Векторный способ решения систем уравнений

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило, и заканчивается. Нам показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Лудкова Дарина Павловна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

Курьян Татьяна Казимировна

высшая квалификационная категория

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №29»

пр. Морской д.56 А

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило, и заканчивается. Мне показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.

Изучив соответствующую литературу, я установила, что « эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных
областях математики, механики, а также в технике».[5.126]. Работы Г. Вес-
селя, Ж.Аргана, К.Ф.Гаусса, В.Гамильтона,
Г. Грассмана, Ф.Мебиуса внесли огромный вклад в развитие векторного исчисления и его приложений .

Однако, возможность использования свойств вектора при решении алгебраических задач, стала для меня настоящим открытием, подтолкнувшим к исследованию все новых и новых задач, решение которых с помощью вектора не только более «изящнее» традиционного способа, но реально даёт возможность сэкономить время на решении, избежать громоздких вычислений.

При решении задач векторным методом необходимы знания о свойствах скалярного произведения двух векторов, а именно: | | · | |. Причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Заметим, что = | | · | | , если векторы сонаправленые и = -| | · | |, если векторы противоположно направлены. [1.198] Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т. е. если векторы и — коллинеарны, то . [2.320]

В данной работе я показываю возможность использования свойств векторов при решении уравнений и их систем, при решении и доказательстве неравенств, при исследовании некоторых свойств функций.

Если возвести в квадрат левую и правую части уравнения, произвести преобразования и снова возвести в квадрат, получим уравнение шестой степени, решение которого достаточно трудоемко. Использование векторного метода значительно упрощает решение.

Рассмотрим векторы и . Найдем их скалярное произведение: . Вычислим длины векторов и : ; и произведение их длин.

Таким образом, имеем: = | | · | | , т. е. векторы сонaправлены. Тогда соответственные координаты пропорциональны. Поэтому,

Отсюда и x 3 -3 x 2 + x +1 = 0.

Заметим, что х = 1 – корень полученного уравнения.

Тогда: x 3 -3 x 2 + x +1=( x -1)( x 2 -2 x -1).

Второе уравнение имеет два корня х=1±

Весьма эффективным выглядит использование векторов при решении систем уравнений, которые на первый взгляд традиционным способом совсем не разрешимы.

Заметим, что х≥1 и у≥1.

Рассмотрим векторы и .

, .

Тогда, из второго уравнения исходной системы следует, что , а это означает, что векторы и коллинеарны. Значит, и .

Рассмотрим функцию . Тогда f(x)=f(y). Так как функция монотонно возрастает при х≥1, то х=у .

Первое уравнение исходной системы принимает вид: . Отсюда . Учитывая, что х≥1, имеем

Для решений заданий с параметрами требуется не только высокий уровень математического и, главное, логического мышления того, кто берется за решение таких заданий, но и способность осуществлять исследовательскую деятельность. Однако к некоторым из таких заданий можно приложить все тот же алгоритм векторного метода.

Рассмотрим уравнение, которое требуется решить для всех значений параметра р :

Выполним преобразования в левой и правой частях уравнения,

,

Получили уравнение вида: , где , а . Заметим, что при уравнение принимает вид: и имеет два корня: -1 и 1.

Если , то остальные решения получим, решив уравнение

.

Ранее получено, что 1 является корнем данного уравнения, поэтому решим уравнение .

Итак, корнями уравнения является –р – 1 и р – 1 .

Ответ: если р=0 , то х=±1 ; если р≠0 , то х=-1±р .

Решение тригонометрических уравнений и неравенств – неотъемлемая часть любого экзамена, в том числе и Единого Государственного. Рассмотрим неравенство, которое, по моему мнению, не зная векторный метод решить выпускнику средней школы было бы очень сложно:

Рассмотрим векторы и .

Исходя из неравенства , имеем .

На основании полученного и исходного неравенств получаем равенство

, из которого следует, что векторы и коллинеарны.

Решим систему неравенств:

Решим неравенство (1).

Получаем, , с другой стороны (по условию)

Значит, , следовательно, векторы и коллинеарны, а их координаты пропорциональны, т. е.

