Векторное уравнение напряженного состояния тензор напряжений

ТЕНЗОРЫ

И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Для изучения движения сплошной среды в связи с причинами, которые это движение вызывают, вводят понятие о силах. Силы могут быть внешними и внутренними. Первые являются следствием воздействия на рассматриваемое тело других тел, а вторые возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Внешние и внутренние силы могут быть двоякого рода: объемные (или массовые) и поверхностные. Объемная сила действует на массу, заключенную в произвольном элементе объема тела, например сила тяжести.

Рис. 4. Схема действия массовых и поверхностных сил в объеме V

Пусть (x,t)— объемная сила, отнесенная к единице объема. Тогда сила, действующая на бесконечно малый объем dV, равна

dV, а на объем V—равна dV (рис. 1).

Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности.

Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности dS, равна dS, где — вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенный в любой его точке, называется вектором напряжения или просто напряжением (см. рис. 1).

Напряжение зависит от положения элемента dS, т. е. от ориентировки его

в теле. Если требуется указать, что напряжение относится к площадке с нормалью п, то пишут .

Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох₁х₂х₃ обозначаются через σ_nj (j=1, 2, 3). В частности, проекции напряжений _xi, отнесенные к площадкам, перпендикулярным к координатным осям Ox_i, обозначаются через σ_ij (i,j = 1,2,3), где σ_ii называются нормальными напряжениями, а σ_ij = σ_ji (i≠j) — касательными напряжениями, действующими на этих площадках (рис. 5). Легко доказать следующие очень важные соотношения:

σ_nj = ( i, j = 1,2,3), (1.29)

которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью , проходящей через точку М; α_i = cos(n, х_i) (i = 1, 2, 3).

Поэтому говорят, что совокупность шести величин σ_ij, называемых компонентами симметричного тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке тела М.

Рис. 7. Нормальная и касательная проекции вектора напряжения

Пусть заданы две площадки, проходящие через одну и ту же точку М (рис. 6). Используя формулу (1.29), нетрудно доказать, что проекция напряжения , действующего на первую площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения , действующего на вторую площадку, на нормаль к первой и вычисляется по формуле

(1.30)

где α_1i и α_2j — направляющие косинусы нормалей и . Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, проектируя вектор на направление нормали, получаем нормальное напряжение (рис. 7)

(1.31)

Касательное напряжение на этой же площадке равно

(1.32)

где σ_n — величина вектора напряжения .

Из формулы (1.30) следуют формулы перехода от одной системы Ох₁х₂х₃ координат к другой О ;

(1.33)

где σ’_кr — компоненты тензора напряжений относительно новой системы координат;

α_кi = cos( ), α_rj = cos( ).

Например, зависимость между напряжениями в декартовой (Ох₁х₂х₃) и цилиндрической (r, θ, z) системах координат с общей осью Ox₃ = Oz имеет вид

σ_rθ = ( σ₂₂ — σ₁₁)sin 2θ + σ₁₂ cos2θ;

где σ_rr—радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; σ_θθ — тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль которой перпендикулярна к радиусу.

Принимая во внимание известные соотношения аналитической геометрии

из формул (1.33) после суммирования левой и правой частей по к (при r = к) получается важное соотношение

(1.35)

Оно показывает, что величина σ, называемая средним нормальным напряжением, инвариантна по отношению к преобразованию системы координат.

Характерной особенностью напряженного состояния сплошной среды является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных площадок, на которых касательные напряжения σ_ij (i≠j) равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения σ_ii=σ_i называются главными нормальными напряжениями. Поэтому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Главные нормальные напряжения могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

корни этого уравнения могут быть только вещественными.

Так как решения этого уравнения х_i = σ_i (i=1,2,3) не зависят от выбора системы координат, коэффициенты σ, А, В также не должны зависеть, т. е. они инвариантны. Это еще одно доказательство инвариантности среднего напряжения

(1.36)

Два других инварианта физического смысла не имеют.

(1.37)

Рис. 8. Диаграмма Мора:

/, 2, 3 — окружности, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения на площадках, проходящих через главные оси 1, 2, 3 соответственно

Если главные направления совпадают с координатными осями (Ох_i), то формулы (1.31) — (1.34) упрощаются. Например, формулы (1.31) и (1.32) принимают вид

(1.38)

Отсюда нетрудно получить, что напряжения р_п и τ_n могут лежать только внутри области, заштрихованной на рис.8. Это так называемая диаграмма Мора, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Здесь принята нумерация главных осей такой, чтобы выполнялись условия

Практический интерес представляют сечения, проходящие через главные оси. На рис. 8 точкам какой-либо окружности 1, 2 или 3 отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Если площадка содержит главную ось Ox₁ и наклонена под углом θ к оси Ох₂, то из формул (1.38) получается

Эти напряжения соответствуют координатам точек окружности № 1 (см. рис. 8).

По аналогии можно записать формулы для напряжений, действующих на площадках, проходящих через две другие главные оси, иначе, для координат точек окружностей № 2 и 3 на рис. 8.

При θ = π/4, т. е. в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, касательные напряжения принимают экстремальные значения

называемые главными касательными напряжениями,

а нормальные напряжения равны полусуммам

что соответствует координатам центров окружностей 1, 2 и 3 (см. рис. 8). Наибольшее из значений τ_i (i = 1, 2, 3) называется максимальным касательным напряжением и обозначается τ_max. Если условия (1.39) выполняются, то τ_max = τ₂.

Так как различные тела обладают различными механическими свойствами по отношению к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, удобно компоненты тензора напряжения представить в виде суммы

где S_ij—компоненты тензора, характеризующего касательные напряжения в данной точке и называемого девиатором напряжений.

Нормальные составляющие девиатора обозначают S_ii = σ_ii — σ, а касательные составляющие s_ij = σ_ij (i≠j).

Главные направления девиатора напряжений (S_ij) и тензора напряжений (σ_ij) совпадают, а главные значения s_i отличаются от σ_i, на величину среднего (гидростатического) давления и определяются кубическим уравнением

все корни которого также вещественны.

(1.40)

называют интенсивностью касательных напряжений.

Часто рассматривают приведенное напряжение или интенсивность напряжений

(1.41)

Величина Т равна нулю только в том случае, когда напряженное состояние есть состояние гидростатического давления.

Доказывается, что с погрешностью не более 7% имеет место равенство

Для характеристики вида напряженного состояния, подобно характеристике деформационного состояния, используется параметр, введенный Лоде и Надаи:

который изменяется в пределах от —1 до +1. Он указывает на взаимоотношение главных нормальных напряжений, в частности на положение точки σ₂ на диаграмме Мора. Для одних и тех же величин μ_σ диаграммы Мора подобны.

§ 4. Источник и сток в пространстве.

Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример потенциального течения. Пусть

(1.42)

где , a Q = const или Q = Q (t). Ясно, что поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость v = grad j ортогональна к этим сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат.

Пусть Q > 0; тогда, так как grad j направлен в сторону роста j, то v направлена по r. Если Q 0 (1) имеем

вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При Q 2 + m 2 +n 2 = 1. (4.1)

Полное напряжение p_v, действующее на этой площадке, можно спроектировать на оси координат. Проекции p_xv, p_yv, p_zv определяются из уравнений равновесия тетраэдра ОАВС. Составим сумму проекций всех сил, приложенных к граням тетраэдра, на ось Ох (на рис. 4.2 на вертикальных и горизон­тальной гранях тетраэдра показаны только те напряжения, которые дают проекции на ось

Векторное уравнение напряженного состояния тензор напряжений

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений