданы графически в виде кривых, где по осям ординат отложены углы поворота φ или перемещения sв некоторых выбранных масштабах и , а по осям абсцисс время tв выбранном масштабе (рис.3).

φ₀ = 0; φ_i — φ₀ = · в;

Соответственно время t_i , за которое ведущее звено повернулось на угол φ_i равно:

t_i — t₀ = ·a ;

Если закон движения ведущего звена задан в виде функций скоростей ω=ω (t) или v=v (t), то переход от функций скоростей к функциям перемещений может быть осуществлен путем вычисления интегралов:

кинематический анализ механизм ускорение

и ;

где: φ₀ , s₀ , t₀ — угол, перемещение и время, соответствующие начальному положению ведущего звена.

Если закон движения ведущего звена задан в виде функций ускорений ε=ε (t) и ω=ω (t), то переход к функциям скоростей осуществляется путем вычисления интегралов:

и

где: ω₀ , v₀ , t₀ — угловая скорость, линейная скорость и время, соответствующие начальному положению ведущего звена.

4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений

Связь между скоростями и ускорениями общих точек звеньев кинематической пары зависит от пары.

Рассмотрим два случая составления векторных уравнений скоростей и ускорений:

а) две точки принадлежат одному звену и удалены друг от друга на расстояние l ( рис.4).

Из теоретической механики известно, что скорость любой точки абсолютно твердого тела можно представить как геометрическую сумму скоростей переносного и относительного движений.

Переносным движением для рассматриваемого звена будем считать поступательное движение со скоростью точки А, а относительным — вращательное движение звена вокруг точки А. Векторное уравнение для скорости точки В:

;

При вращении звена вокруг точки А точка В движется по окружности ββ , описанной из точки А. Поэтому скорость V _BA направлена по касательной к дуге ββ , т.е. перпендикулярна линии АВ.

Величина скорости V_BA =ω·АВ или V_BA =ω·.

По направлению V _BA можно найти направление ω и наоборот.

Т.к. переносное движение выбрано поступательным, то ускорение точки В можно составить из 2-х ускорений: ускорения точки А и ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А.

При движении точки В по окружности ββ ускорение W_BA складывается из 2-х ускорений: нормального , направленного к центру вращения, и тангенциального , направленного по касательной к дуге ββ , т.е. перпендикулярно линии АВ. Векторное уравнение для ускорения точки В:

;

Величины ускорений и определяем по формулам:

=·ω 2 =;

где: ε — угловое ускорение;

б) две точки принадлежат двум звеньям, образующим поступательную пару и в данный момент времени совпадают (рис.5).

Точка А принадлежит звену 1, точка В — звену 2. В данный момент времени точки А и В совпадают (точка В лежит над точкой А). Звенья 1 и 2 образуют поступательную пару с направляющей Н₁₂ .

Скорость точки В складывается из 2-х скоростей — переносной и относительной. Переносным движением здесь является движение звена 1, поэтому скорость точки А — V _A будет переносной. Относительная скорость точки В равна скорости движения звена 2 относительно звена 1. При движении звена 2 относительно звена 1 точка В движется по прямой линии ββ , параллельной направляющей Н₁₂ . Поэтому относительная скорость V _ВА параллельна Н₁₂ .

Ускорение точки В, когда переносное движение не является поступательным, складывается из 3-х ускорений: переносного, т.е. ускорения точки А, относительного и поворотного, или Кориолисова. В относительном движении точка В движется по линии ββ , поэтому в этом движении точка В имеет только тангенциальное ускорение, направленное по этой линии, т.е. параллельно направляющей Н₁₂ . Обозначим это ускорение через . Поворотное (Кориолисово) ускорение обозначим через .

Векторные уравнения для скорости и ускорения точки В будут иметь вид:

Так как звенья 1 и 2 образуют поступательную пару, то они не имеют относительного вращения. Поэтому эти звенья обладают одинаковыми угловыми скоростями и угловыми ускорениями, т.е.: ω₂ =ω₁ и ε₂ =ε₁ , где ω_{1 —} угловая скорость переносного движения (вращения звена 1).

Вектор направлен в ту сторону, в которую окажется направленным вектор , если повернуть его на 90 0 в направлении угловой скорости ω₁ . Величина его определяется по формуле:

Определим скорость и ускорение ползуна кривошипно-ползунного механизма.

Найдем скорость и ускорение звена 4 (точки В) и угловые скорость и ускорение звена 3 (шатуна).

Зная ω₂ , находим V_А =ℓ_ОА ·ω₂ . Скорость V_А изобразим на плане скоростей в виде отрезка «Pа «, перпендикулярного ОА (рис.7). Поршень (звено 4) движется поступательно, поэтому все его точки имеют ту же скорость и то же ускорение, что и точка В.

Однако точка В принадлежит не только звену 4, но и звену 3. Точно также точка А есть общая точка для звеньев 2 и 3. Таким образом, на звене 3 имеются две точки А и В, удаленные друг от друга на расстояние ℓ_АВ . Поэтому скорость точки В:

где: ║;

В соответствии с этим уравнением строим план скоростей. Проводим через точку а линию, перпендикулярную к АВ, а через точку Р — линию перпендикулярную Н₄₁ . В точке пересечения ставим в . Отрезок Рв изображает скорость точки В, а отрезок ав — скорость точки В относительно А (V _ВА ). Угловую скорость звена 3 находим по формуле:

Перенеся вектор в точку В, находим направление ω₃ (против часовой стрелки).

Ускорение точки А:

где: и ;

Отложив от полюса (рис.8) ускорение и в виде отрезков и , находим полное ускорение точки А (отрезок ).

Ускорение точки В:

где: ; ║ и АВ;

Ускорение направлено от точки В к точке А. Отложив от точки а ′ ( на плане ускорений) отрезок а ′ в ′′ , соответствующий , проводим через точку в ′′ линию, перпендикулярную АВ. Через полюс Р ′ проводим линию, параллельную Н₄₁ . Эти линии пересекаются в точке в ′ , отрезок Р ′ в ′ представляет искомое ускорение точки В (W_B ), а отрезок в ′′ в ′ — ускорение . Из сопоставления направлений W_B и V_B заключаем, что звено 4 в данный момент движется замедленно.

Угловое ускорение звена 3 находим по формуле: .

Перенос вектора в точку В показывает, что ε_3, как и ω₃ , направлено против часовой стрелки.

В уравнениях вектор, известный по величине и направлению подчеркиваем двумя линиями, а вектор, известный только по направлению — одной линией.

5. Кинематические диаграммы

Кинематическая диаграмма представляет собой графическое изображение одного из кинематических параметров (перемещений, скорости и ускорения) точки либо звена исследуемого механизма в функции времени, угла поворота или перемещения ведущего звена этого механизма, т.е. в функции обобщенной координаты. Кинематические диаграммы дают полную кинематическую характеристику механизма.

Построим кинематические диаграммы кривошипно-ползунного механизма.

Для перемещений S_B , скоростей V_B и ускорений W_В точки В, как перемещающейся прямолинейно, удобно строить кинематические диаграммы в виде зависимостей этих величин от времени tили обобщенной координаты φ₂ , т.е. строить графическое изображение зависимостей:

если угол φ₂ поворота звена 2 выбран в качестве обобщенной координаты.

Если исследованию подлежат угловые перемещения φ₃ , угловые скорости ω₃ и угловые ускорения ε₃ шатуна 3, то можно построить графическое изображение зависимостей:

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω₂ .

5.1 Построение диаграммы перемещений

1) Вычерчиваем схему механизма в масштабе μ_е в нескольких, например, двенадцати положениях, соответствующих последовательным поворотам кривошипа ОА на 30 0 (рис.9). За начальное положение кривошипа принимаем ОА₀ , при котором ползун В занимает крайнее правое положение В₀ ;

2) строим оси координат S_B -t (рис.10а) и на оси абсцисс откладываем отрезок ℓ в мм, изображающий время одного полного оборота кривошипа в масштабе: ; где: рад/мм, ;

Отрезок ℓ делим на 12 равных частей и в соответствующих точках 1, 2, 3… по оси ординат откладываем расстояния S_{B 1} , S_{B 2} … пройденные точкой В от ее крайнего правого положения В₀ .

До крайнего левого положения В₆ расстояния возрастают, а начиная с положения В₆ , они будут уменьшаться; когда кривошип придет в начальное положение А₀ , ордината кривой (S_B -t) будет равна нулю.

3) соединяем последовательно плавной линией полученные точки 0, 1 ΄ , 2 ΄ , 3 ΄ , …. Полученная кривая будет диаграммой расстояний точки В.

Если же по оси абсцисс откладывать углы поворота кривошипа φ, то данная кривая представит функциональную зависимость:

Диаграммы скоростей и ускорений могут быть построены с использованием планов скоростей и ускорений и методов графического дифференцирования:

.

Метод графического дифференцирования:

1) под диаграммой (S_B -t) строим оси координат O₁ V_B , O₁ t (рис.2.10б) и на продолжении оси O₁ tвлево откладываем отрезок O₁ Р=Н₁ мм (произвольно, чтобы дифференциальная кривая разместилась на отведенном для нее месте чертежа);

2) из точки «Р» проводим лучи Р₁ , Р₂ , Р₃ … параллельно хордам кривой (S_B -t) на участках 01΄; 1΄2΄; 2΄3΄….

Эти лучи отсекут на оси O₁ В отрезки 0₁ 1; 0₁ 2; 0₁ 3…, пропорциональные средней скорости V_c на соответствующем участке диаграммы;

3) отложим эти отрезки на средних ординатах соответствующих участков;

4) соединим ряд полученных точек I, II, III…плавной кривой; эта кривая будет диаграммой скорости (V₀ -t).

Имея диаграмму скоростей, аналогично строим диаграмму ускорений.

При построении диаграмм (V₀ -t) и (W_B -t) данным методом нельзя получить те участки этих диаграмм, которые соответствуют половине крайних участков оси абсцисс. Чтобы закончить построение диаграмм, нужно дополнительно построить средние значения V_В и для одного-двух участков следующего цикла.

Рис.9 План положений скоростей

Рис.10 Кинематические диаграммы

Масштаб диаграмм остается таким же, как и раньше.

Масштабы по осям ординат определяются по формулам:

для диаграммы скоростей: ;

для диаграммы ускорений: ,

Метод построения диаграмм — прост и нагляден, но имеет следующие недостатки:

1) неточность, особенно при дифференцировании кривых с большой кривизной;

2) невозможность полностью исследовать криволинейное движение, т.к. дифференцированием кривой скоростей получаем диаграммы изменения только тангенциальных ускорений;

3) диаграммы дают лишь численные значения векторов, направление которых можно установить лишь после некоторых дополнительных построений.

Метод планов скоростей и ускорений не имеет упомянутых недостатков, поэтому его широко применяют при исследовании различных механизмов.

Литература

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М, 1975, с.103-182.

2. Кореняко А.С. и др. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин. Киев, 1970, с.82-102.