Вид линии по уравнению второго порядка

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Линия второго порядка, заданная общим уравнением

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^<2>+2Bxy+Cy^<2>+2Dx+2Ey+F=0\label
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_<0>+\alpha t,\ y=y_<0>+\beta t.\label
$$
Значения параметра \(t\), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой \eqref в \eqref:
$$
A(x_<0>+\alpha t)^<2>+2B(x_<0>+\alpha t)(y_<0>+\beta t)+C(y_<0>+\beta t)^ <2>+\\+ 2D(x_<0>+\alpha t)+2E(y_<0>+\beta t)+F=0.\label
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^<2>+2Qt+R=0,\label
$$
в котором
$$
P=A\alpha^<2>+2B\alpha\beta+C\beta^<2>,\label
$$
$$
Q=(Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta,\label
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(A\alpha+B\beta)x_<0>+(B\alpha+C\beta)y_<0>+D\alpha+E\beta.\label
$$
Свободный член — это значение многочлена при \(t=0\), то есть
$$
R=Ax_<0>^<2>+2Bx_<0>y_<0>+Cy_<0>^<2>+2Dx_<0>+2Ey_<0>+F=0.\label
$$

Вообще говоря, уравнение \eqref квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых \(P=0\), то есть
$$
A\alpha^<2>+2B\alpha\beta+C\beta^<2>=0,\label
$$
и, следовательно, уравнение \eqref является линейным. В этом случае оно имеет один корень при \(Q \neq 0\), а при \(Q=0\) либо выполнено тождественно (если и \(R=0\)), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство \eqref не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить \(\alpha\) и \(\beta\) на общий ненулевой множитель.

Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению \eqref, называется асимптотическим направлением линии второго порядка.

Тип линии.

Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
\delta=\begin
A& B\\
B& C
\end,\nonumber
$$
сформулируем следующее утверждение.

Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если \(\delta 0\).

Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть \(A=C=0\). Тогда \(B \neq 0\) и \(\delta=-B^ <2>0\).
2. Случай \(A \neq 0\) исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение \(\alpha/\beta\).

Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак \(\delta\).

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия \eqref. Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа \(\delta 0\).

Рис. 9.1. Асимптотическое направление.

Диаметр линии второго порядка.

Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) секущей \eqref находится в середине хорды, то корни уравнения \eqref равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 9.2). Это будет так в том и только том случае, когда \(Q=0\). Используя \eqref, мы получаем, что середины хорд направления \((\alpha, \beta)^<2>\) лежат на прямой
$$
(A\alpha+B\beta)x+(B\alpha+C\beta)y+D\alpha+E\beta=0.\label
$$

Рис. 9.2. Хорды.

Прямая \eqref называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению \((\alpha, \beta)\).

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение \eqref определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, то есть
$$
A\alpha+B\beta=0,\ B\alpha+C\beta=0.\nonumber
$$

Умножим первое из этих равенств на \(\alpha\), второе — на \(\beta\) и сложим. Мы получим равенство \eqref, которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение \eqref определяет прямую.

Центр линии второго порядка.

Обозначим левую часть уравнения \eqref через \(\boldsymbol<\Phi>(x, y)\) и введем еще одно понятие.

По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты \(x_<0>, y_<0>\) точки \(O\) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению \eqref. Будут ли ее координаты \((\tilde_<0>, \tilde_<0>)\) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена \(\tilde<\boldsymbol<\Phi>>(\tilde, \tilde)\), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен \(\tilde<\boldsymbol<\Phi>>\) так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство \(\tilde<\boldsymbol<\Phi>>(\tilde, \tilde)=\boldsymbol<\Phi>(x, y)\). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из \(O\) сдвигом на векторы \(\boldsymbol\) и \(-\boldsymbol\).

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой \(y=0\) является центром линии с уравнением \(y^<2>+1=0\).

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство \eqref. Его левая часть равна
$$
A(x_<0>+\alpha)^<2>+2B(x_<0>+\alpha)(y_<0>+\beta) +\\+ C(y_<0>+\beta)^<2>+2D(x_<0>+\alpha)+2E(y_<0>+\beta)+F.\nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у \(\alpha\) и \(\beta\). Поэтому при вычитании \(\boldsymbol<\Phi>(x_<0>-\alpha, y_<0>-\beta)\) из \(\boldsymbol<\Phi>(x_<0>+\alpha, y_<0>+\beta)\) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые \(\alpha\) и \(\beta\) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta=0.\label
$$

Но равенство \eqref, а вместе с ним и равносильное равенство \eqref имеет место при любых \(\alpha\) и \(\beta\), в частности, при \(\alpha=1\), \(\beta=0\) и при \(\alpha=0\), \(\beta=1\). Отсюда следует, что координаты \((x_<0>, y_<0>)\) центра должны удовлетворять системе уравнений
$$
\left\<\begin
Ax_<0>+By_<0>+D=0,\\
Bx_<0>+Cy_<0>+E=0.
\end\right.\label
$$

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства \eqref, то, умножая их на произвольные числа \(\alpha\) и \(\beta\) и складывая, мы получим \eqref, а тем самым и \eqref.

