Векторное уравнение второго закона ньютона

Запишем уравнения II закона Ньютона в векторной форме для каждого тела

Ответ: 14,8 м/с

Задача 2. Тело массой 4 кг перемещается вверх по наклонной плоскости под действием связанного с ним невесомой и нерастяжимой нитью грузом массой 12 кг. Начальные скорости тела и груза равны нулю, коэффициент трения тела о плоскость равен 0,05, угол наклона плоскости равен 30 о . Определите ускорение, с которым движется тело, и силу натяжения нити. Считать, что блок невесом и трение в блоке отсутствует.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: Запишем второй закон Ньютона для тела и груза В проекциях на ось Ох: В проекциях на ось Оy: В проекциях на ось О’y’: Получаем систему уравнений Так как нить невесома и нерастяжима, а в блоке отсутствует трение, то: С учётом последних выражений преобразуем систему уравнений Для того, чтобы решить эту систему уравнений сложим первое и второе уравнение. Тогда получим Преобразуем данное уравнение и выразим искомое ускорение Теперь определим силу натяжения нити

Ответ: 6,4 м/с 2 ; 43,2 Н.

Задача 3. Два груза массами т₁ = 5 кг и т₂ = 2 кг связаны невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок, который прикреплен к вершине призмы, и могут скользить по граням этой призмы. Определите ускорение грузов, если начальные скорости грузов равны нулю, α = 60 о , β = 30 о , а коэффициент трения — 0,3.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов В проекциях на ось Оx и O’x’: В проекциях на ось Оy и О’у’: С учётом последних выражений преобразуем систему уравнений в проекциях на ось Оx и O’x’: Так как нить и блок невесомы: Так как нить нерастяжима и в блоке нет сил трения: С учётом последних равенств сложим первое и второе уравнение системы в проекциях на ось Оx и O’x’: Тогда искомое ускорение равно

О

Ответ:а= 2,6 м/с 2 .

Задача 4. Трол­лей­бус мас­сой 12 т дви­жет­ся рав­но­мер­но под гору с укло­ном 0,05 рад при силе тяги 4 кН. Опре­де­лить силу со­про­тив­ле­ния дви­же­нию.

За­пи­сы­ва­ем крат­кое усло­вие за­да­чи и вы­пол­ня­ем по­яс­ня­ю­щий чер­теж :

По ох: mg* sin a + F_т – F_c = 0 при а ≤ 0,1 рад а =sin a = tq a

Ответ: .

Тема №3 « Решение задач на движение связанных тел».

Цель: Диагностика знаний учащихся, необходимых для решения задач.

Физический диктант.

Тело движется горизонтально под действием силы F = 2H, масса тела 2кг, ч = 0.2.

Уравнение движения тела x = 3+2t-0,5t 2

Зарисуйте все векторы.

Запишите II закон Ньютона в векторной форме.

Выберите оси координат и запишите закон в проекции на оси.

Найдите вес тела.

Найдите силу давления на поверхность.

Запишите уравнение зависимости V_x(t).

Найдите силу трения F_тр. (2 способа)

Ответы

1)

2) + _тр + m + = m 6) V_x= 2 – t 2

3) F_тр-? F = ma N — mg =0 7) 1. F_m=чN N=mg F_m=чmg; F_m=0,2*2кг*10м/с 2 = 4Н;

4) P = N = mg P=20H 2. F_m= ma+ F; F_m= 1*2Н+ 2Н = 4Н

5) F_g = N = 20Н

Закрепление и расширение знаний, умений и навыков в решении задач.

Задача №1.

Два груза, массы которых m₁ = 0.1кг; m₂ = 0.2кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К левому грузу приложена F₂ = 0,5H; к правому F₁ = 3H. Чему равна сила натяжения нити?

1. Изобразим все векторы сил действующие на тела.

2. Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.

I тело ₁ + ₁ + + m₁ = m₁

II тело + ₂+ ₂ + m₂ = m₂

3. Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

4. Составляем систему:

a = в уравнение Т = F₂ +

5. сделайте вычисления , а так же выясните, изменится ли натяжение нити ,если силы поменять местами.

Задача №2

1. Изобразим все векторы сил действующие на тела.

Обратите внимание: нити две, соответственно силы натяжения разные Т₁ и Т_2.

2. Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.

I тело: ₁ + m₁ = m₁

II тело: ₂ + + _тр + ₁ + m₂ = m₂

III тело: m₃ + ₂ = m₃

3. Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

4. Составляем систему:

Дорешайте в числах и найдите силу давления возникающую в оси левого блока (F_g=N) (Силу реакции действующую на ось левого блока)

Задача №3

На гладком столе лежит брусок массой 2кг, на котором лежит тело 1кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с а = g/2? Коэффициент трения между брусками 0,5.

1. Изобразим все векторы сил действующие на тела.

Запишем уравнения II закона Ньютона в векторной форме для каждого тела

+ + _тр1+ m = m

+ + _тр2 + М + ₂ + = М

3. Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

Так как F_тр1 = F_{тр2 ,} то уравнение для 2 го тела в проекции ось Y писать не обязательно!

4.Составляем систему:

F — 2чmg = mа + Ма

F = а(m + М) + 2чmg =1/2 g(m + М) + mg

F = 1/2 g(m + М + 2m) =1/2 g(М + 3m) =1/2 ·10 · 2 = 25 Н..

Задача № 4:

Два тела, связанные невесомой нерастяжимой нитью (см. рис.) тянут с силой 15 Н вправо по столу. Массы брусков m₁= 1 кг и m₂ = 4 кг, μ = 0,1.

С каким ускорением движутся бруски? Чему равна сила натяжения нити?

Ч

Сила натяжения нити на всех участках одинакова и все тела движутся с одним и тем же ускорением, т.е.

Т₁ = Т₂ = Т, .

Чтобы решить задачу, надо её проанализировать.

Рассмотрим все силы, действующие на каждое тело отдельно. Оба тела взаимодействуют с землёй, столом и нитью. На первое тело действуют: m₁g, Т₁, F_тр1, N₁. На второе тело действуют: m₂g, N₂, T₂,F_тр2 и сила F. Системы отсчета свяжем со столом.

— ? (м/с 2 ); Т — ? (Н) Решение

1.Изобразим все силы, действующие на тела. Ускорение тела направлено вправо.

Из условия задачи => Т₁ = Т₂ = Т; .

2.Запишем II-ой закон Ньютона в общем виде ∑ =m и для каждого тела в векторной форме, для этого страницу разделим пополам:

3.Выберем координатные оси: ось ОУ направим по направлению ,

а ось ОХ по направлению системы тел.

4.Проецируем векторные уравнения II закона Ньютона для I-го и II-го тела на координатные оси:

O X: T – F_тр1 = m₁ (1)OX: F – T – F_тр2 = m₂ ∙ (1 / )

Поскольку из уравнения 2 =>что Аналогично:

N₂ = m₂ ∙ g; то F_тр2 =μ · N₂=μ ∙ m · g

N₁ = m₁g; то F_тр1= μ · N₁ = μ ∙ m₁g, тогда уравнение (1 / )II- го тела примет вид

тогда ур-ние (1)примет видF – T – μ ∙ m₂ ∙ g = m₂ (3 1 )

Т – μ · m₁g = m₁ (3)

Получили два уравнения для 2-х тел, где учтены все силы, действующие на тела в отдельности.

Решаем совместно систему уравнений (3)и (3 1 ) методом почленного сложения уравнений, получаем: T – μ m₁g + F – T – μ m₂g = m₁

F – μg (m₁+ m₂) = (m₁+ m₂) (4),в этом уравнении учтены все силы, действующие на систему 2-х тел, связанных невесомой нерастяжимой нитью.

