Векторы уравнения окружности и прямой

Геометрия векторы уравнения прямой и окружности

§ 3. Уравнения окружности и прямой

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например график функции у-х. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через точки О (0; 0) и А(1;1) (рис. 284). Координаты любой точки М (х; у), лежащей на прямой О А, удовлетворяют уравнению у = х (так как ММ₁ = ММ₂), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = х является уравнением прямой О А. Введём теперь понятие уравнения произвольной линии.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая линия L (рис. 285). Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства. В следующем пункте мы рассмотрим первую из этих задач применительно к окружности. Вторая задача рассматривалась в курсе алгебры при построении графиков функций.

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (x₀; у₀) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной окружности, то МС = r, МС 2 = r 2 , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС 2 ≠ r 2 , и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х₀; у₀) имеет вид:

(х — х₁) 2 + (у — у₀) 2 = r 2 .

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3) 2 + (у — 4) 2 = r 2 , где r — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0 + 3) 2 + (0 — 4) 2 = r 2 . Отсюда r 2 = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + 3) 2 + (у — 4) 2 = 25.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х 2 + у 2 + 6х — 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности.

Уравнение прямой

Выведем уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки А (x₁; у₁) и В (х₂; у₂) так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис. 287, а). Если точка М (х; у) лежит на прямой l, то АМ = ВМ, или AM 2 = ВМ 2 , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

Если же точка М (x; у) не лежит на прямой l, то AM 2 ≠ ВМ 2 , и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой I в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает вид

где а = 2 (х₁ — х₂), b = 2(у₁ — у₂), Так как А (x₁; у₁) и В (x₂; y₂) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (х₁ — х₂) и (у₁ — у₂) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Если в уравнении (3) коэффициент b отличен от нуля, то это уравнение можно записать так:

где Число k называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением. Докажите самостоятельно, что:

Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку М₀ (x₀; у₀) и параллельной оси Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у) прямой l равна x₀, т. е. координаты любой точки М (x; у) прямой l удовлетворяют уравнению х = х₀. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение х = х₀ является уравнением прямой l.

Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = О, а ось Оу — уравнение х = 0.

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R.

Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а).

Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид

х 2 + у 2 = R 2 , (х — d) 2 + у 2 = r 2 . (4)

Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х₀, у = у₀, то точка М0 (х₀; у₀) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М₀ (x₀; у₀) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х₀, у = у₀ является решением системы уравнений (4).

Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х₀, у = у₀, т. е. справедливы числовые равенства

Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x₀d — d 2 = R 2 — r 2 , откуда

Заметим, что х₀ > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), х₀ = т. е. для величин R, r и d должно выполняться неравенство или R 2 + d 2 — r 2 ≤ 2dR. Последнее неравенство запишем в виде (d — R) 2 ≤ r 2 . Отсюда следует, что -r ≤ d — R ≤ r, или

Отметим, что х₀ = R, если d = R — r или d = R + r, и x₀ R + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая:

3) d = R — r, при этом R > r, поскольку d > 0. Как уже было отмечено, в этом случае x₀ = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что y₀ = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются изнутри.

4) d = R + r. В этом случае также х₀ = R, поэтому y₀ = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне.

5) R — r 2 + у 2 = 9; б) (х — 1) 2 + (у + 2) 2 = 4; в) (х + 5) 2 + (у — 3) 2 = 25; г) (х — 1) 2 + у 2 = 4; д) х 2 + (у + 2) 2 = 2.

960. Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:

а) х 2 + у 2 = 25; б) (х — 1) 2 + (у + 3) 2 = 9; в) (х — 0,5) 2 — у 2 = 0,25;

961. Окружность задана уравнением (х + 5) 2 + (у — 1) 2 = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
6) на окружности;
в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

962. Даны окружность х 2 + у 2 = 25 и две точки А (3; 4) и В (4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.

963. На окружности, заданной уравнением х 2 + у 2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.

964. На окружности, заданной уравнением (x — 3) 2 + (у — 5) 2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.

965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r₁ = 3, r₂ = √2, r₂ = 5/2.

966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А (0; 5), r = 3; б) А (-1;2), r = 2; в) А (-3;-7), r = 1/2; г) А (4;-3), r =10.

967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).

970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).

а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + by + с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

а • 1 + b • (-1) + с = 0, а • (-3) + b • 2 + с = 0,
или а — b + с = 0, -3а + 2b + с = 0.

Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: а = 3с, b = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3сх + 4су + с = 0. При любом с ≠ 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде 3х + 4у + 1 = 0.

973. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3;1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции.

975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3х — 4у + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую.

976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4х + 3у — 6 = О и 2х + у — 4 = 0.

977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

978. Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х = 7.

979. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.

980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

981. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289,а. Тогда точки А и В имеют координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ.

Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то

AM = 2ВМ, или AM 2 = 4ВМ 2 .