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений \eqref имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
$$
\delta=\begin
A& B\\
B& C
\end \neq 0.\label
$$
Таким образом, условие \(\delta \neq 0\) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие \(\delta=0\) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии \(\delta=0\) система \eqref либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (ранее мы уже доказывали этот факт). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых).

Если линия второго порядка не является пустым множеством и имеет центр \(O(x_<0>, y_<0>)\), то он — ее центр симметрии.

В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии \(M(x, y)\) и докажем, что симметричная ей относительно \(O\) точка \(M_<1>(x_<1>, y_<1>)\) также лежит на линии. Точка \(M_<1>\) определяется равенством \(\overrightarrow>=-\overrightarrow\). Если \((\alpha, \beta)\) — координаты вектора \(\overrightarrow\), то \(x=x_<0>+\alpha\), \(y=y_<0>+\beta\), а \(x_<1>=x_<0>-\alpha\), \(y_<1>=y_<0>-\beta\). Теперь ясно, что в силу \eqref из \(\boldsymbol<\Phi>(x, y)=0\) следует \(\boldsymbol<\Phi>(x_<1>, y_<1>)=0\). Утверждение доказано.

Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр симметрии \(O(x_<0>, y_<0>)\), то \(O\) является центром.

Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через \(O\), приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности:

1. Точка \(O\) лежит на линии. Пусть прямая имеет неасимптотическое направление. Тогда \(O\) — единственная точка пересечения, так как иначе с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение \eqref имеет кратный корень \(t=0\), откуда вытекает \(Q=0\). Итак, координаты точки \(O\) удовлетворяют равенству (12) при любых \(\alpha\) и \(\beta\), соответствующих неасимптотическим направлениям. Выберем два различных неасимптотических направления \((\alpha, \beta)\) и \((\alpha’, \beta’)\) и рассмотрим равенства
   $$
   \begin
   & (Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta=0,\\
   & (Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha’+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta’=0.
   \end\nonumber
   $$
   как систему уравнений с коэффициентами \(\alpha\), \(\beta\), \(\alpha’\), \(\beta’\), причем \((\alpha\beta’-\alpha’\beta \neq 0)\). Мы получаем равенства \eqref, как и требовалось.
2. Точка \(O\) не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке \(M\), которой соответствует значение параметра \(t_ <1>\neq 0\), то существует симметричная точка пересечения со значением параметра \(-t_<1>\). Тогда \(Pt_<1>^<2>+2Qt_<1>+R=0\) и \(Pt_<1>^<2>-2Qt_<1>+R=0\), откуда следует \(Q=0\).

Таким образом, если линия имеет точки пересечения с двумя различными прямыми, проходящими через \(O\), то, как и выше, мы можем получить равенства \eqref для координат \(O\). Докажем, что такие прямые обязательно найдутся. Действительно, в противном случае все точки линии лежат на одной прямой. Согласно теореме о существующих типах линий второго порядка линии только двух классов обладают этим свойством: пары совпавших прямых и пары мнимых пересекающихся прямых. Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что противоречит сделанному предположению. Утверждение доказано.

Сопряженные направления.

Направление \((\alpha’, \beta’)\), определяемое диаметром, сопряженным направлению \((\alpha, \beta)\), называется сопряженным направлению \((\alpha, \beta)\). Компоненты \((\alpha’, \beta’)\), направляющего вектора диаметра \eqref согласно доказанному ранее утверждению 6 удовлетворяют условию
$$
(A\alpha+B\beta)\alpha’+(B\alpha+C\beta)\beta’=0\label
$$
или
$$
A\alpha\alpha’+B(\alpha’\beta+\alpha\beta’)+C\beta\beta’=0\label
$$
В последнее выражение пары чисел \((\alpha, \beta)\) и \((\alpha’, \beta’)\) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Если направление \((\alpha’, \beta’)\), сопряженное с \((\alpha, \beta)\), не является асимптотическим, то сопряженным для \((\alpha’, \beta’)\) будет направление \((\alpha, \beta)\) (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Сопряженные направления.

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению \((\alpha, \beta)\) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства \eqref следует, что в качестве \(\alpha’\) и \(\beta’\) можно выбрать соответственно — \(-(B\alpha+C\beta)\) и \((A\alpha+B\beta)\). Подставим это в уравнение \eqref для асимптотических направлений:
$$
A(B\alpha+C\beta)^<2>-2B(B\alpha+C\beta)(A\alpha+B\beta)+C(A\alpha+B\beta)^<2>=0.\nonumber
$$
После преобразований получаем \((AC-B^<2>) \times (A\alpha^<2>+2B\alpha\beta+C\beta^<2>)=0\). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.

Если линия не центральная \((\delta=0)\), то для любого направления \((\alpha, \beta)\) сопряженное направление — асимптотическое (рис. 9.4). Если линия центральная \((\delta \neq 0)\), то направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое.

Рис. 9.4. Сопряженные направления у параболы.