Откуда =

Силу натяжения нити находим из уравнения (3) или (3 1 )

Т= μ ∙ m₁ · g + m₁ = m₁ (μ · g + ) = 1 (0,1 · 10 + 2) = 3Н

или Т = F – m₂ – μ · m₂ g = F – m₂ ( + μ ∙ g) = 15 — 4∙ (2 + 0,1· 10) = 3Н

Законы Ньютона

Ньютон первым обратил внимание на силу, как причину, по которой тела приходят в движение и меняют свою скорость.

Раздел механики, изучающий силы, называется динамикой. По-гречески «динамис», значит «сила».

Что такое сила

Тела действуют друг на друга с помощью сил.

Сила – это мера взаимодействия тел. Измеряя силу, мы измеряем величину взаимного действия тел. В обыденной жизни мы говорим: «как сильно» одно тело действует на другое тело.

Смысл законов Ньютона

Ньютон, в своих законах динамики, хотел сказать следующее:

• В I законе: Если сила не действует, скорость не меняется. Импульс тела тоже не меняется.
• Во II законе: Если сила действует, скорость меняется. Импульс тела, также, меняется, появляется ускорение.
• В III законе: Взаимодействуют два тела — возникают две силы. Они по модулю равны, а по направлению противоположны.

Примечание:

Выражение «векторы равны по модулю», понимаем так: «длины векторов одинаковые».

Перед изучением законов Ньютона рекомендую вспомнить, что такое инерциальные системы отсчета (откроется в новой вкладке).

Первый закон Ньютона

Словесная формулировка первого закона Ньютона:

В инерциальной системе отсчета тело свою скорость не меняет, если на него не действуют другие тела (или действие других тел скомпенсировано).

Формула:

\( F = 0 \) – сила на тело не действует (Может быть и так: на тело действуют несколько сил, но их действие компенсируется);

\( a = 0 \) – ускорение отсутствует;

\( v = const \) – скорость тела не изменяется (остается одной и той же);

\( p = const \) – импульс тела не изменяется (остается одним и тем же);

Важно! По первому закону Ньютона, «двигаться с одной и той же скоростью по прямой» и «покоиться» — это равнозначные виды движения.

Значит, если на тело не действуют другие тела (силы), то

• тело будет двигаться с одной и той же скоростью по прямой, если оно так двигалось до этого,
• или будет продолжать покоиться, если покоилось в прошлом.

Второй закон Ньютона

Сформулируем словами второй закон Ньютона:

Ускорение, приобретаемое телом,
прямо пропорционально
приложенной силе
и обратно пропорционально
массе этого тела.

Формула второго закона Ньютона с пояснениями

\( a \left( \frac<\text<м>>> \right) \) – ускорение тела

\( m \left( \text <кг>\right) \) – масса тела

\( F \left( H \right) \) – сила, которую приложили к телу

Примечание: Ускорение отвечает на вопрос: «Как быстро меняется скорость тела?». Значит, если изменяется хотя бы одна из характеристик вектора скорости, ускорение есть. А если скорость не изменяется, ускорения нет \( \vec < a >= 0 \)

Ускорение прямо пропорционально силе:

Чем больше сила, тем больше ускорение тела, тем быстрее тело меняет скорость.

Ускорение обратно пропорционально массе:

Чем больше месса тела, тем труднее изменить его скорость.

Формулу второго закона часто записывают в векторном виде:

Мы можем заменить местами правую и левую части, в таком случае получим:

Расшифруем эту запись: Возьмем вектор «F», умножим его на скаляр (1/m) и получим новый вектор «a».

Дробь \( \displaystyle \frac<1> \) – это скалярная величина.

Примечания:

1. Вместо слов «направлены в одну и ту же сторону» физики пользуются термином «сонаправлены». Лично мне удобнее пользоваться первой формулировкой.
2. Часто применяют еще один вид записи, его называют так: «Второй закон Ньютона в импульсной форме».

Третий закон Ньютона

Пусть одно тело действует на второе тело. Тогда это второе тело будет в ответ действовать на первое.

Словами третий закона Ньютона можно сформулировать так:

Силы взаимного действия по модулю равны, а направлены противоположно. Они лежат на прямой, которая соединяет центры тел, действующих друг на друга.

