О восстановлении смазанных томограмм различными методами Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Римских М.В., Сизиков В.С.
Рассматривается задача реконструкции смазанных томографических изображений. Задача сводится к решению множества одномерных интегральных уравнений Фредгольма I рода типа свертки. Делается сравнение двух методов решения таких уравнений: метода преобразования Фурье и метода квадратур (с использованием метода регуляризации Тихонова в обоих случаях). Приведены численные результаты. Делается вывод, что метод квадратур более эффективен, чем метод преобразования Фурье.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Римских М.В., Сизиков В.С.
Текст научной работы на тему «О восстановлении смазанных томограмм различными методами»
О ВОССТАНОВЛЕНИИ СМАЗАННЫХ ТОМОГРАММ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Научный руководитель — д.т.н., профессор В.С. Сизиков
Рассматривается задача реконструкции смазанных томографических изображений. Задача сводится к решению множества одномерных интегральных уравнений Фредгольма I рода типа свертки. Делается сравнение двух методов решения таких уравнений: метода преобразования Фурье и метода квадратур (с использованием метода регуляризации Тихонова в обоих случаях). Приведены численные результаты. Делается вывод, что метод квадратур более эффективен, чем метод преобразования Фурье.
Как известно [1], обработка изображений, в том числе томографических, включает в себя устранение искажений, распознавание образов и кодирование изображений. При этом искажения изображений могут быть следующих типов:
• искажения, устранение которых не требует математической обработки — царапины, штрихи на томограмме, неудачная яркость и контрастность;
• искажения, требующие примитивной математической обработки — геометрические искажения, требующие изменения масштаба по вертикали и/или горизонтали или устранения нелинейности;
• искажения, требующие сложной математической обработки — смаз, дефокусировка, зашумленность томограммы [1, 3-8].
В данной работе рассматривается задача реконструкции (восстановления, реставрации) смазанных (сдвинутых, смещенных) томографических изображений (томограмм).
Математическое описание задачи реконструкции смазанной томограммы
Рассмотрим данную задачу на примере смазанной томограммы (см. рис. 1). Полагаем, что за время экспозиции носитель томографического изображения совершил прямолинейный и равномерный сдвиг (смещение) на величину А. Можно также считать, что сдвиг совершил объект (подвижный пациент). В результате на носителе (томограмме) зафиксируется смазанное изображение типа рис. 1.
Определим по штрихам на томограмме направление смаза и его величину А. Направим вдоль смаза ось x, а перпендикулярно ему — ось у. Математически задача смазывания изображения описывается соотношением 8:
где g ( x, у) — распределение интенсивности вдоль смазанной томограммы (измеренная функция), а w(s, у) — распределение интенсивности вдоль неискаженной томограммы, той томограммы, которая была бы получена в отсутствие сдвига, т.е. при А = 0 (искомая функция). При этом sOy — неподвижная система координат, а xOy — система координат, связанная с движущимся носителем изображения.
Отметим, что под функциями g (x, у) и w(s, у) подразумеваются только амплитуды излучения без учета фазы (как в голографии). Отметим также, что если на томограмме фиксируется серое изображение (gray image), то под g(x, у) и w(s, у) будем подразумевать интенсивности gg (x, у) и wg (s, у) в сером цвете. Если же фиксируется цветное изображение (RGB image), то можно преобразовать RGB-изображение в gray-
изображение (это особенно эффективно выполняется в Ма1ЬаЬ’е), или под записью (1) подразумеваем три соотношения для трех цветов — красного, зеленого и синего (Я, О, В), причем с помощью светофильтров нужно получить распределение интенсивностей §к(х,У), (х,У), §в(х,У), затем восстановить (5,у), (5,у), (5,у) и, наконец, вычислить суммарную интенсивность w(s, у) = wR (5, у) + wG (5, у) + wв (5, у).
Рис. 1. Смазанная томограмма. g (х, у) — распределение интенсивности по изображению, А — величина сдвига (смаза), ось х направлена вдоль смаза
Преобразование соотношения (1)
Соотношение (1) является неклассическим одномерным интегральным уравнением Вольтерра I рода относительно искомой функции w(s, у) при каждом фиксированном значении у, играющем роль параметра, другими словами, (1) есть множество одномерных интегральных уравнений.
Отметим, что в ряде работ [3, 4] рассмотрены более сложные задачи — неравномерный и/или непрямолинейный сдвиг изображения и т.д.
Запишем уравнение (1) в виде (опустив для простоты у):
где ^5) = ^(5) = у), g(х)=gy(х) = g(х у).