Главные направления.

Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.

Направление \((\alpha, \beta)\) и направление \((\alpha’, \beta’)\) сопряженного ему диаметра называются главными направлениями, если они перпендикулярны.

Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты \((\alpha, \beta)\) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения \eqref, то есть должно существовать такое число \(\lambda\), что
$$
A\alpha+B\beta=\lambda\alpha,\ B\alpha+C\beta=\lambda\beta.\label
$$
Исключая \(\lambda\), мы получаем уравнение для \(\alpha\) и \(\beta\):
$$
(A-C)\alpha\beta+B(\beta^<2>-\alpha^<2>)=0.\label
$$

Если положить \(\alpha=\cos \varphi\), \(\beta=\sin \varphi\), то уравнение \eqref превратится в уравнение \(2B \cos 2\varphi = (A-C)\sin 2\varphi\), которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно \(\varphi\). Поэтому имеет место следующее утверждение.

Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений.

Более подробное исследование уравнения \eqref показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда \(A=C\), \(B=0\). При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: \(x^<2>+y^<2>=a^<2>\), \(x^<2>+y^<2>=-a^<2>\) или \(x^<2>+y^<2>=0\). В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла.

Касательная к линии второго порядка.

Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением \eqref. Дадим предварительно следующее определение.

Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии.

Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.

Рассмотрим точку \(M_<0>(x_<0, y_<0>>)\), лежащую на линии \(L\), и прямую с начальной точкой \(M_<0>\), заданную уравнением \eqref. С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что уравнение \eqref, определяющее точки пересечения \(L\) и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит \(L\), в уравнении \eqref \(R=0\), и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы \(Q=0\). Если при этом окажется, что и \(P=0\), то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень \(t=0\) в том и только том случае, когда \(Q=0\). Мы рассматриваем равенство \(Q=0\) как условие, определяющее направляющий вектор касательной:
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta=0.\label
$$

Так как \(M_<0>\) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие \eqref определяет \(\alpha\) и \(\beta\) с точностью до общего множителя. Точка \(M(x, y)\) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrowM>\) коллинеарен \(\boldsymbol(\alpha, \beta)\), то есть его координаты \(x-x_<0>\) и \(y-y_<0>\) удовлетворяют тому же условию, что и \((\alpha, \beta)\):
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)(x-x_<0>)+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)(y-y_<0>)=0.\label
$$

Это и есть уравнение касательной к линии \(L\) в точке \(M_<0>\), лежащей на линии. Уравнение \eqref можно записать и иначе, если заметить, что координаты \(M_<0>\) удовлетворяют уравнению \eqref и, следовательно,
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)x_<0>+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)y_<0>+Dx_<0>+Ey_<0>+F=0.\nonumber
$$
Прибавляя это равенство к \eqref и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение
$$
Axx_<0>+B(xy_<0>+x_<0>y)+Cyy_<0>+D(x+x_<0>)+E(y+y_<0>)+F=0.\label
$$

Особые точки.

Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат \((x_<0>, y_<0>)\) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
\begin
& Ax_<0>+By_<0>+D=0,\ Bx_<0>+Cy_<0>+E=0,\\
& Ax_<0>^<2>+2Bx_<0>y_<0>+Cy_<0>^<2>+2Dx_<0>+2Ey_<0>+F=0.
\end\nonumber
$$
Умножим первое из них на \(x_<0>\), второе на \(y_<0>\) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
\left\<\begin
Ax_<0>+By_<0>+D=0,\\
Bx_<0>+Cy_<0>+E=0,\\
Dx_<0>+Ey_<0>+F=0.
\end\right.\label
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы \(\boldsymbol

(A, B, D)\), \(\boldsymbol(B, C, E)\) и \(\boldsymbol(D, E, F)\). Равенства \eqref представляют собой координатную запись векторного равенства
$$
x_<0>\boldsymbol

+y_<0>\boldsymbol=-\boldsymbol.\label
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы \(\boldsymbol

\), \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol\) компланарны, и потому
$$
\triangle=\begin
A& B& D\\
B& C& E\\
D& E& F
\end=0.\label
$$

Если линия центральная, то векторы \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, и условие компланарности \eqref равносильно существованию разложения \eqref, то есть существованию решения системы \eqref. Мы получили ещё одно утверждение.

Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда \(\triangle=0\).

Итак, сочетание \(\delta 0\), \(\triangle=0\) — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда \(\triangle=0\). В этом (и только этом) случае векторы \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны. Действительно, так как \(\delta=0\), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений \eqref имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда \(\triangle=0\) независимо от \(\boldsymbol\).

Обратно, пусть для нецентральной линии \(\triangle=0\). Докажем, что \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае \(\boldsymbol\) по ним раскладывается, и согласно \eqref существует особая точка. Она — центр, \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны, и мы получаем противоречие.

Для нецентральных линий условие \(\triangle=0\) равносильно существованию центра.

Итак, сочетание \(\delta=\triangle=0\) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из последних двух утверждений следует, что равенство \(\triangle=0\) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.