\( F_ <12>\left( H \right) \) – сила, с которой первое тело действует на второе тело.

\( F_ <21>\left( H \right) \) – сила, с которой второе тело отвечает первому.

Пояснить формулу можно с помощью такого рисунка:

Обратите внимание, что длины красного и черного векторов равны.

Не важно, перед каким из векторов находится знак «минус». Этот знак показывает, что векторы направлены в противоположные стороны. Поэтому, формулу третьего закона Ньютона можно записать и так:

Примечания:

1. Если перед каким-либо вектором записан знак «минус», то этот вектор развернут в противоположную от выбранной нами сторону.
2. Между векторами находится знак равенства. Это значит, что длины векторов одинаковые (векторы по модулю равны).

Советую прочитать еще две статьи. Так как для решения задач кроме знания трех законов Ньютона нужно дополнительно уметь:

• находить проекции вектора на оси и
• составлять векторные силовые уравнения (ссылки открываются в новых вкладках).

Второй закон Ньютона в векторной форме: объяснение + 5 примеров решения задач

Физиков всегда увлекали теоретические знания трех «китов» классической динамики, их грамотное практическое применение. Понимание основ способствует представлению примитивных движений окружающих предметов, подчиняющихся ньютоновской механике. Второй закон Ньютона в векторном виде определен Лукасовским профессором по специализации: математика и физика. Трактовка: сдвиг изменяется пропорционально силе, приложенной к объекту. Направление перемещения соответствует прямой линии, вдоль действия данной силы.

Второй закон Ньютона в векторном виде формулируется иначе современными физиками: сила, оказывающая воздействие на объект, составляет равенство произведения массы тела на ускорение, придаваемого силой. Направления физических величин совпадают. Его альтернативное название – главным тождеством (правилом) динамики.

Как записывается второй закон ньютона в векторной форме

Второй закон Исаака Ньютона записывается в векторной или скалярной форме.

Скаляр – величина без направления, вектор – указывает ориентацию смещения.

• – результирующая сила, [H];
• – ускорение, [м/с 2 ];
• – масса материальной точки, [кг].

если расписать через векторные величины – это производная проекций скорости по времени: дважды берется дифференциал x, y, z по t):

Второй образец записи главного тождества динамики через импульс тела p:

Таблица отражает особенности, присущие основному правилу динамики, используемые при решении заданий.

Внимание! Далее ориентированные параметры представлены латинскими буквами, выделенными полужирным курсивом.

Примеры задач и их решение

Джон Сантаяна – американский философ, писатель подметил: «Ребенок, получивший образование только в учебном заведении – необразованный ребенок».

Его соотечественник оратор Джим Рон высказывал схожую мысль: «Образование поможет выжить. Самообразование приведет Вас к успеху».

Собственной деятельностью Герман Оскарович Греф – российский экономист продемонстрировал верность, высказанного им утверждения: «Не верю в науку, не связанную с практикой, в образование, не связанное с практикой…»

Для достижения «признания» следует научиться решать задания любого уровня сложности.

Целесообразно рассмотреть ключевые задания на примерах, которые дополнительно могут усложняться.

Справка! Для успешного прохождения «миссий» по усвоению материала, нужно использовать ряд предписаний:

1. Обозначить систему отсчета.
2. Использовать графический подход. Рисунки с отмеченной направленностью параметров помогут составить все выражения для ответов на вопросы.
3. Дополнительно подписать необходимые формулы, соответствующие числу неизвестных.

Рекомендуем вам посмотреть видео о алгоритме решения всех задач на второй закон Ньютона в векторном виде.

Задача 1 – идеальна для «новичков»

Бруски массами 4 и 6 килограмм связаны нерастяжимой нитью, находятся на гладкой горизонтальной поверхности. К материальной точке с большей массой приложена F=12 Н, воздействующая горизонтально. Каково ускорение движения обоих брусков? Чему равна сила натяжения нити?