Решим неравенство (2):

С другой стороны, , значит, , следовательно, векторы коллинеарны, а их координаты пропорциональны,

Таким образом, что бы найти решение системы неравенств надо решить систему уравнений (1) и (2):

Традиционными для различных олимпиад и конкурсов являются задания по доказательству неравенств. И традиционно эти задания считаются одними из самых сложных. Использование свойств векторов в некоторых случаях может свести самые большие проблемы к минимуму.

Рассмотрим следующее задание.

Доказать, если х 1 +х 2 +…+x n =3, y 1 +y 2 +…+y n =4, z 1 +z 2 +…+z n =5 , то ;

Рассмотрим n векторов таких, что , тогда .

Давно и прочно вошли в экзаменационные работы задания по нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. Но далеко не все выпускники школы справляются с этими заданиями. На мой взгляд, это связано с проблемами по нахождению производных некоторых функций. Громоздкие преобразования «отпугивают» не только «троечников», и задачи остаются не решенными. Применение свойств векторов в некоторых случаях может помочь избежать эти трудности.

Найдем наибольшее значение функции .

Функция определена, если Таким образом, .

Рассмотрим векторы и

Заметим, что при x = 0,5 векторы имеют следующие координаты: , а значит векторы – сонаправлены.

, = .

В силу неравенства , ; отсюда ; т.е.

Причем знак равенства достигается тогда, и только тогда, если векторы и коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны. Таким образом,

Решая эту систему, получим x = 2,5.

Таким образом , у наиб = у (0,5)= y (2,5)=2.

Векторный метод показался мне не только универсальным, но вполне доступным для большинства моих сверстников. Мне захотелось поделиться своим открытием со старшеклассниками нашей школы. Никто из опрашиваемых мной учеников 9-11 классов не знал об этом методе. Мне представилась возможность познакомить с результатом моих исследований учеников нашей школы. В свете предстоящих экзаменов векторным методом особенно заинтересовались некоторые одиннадцатиклассники. Вместе с ними мы нашли немало заданий, предлагаемых на ЕГЭ, при решении которых можно применить данный метод.

Свойства векторов, которые нашли широкое распространение в геометрии и в физике, явились плодотворными и в алгебре. Алгоритм применения свойств векторов позволил упростить решение многих сложных заданий, позволил создать особый метод решения различных алгебраических задач.

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2008.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия, 10 – 11: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2008.
3. Куланин Е. Д., Федин С. Н. 5000 конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Фирма “Издательство АСТ”», 1999.
4. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Справочное пособие. – М.: МГУ, 1991.
5. Преподавание геометрии в 6—8 классах. Сборник статей. В. А. Гусев, Ю. М. Кояягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан. Векторы и их применение к решению задач. М.: «Просвещение» 1979.-
6. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Составитель Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990.
7. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998.
8. Супрун В. П. Нестандартные методы задач по математике. – М.: Полымя, 2000.

Урок по теме «Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения векторов»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Проверить и закрепить знания, полученные по темам «Правило Крамера» и «Метод Гаусса» для решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными;
• Повторить необходимый материал из геометрии для усвоения нового типа систем и метода их решения;
• Провести исследовательскую работу на этапе обобщения темы.

Ход урока

1. Организационный момент.

«Не мыслям учить надо, а мыслить» (Кант).

«Кто мало думает, много ошибается» (Леонардо да Винчи).

Последуем этим полезным советам: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро вам пригодятся.

Перед нами стоит задача: повторить методы и способы решения линейных систем уравнений с двумя и тремя переменными и усвоить новый тип систем с тремя переменными.

2. Устный опрос.

Проводится в форме фронтальной работы с классом. Проверяются теоретические знания. Умение их применять будет проверено на следующем этапе урока.

а) какие системы называются совместными?

б) что называется решением системы с двумя переменными?

в) геометрическая интерпретация решения системы с двумя переменными;

г) перечислить известные методы решения линейных систем с двумя переменными;

д) сформулировать правило Крамера;

е) как составляются определители ∆, ∆х, ∆у?