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

х 2 + у 2 = 4 ((х — а) 2 + у 2 ). (8)

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3a с центром в точке C(4/3a; 0). Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса с центром в точке

Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

982. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM 2 + ВМ 2 + СМ 2 = 50; б) AM 2 + 2ВМ 2 + 3СМ 2 = 4.

983. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM 2 + ВМ 2 = k 2 , где k — данное число.

984. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM 2 — ВМ 2 = k, где k — данное число.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то AM 2 — ВМ 2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х 2 + у 2 — (х — а) 2 — у 2 = k, или 2ах — а 2 — k = 0.

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если а 2 + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a 2 + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

985. Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ 2 — AM 2 = 2АВ 2 .

986. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

(AM 2 + DM 2 ) — (ВМ 2 + СМ 2 ) = 2АВ 2 .

987.* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ь. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

AM 2 + DM 2 = ВМ 2 + СМ 2 .

Ответы к § 3

960. а) А и С; б) В; в) В и D.

961. а) С; б) В; в) А и D.

963. а) (-4; -3), М;3);б) (4; 3), (-4; 3).

964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5).

965. 1) х 2 + у 2 = 9; 2) х 2 + у 2 = 2; 3)

966. а) х 2 + (у-5) 2 = 9; б) (х + 1) 2 + (y — 2) 2 = 4; в) г) (х — 4) 2 + (y + 3) 2 = 100.

967. х 2 + у 2 = 10.

968. х 2 + (у — 6) 2 = 25.

969. а) (х — 2) 2 + (y — 1) 2 = 41; б) (х — 3) 2 + (у — 1) 2 = 5.

970. (х — 5) 2 + у 2 = 25, (х + 3) 2 + у 2 = 25; две окружности.

971. х 2 + (у — 4) 2 = 25.

972. б) х + у- 7 = 0; в) 3х — 2у + 2 = 0.

973. 7х — у + 3 = 0.

974. а) х — у = 0, у — 1 = 0; б) 3х — 5у + 5 = 0.

977. х = 2 и у = 5.

980. 5х + 2у — 10 = 0, 5х — 2у — 10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0, 5х — 2у + 10 = 0 или 2х + 5у- 10 = 0, 2х — 5у -10 = 0, 2х + 5y + 10 = 0, 2х — 5у+ 10 = 0.

982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса 1/3 с центром D, лежащим на отрезке ВС, причём BD = 1/3

983. Окружность с центром в точке О радиуса , если k 2 > 2а 2 , и точка О, если k 2 = 2а 2 , где О — середина отрезка АВ и Если k 2 2 , то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует.

985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ’, где В’ и В — точки, симметричные относительно точки А.

986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и были симметричны относительно оси Оу.

987. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.

Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Технологическая карта (план) занятия №72

Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.

Практическая работа №36

Учебная: формировать навыки составления векторного уравнения

прямой, плоскости, окружности и сферы в

пространстве по заданным координатам;

дать понятие нормального вектора к плоскости;

научить применять знания, полученные при изучении

данной темы, для решения задач ;

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность

Развивающая: развивать пространственное и логическое

ф ормировать грамотную математическую речь .

Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами (ОК 4.)

Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста (ОК 5.)

Наглядные пособия: мультимедиа презентация;

Раздаточный материал: таблица канва для заполнения;

Технические средства обучения: ноутбук, проектор;

Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий): 204 аудитория.

Литература: 1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков. 2) Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян, М.: Просвещение

3) Геометрия. 11 класс: поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасяна [и др.]/авт.- сост. Г.И. Ковалева. Волгоград: Учитель, 2015.

-проверка присутствующих на занятии;

-проверка готовности учащихся к занятию;

-формулировка целей занятия.

1. В конце занятия обучающиеся сдают тетради на проверку

2. Заполнить таблицу-канву (предлагается нанести обозначения, вписать формулы на заготовленную таблицу канву по теме прошлого урока)

Изучение нового материала. (стр 81,87, уч(1))

Прямая, параллельная оси Оу , задается уравнением вида х = с . Аналогично, прямая, параллельная оси Ох , задается уравнением вида у = с .

Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные 2 точки , выражаются формулами:

Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :

Задача №1. Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Ответ :

Задача №2. Составить канонические уравнения прямой проходящей по двум точкам:

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Подставим в уравнение координаты точек М ₁ и М ₂ :

Подставим координаты точки в полученные уравнения:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки :

Получены верные равенства.

Уравнение прямой проходящей через 1 данную точку с нормальным вектором :

Определение: Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.

На плоскости дана точка М0(х0, у0, z 0) и вектор .

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М ₀ перпендикулярно вектору.

Рассмотрим еще одну точку прямой

М(х, у, z ), тогда вектор

лежит на данной прямой.

Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальный вектор, выражается формулой:

Задача №3 . В пространстве дана точка М ₀ (2;-3;0) и вектор. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

2. Уравнение плоскости.