Методы решения уравнения (2) недостаточно проработаны в виду того, что оно является неклассическим, нестандартным (оба предела интегрирования переменны, отсутствует в явном виде ядро) [9]. Однако уравнение (2) можно преобразовать к уравнению в стандартной форме, а именно, к одномерному интегральному уравнению Фред-гольма I рода типа свертки 6:
| к ( х — 5) w(s)= g(х), — да 0- параметр регуляризации, р = 1,2,3, к — порядок регуляризации (обычно р = 1).
При практической реализации первого метода вычисления одномерных обратного и прямого преобразований Фурье (5), (7), (8) выполняются в виде дискретного преобразования Фурье (ДПФ) или быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Выбор а можно осуществлять, например, способом невязки или обобщенным принципом невязки [4, 10, 11]. Однако для задачи реконструкции изображений, как показала практика, более эффективен способ подбора (подробности см. в 5).
Теперь рассмотрим решение уравнения (3) методом квадратур с регуляризацией Тихонова (вторым методом). Будем полагать, что при некотором фиксированном у правая часть g(х) задана при х е [с,С], а функция ^(5) ищется при £ е[а, Ь] (обычно [а,Ь] с [с,С]), т.е. вместо уравнения типа свертки (3) рассматривается уравнение общего типа:
А*м = Г к (х, 5) ^(5) С5 = g(х), с Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
e [a,b], a = -0.85, b = 0.85, ядро k(x) аппроксимировалось также гауссианой:
q = 47. Такое ядро примерно соответствует ядру (4) при А^ 0.3. Сначала решалась прямая задача: путем численного интегрирования вычислялась функция
Е( х) = | к (х — я) ^(я) ds, с (я), в значительной степени заглажены в функции g(х).
Затем решалась обратная задача — восстановление ^(я) по измеренной g( х) = g (х) + 5g с помощью первого и второго методов.
Решение первым методом (методом ПФ с регуляризацией Тихонова) уравнения (3) с правой частью х) осуществлялось по формулам (5)-(8), причем непрерывные преобразования Фурье (НПФ) заменялись дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). При этом использовались одинаковые носители для функций, входящих в (3): зиррк(х) = зиррх) / / * / 1 * ‘ \ и а (без перестановки частей решения
5. Если в первом методе использовать БПФ для ускорения обработки, то это потребует, чтобы при каждом значении у число отсчетов М вдоль х (см. рис. 1) было целой степенью числа 2, иначе измерения функции g нужно искусственно добавлять нулями или же использовать обычное ДПФ, что может понизить скорость обработки. Во втором методе числа узлов М и N могут быть произвольными (вообще говоря, зависящими от у). Если же требуется высокая скорость обработки, то второй метод может быть модифицирован следующим образом.
Запишем решение СЛАУ (14) в виде:
— матрица N х М, которая может быть заранее рассчитана (может быть одна и та же для всех значений у, а может быть для каждого у своя). В результате реконструкция изображения сведется к умножению матрицы В на вектор g при каждом значении у. Это
— наиболее быстрый алгоритм реконструкции. Кратко говоря, второй метод реконструкции смазанных томографических изображений (метод, использующий квадратуры и регуляризацию Тихонова) обладает большими возможностями, чем первый метод реконструкции (метод, использующий преобразование Фурье и регуляризацию Тихонова)
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-08-01304-а).
1. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. М.: Мир, 1989. 336 с.
2. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров А.М. М.: Сов. энциклопедия, 1984. 944 с.
3. Тихонов А.Н., Гончарский А.В, Степанов В.В., Ягола А.Г. Обратные задачи обработки фотоизображений. Некоторые задачи естествознания. / Под ред. Тихонова АН., Гончарского А.В. М.: Изд. МГУ, 1987. С. 185-195.
4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд. МГУ, 1989. 199 с.
5. Сизиков В.С., Белов И.А. Реконструкция смазанных и дефокусированных изображений методом регуляризации. // Оптический журнал. 2000. Т. 67. № 4. С. 60-63.
6. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001. 240 с.
7. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-posed, ill-posed, and intermediate problems with applications. Leiden-Boston: VSP, 2005. 234 p.
8. Сизиков В.С., Российская М.В., Козаченко А.В. Обработка смазанного изображения методами дифференцирования, преобразования Хартли и регуляризации Тихонова. // Изв. вузов. Приборостроение. 1999. Т. 42, № 7. С. 11-15.
9. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. 193 с.
10. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.
11. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.