• На рисунке отображено влияние сил:

Нить нерастяжима, значит, материальные точки сдвигаются синхронно и равноускоренно.

общий вид уравнения движения.

• Формулу надо переписать для предмета массой m₁:

Из эквивалента действия и противодействия, получается

• Составление системы уравнений: формула (2) переписывается через T, другое – получается путем почленного сложения (2) и (3):

• Из второго равенства системы формируется:

• Числовые значения ставим вместо букв в записи (5) и (6).
• Результат: =1,2 м/с 2 , =4,8 Н.

Задача 2 – подходит для проверки усвоенного материала

Есть однородный шарик массой 0,5 килограмм. К его центру прикладывают F=3,9Н. Нужно определить модуль и направление F₁, необходимой для перемещения с ускорением 7 м/с 2 сонаправленного F.

Второй закон Ньютона в векторном виде:

F, a и F₁ располагаются вдоль одной прямой.

Микрозадача: найти проекцию F₁ на ось Х.

если F» width=»121″ height=»25″ align=»absmiddle» data-lazy-src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%3C150%3E&space;%5CLARGE&space;ma%3E&space;F» /> то 0″ width=»101″ height=»27″ align=»absmiddle» data-lazy-src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%3C150%3E&space;%5CLARGE&space;F_%3C1x%3E%3E&space;0″ /> ,

ось Х и F₁ одинаково ориентированы, если то , – противонаправлены.

Буквы заменяются цифрами:

Ответ отрицательный, поэтому ориентация F₁ противоположена относительно оси Х.

Задача 3 – повышенный уровень сложности

После толчка брусок начал скольжение вверх из точки 0 по гладкой наклонной плоскости. Его начальная скорость равна 5,3 м/с. Уклон поверхности 30°. Определить нахождение бруска через 4 секунды, относительно 0.

Пусть 0 – начало координат. Строятся оси X и Y, отображаются: mg – вес, N – реакция опоры (перпендикулярна поверхности скольжения).

Второй закон сэра Ньютона в векторной форме: . Силы, оказывающие воздействие на брусок, носят постоянный характер, смещение вдоль Х, равноускорено.

Нужно использовать кинематическое равенство:

Нахождение проекции ускорения на ось Х получается из главного правила динамики.

Делается подстановка в кинематическое уравнение:

Ответ: 18 метров.

Задача 4 – упрощенная версия

Нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, расположенный на наклонной поверхности, связаны бруски массами 16 и 24 грамма. Уклон составляет 30°. Надо найти ускорения, перемещающихся предметов. Трение не учитывать.

Пусть m₂ перетягивает. Изображаются оси координат.

Записываются уравнения движения брусков по проекциям на оси X и Z:

Нить нерастяжима, поэтому . Силы натяжения равны, поскольку блок и нить невесомы.

Левые и правые части формул суммируются:

Результат выходит больше нуля, ориентация сдвига выбрана верно.

Задача 5 – сверхсложный вариант

Грузовик массой 2 тонны переезжает выпуклую эстакаду со скоростью 27 км/ч. Радиус кривизны дуги составляет 60 метров. Чему равна сила посередине моста, которая давит на грузовой автомобиль? Какова должна быть минимальная быстрота перемещения, чтобы давление на поверхность в верхней точке отсутствовало?

Влияние силы тяжести обозначается – mg, нормальная реакция эстакады – N.

Из эквивалента действия и противодействия выходит:

F искомая величина.

По второму правилу, установленному Ньютоном, центростремительное ускорение представляет сумму сил:

Давления на поверхность отсутствует, в случае N=0:

=588 м/с = 87,3 км/ч

Автомобиль оторвется от моста, если скорость передвижения будет выше минимальной.

Еще примеры решения простых задач на законы Ньютона вы можете посмотреть в видеоролике.

Из представленных выше задач можно увидеть, что второй закон, автора фундаментального труда «Математические начала натуральной философии» – Ньютона в векторной форме ключевое тождество, описывающее физические явления, способствующее решению задач по механике.