Плоскость можно задать одной содержащейся в ней точкой Р ₀ ( и вектором , перпендикулярным этой плоскости (его называют вектором нормали к плоскости). Необходимым и достаточным условием того, что точка Р(х принадлежит плоскости, является следующее равенство: . Задав координаты нормали , получим уравнение плоскости в координатной форме: А(х-х ₀ )+В(у-у ₀ )+С( z — z ₀ )=0. раскроем скобки и обозначим число (Ах ₀ +Ву ₀ +С z ₀ ) за D .

Получим уравнение плоскости в виде Ах+Ву+С z + D =0

Замечание: Вектор можно умножать на любое число

Задача №4 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору

Задача №5 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

Уравнение окружности и прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнение линии на плоскости

Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\ $ и $\ $ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\ $, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 3. Прямая в декартовой системе координат

Так как прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.

Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:

Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c= ^2+ ^2- ^2- ^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Здесь можно выделить два частных случая для уравнения прямой. Пусть прямая $l$ проходит через точку $M=\ $, тогда

Если прямая $l$ параллельна оси $Ox$, то она имеет вид

Если прямая $l$ параллельна оси $Oy$, то она имеет вид

Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат

Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 04 2022

Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Технологическая карта (план) занятия №72

Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.

Практическая работа №36

Учебная: формировать навыки составления векторного уравнения

прямой, плоскости, окружности и сферы в

пространстве по заданным координатам;

дать понятие нормального вектора к плоскости;

научить применять знания, полученные при изучении

данной темы, для решения задач ;

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность

Развивающая: развивать пространственное и логическое

ф ормировать грамотную математическую речь .

Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами (ОК 4.)

Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста (ОК 5.)

Наглядные пособия: мультимедиа презентация;

Раздаточный материал: таблица канва для заполнения;

Технические средства обучения: ноутбук, проектор;

Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий): 204 аудитория.

Литература: 1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков. 2) Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян, М.: Просвещение

3) Геометрия. 11 класс: поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасяна [и др.]/авт.- сост. Г.И. Ковалева. Волгоград: Учитель, 2015.

-проверка присутствующих на занятии;

-проверка готовности учащихся к занятию;

-формулировка целей занятия.

1. В конце занятия обучающиеся сдают тетради на проверку

2. Заполнить таблицу-канву (предлагается нанести обозначения, вписать формулы на заготовленную таблицу канву по теме прошлого урока)

Изучение нового материала. (стр 81,87, уч(1))

Прямая, параллельная оси Оу , задается уравнением вида х = с . Аналогично, прямая, параллельная оси Ох , задается уравнением вида у = с .

Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные 2 точки , выражаются формулами:

Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :

Задача №1. Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Ответ :

Задача №2. Составить канонические уравнения прямой проходящей по двум точкам:

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Подставим в уравнение координаты точек М ₁ и М ₂ :

Подставим координаты точки в полученные уравнения:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки :

Получены верные равенства.

Уравнение прямой проходящей через 1 данную точку с нормальным вектором :

Определение: Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.

На плоскости дана точка М0(х0, у0, z 0) и вектор .

Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М ₀ перпендикулярно вектору.

Рассмотрим еще одну точку прямой

М(х, у, z ), тогда вектор

лежит на данной прямой.

Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальный вектор, выражается формулой:

Задача №3 . В пространстве дана точка М ₀ (2;-3;0) и вектор. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:

2. Уравнение плоскости.

Плоскость можно задать одной содержащейся в ней точкой Р ₀ ( и вектором , перпендикулярным этой плоскости (его называют вектором нормали к плоскости). Необходимым и достаточным условием того, что точка Р(х принадлежит плоскости, является следующее равенство: . Задав координаты нормали <А;В;С>, получим уравнение плоскости в координатной форме: А(х-х ₀ )+В(у-у ₀ )+С( z — z ₀ )=0. раскроем скобки и обозначим число (Ах ₀ +Ву ₀ +С z ₀ ) за D .

Получим уравнение плоскости в виде Ах+Ву+С z + D =0

Замечание: Вектор можно умножать на любое число

Задача №4 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору

Задача №5 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

Уравнения фигур

Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.

Содержание:

Понятие уравнения фигур

Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).

Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.

Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:

1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.

2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.

Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.

Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.

Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.

Уравнение прямой

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида — некоторые числа.

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение имеет тот или иной частный вид.

1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

2. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.

3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).

Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Или, обозначая получим: у = kх + d.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.

Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.

Уравнения окружности и сферы

Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).

1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.

2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен (формула расстояния между точками).

3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(2, определение окружности).

Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.

Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).

Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:

Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).

Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:

Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).

По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:

Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.

Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:

Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Решение:

1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).

2. Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).

3. При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).

4. При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).

5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то откуда , в обратном случае получим (3,4).

6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5)

7. Выразим через координаты:

(1,2, формула расстояния между точками).

8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:

(6,7).

9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).

Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.

Пример 2.

Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?

Решение:

Из условий задачи имеем:

1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках

2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).

3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.

4. По какой линии должен идти наблюдатель?

5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).

6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):

(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).

7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.

(3, 6).

8. Решая это уравнение, получим:

9. Раскроем скобки и перегруппируем:

10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом (4, уравнение окружности).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.