ж) перечислить условия, при которых система:

• имеет единственное решение,
• не имеет решения,
• имеет бесконечное множество решений;

з) приведение системы к треугольному виду с помощью метода Гаусса.

3. Решение систем.

На доске записать две системы:

С обратной стороны доски эти же системы записаны для учеников, которые вызываются учителем. По окончании решения они должны прокомментировать основные этапы решения.

Так как скорость выполнения заданий различна, то записывается на доске еще одно задание:

Найти значения параметра m, при которых система имеет решение, удовлетворяющее х > 1 и у => х = у = z,

подставляя в (1) получаем: ; х = 1, т.о. х = 1; у = 1;z = 1.

Проверим является ли тройка (1;1;1) решением системы?

Для этого осуществляем подстановку в (3) уравнение и убеждаемся, что (1;1;1) — решение системы.

2) Работа с учебником (Виленкин,11).

Найти задание № 3 стр. 148

Задание учащимся: разобраться, почему система, которую можно решить, используя скалярное произведение, вместо единственного решения имеет бесконечное множество решений.

Поиск пошел по пути определения и , как в примере 1 и 2, т.е. учащиеся ввели:

<x; y; z>,

; = ; , т.е. , чего не может быть по определению скалярного произведения».

4) Таким образом можно сформулировать алгоритм решения систем с помощью скалярного произведения (формулируют учащиеся).

5. Самостоятельная работа (с самопроверкой в классе).

Показать, что система несовместна.

Пусть <5x6; 4y4; 3z2>,

;

т.к. = ; = и система несовместна.

Для самопроверки на обратной доске сделаны записи координат векторов и , что является наиболее сложным в этом примере, а также проведено сравнение величины с .

6. Домашнее задание.

1) Решить систему: ответ:

2) Решить систему: ответ:

3) Решить систему: ответ: (1;1;1)

4) Повторить по 10-му классу вопросы:

• монотонность функции,
• исследование функции на монотонность с помощью производной.

7. Подведение итогов урока.

Решение задач методом Гаусса

Содержание:

Решение задач методом Гаусса. Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов

Мы уже говорили о том, что одной из важных задач линейной алгебры является выяснение факта — линейно зависима или независима в пространстве система векторов . Метод Гаусса играет здесь решающую роль.

Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Однородная система линейных уравнений с неизвестными имеет вид:

(1)

Однородная система всегда совместна, т.к. одним из ее решений является .

Это решение называют нулевым. Важно знать имеет ли конкретная однородная система ненулевые решения.

Теорема 1. Однородная линейная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Заметим, что система (1) может быть записана в векторном виде

. (2)

В этой записи участвуют векторов:

Т.о., неизвестные являются коэффициентами линейной комбинации векторов . Поэтому, решая методом Гаусса систему (1.3), мы ищем коэффициенты .. Если окажется, что решение единственное (т.е. нулевое), то система векторов линейно независима. В противном случае она линейно зависима.

Пример №19

Дана система из четырех векторов, принадлежащих :

(3)

Является ли эта система линейно зависимой в ?

Решение:

Запишем уравнение , которое в координатной записи представляет собой однородную линейную систему

Если система уравнений (4) имеет только нулевое решение, то система векторов (3) линейно независима в . Если же имеются и ненулевые решения, то система векторов (3) линейно зависима.

Применим к системе уравнений (4) метод Гаусса:

Получилась система уравнений с базисными неизвестными и свободным неизвестным . Наличие свободного неизвестного означает, что решений бесконечное множество. Следовательно, система векторов (3) линейно зависима в .

Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы

Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчет стоимости «потребительской корзины», состоящей из основных видов товаров и услуг, получаемых потребителями. Обычно это 300 необходимых видов товаров и услуг. В табл. 1 приведен условный пример, отражающий изменение стоимости потребительской корзины по трем товарам.

Табл. 1. Изменение стоимости товаров, входящих в потребительскую корзину

Индекс цен р и индекс инфляции i рассчитываются следующим образом:

р = • 100% = 106,3%, i= р -100 = 6,3%.

Т.к. i > 0, то это инфляция — повышение общего (среднего) уровня цен в экономике страны. Заметим, что при i

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.