Видео решение логарифмических уравнений 11 класс

Решение логарифмических уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы продолжим изучение важной темы – решение логарифмических уравнений. Будем основываться на результатах, полученных в предыдущем уроке.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Решение логарифмических уравнений
видеоурок алгебры (11 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Решение логарифмических уравнений». 11-й класс

Леухина Татьяна Николаевна учитель высшей категории

1. систематизировать, обобщить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения логарифмических уравнений;
2. обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приемами решения этих уравнений;
3. развивать математическое мышление, способствовать развитию познавательного интереса средствами личностно ориентированной технологией обучения;
4. воспитывать внимание, самостоятельность, трудолюбие, активность.

Оборудование: компьютерная презентация , карточки с заданиями для работы в группах по два человека, карточки с заданием составить слово.

I. Организация начала урока. Ознакомление учащихся с целью урока.

Сегодня на уроке мы продолжим рассматривать тему “Решение логарифмических уравнений”. (Слайд 1).

Цель нашего урока повторить приемы и методы решения логарифмических уравнений, закрепить изученный материал. Помните, что каждый урок – это подготовка к ЕГЭ по математике.

II. Устная работа.

1. Прочитайте выражение и найдите его значение. (Слайд 2).

2. Найдите х. (Слайд 3).

III. Работа с карточкой “Составить слово”. (Слайд 4).

Н) log5 ; П) log5log232;

Н) log7cos0; Ж) 41+log42;

Р) log35x = 0; Е) 3x = 6;

О) log4(1 – 3x) = 2; Е) log53log325.

Проверяем полученный результат. (Слайд 5).

IV. Историческая справка ( сообщение ученика) (Слайд №6, 7)

V. Повторение теоретического материала.

1. Что называют логарифмическим уравнением? (Слайд 8)
2. Сформулируйте теорему, которую применяют при решении логарифмических уравнений? (Слайд 9).
3. Назовите методы решения логарифмических уравнений.

VI. Проверка домашнего задания по ответам.

Проверка уравнений по ответам.

Отвечаю на вопросы по домашней работе.

VII. Закрепление изученного материала.

1. Определите, каким методом можно решить каждое из перечисленных уравнений?

Функционально – графический метод, метод потенцирования, введение новой переменной, метод логарифмирования.

2. Эти уравнения два ученика решают у доски, а все ребята в тетрадях. Обсуждаем методы решения данных уравнений. Обращаем внимание на то, что некоторые уравнения можно решить несколькими способами.

3. Параллельно три группы по 2 человека работают по карточкам.

4. Через 5–7 минут из каждой группы один ученик выходит решать одно из трех предложенных уравнений. ( Слайд 11).

VΙ. Итог урока. Выставление оценок.

VΙΙ. Домашнее задание.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Прочитайте выражение и найдите его значение log 3 27 log 2 0,5 log π 1 log 7 cos 4 π log 1,2 tg45 ° 3 2 log 3 4 log 2 log 2 16

Найдите х: log 2 x = — 1; lg x = 2 ; log 1/3 x = -3 ; log x 36 = 2 ; log x 5 = 0 ; 2 х = 3.

Составьте слово Н ) log 5 ; П ) log 5 log 2 32; Н ) log 7 cos 0 ; Ж) 4 1+log 4 2 ; Р) log 3 5x = 0; Е ) 3 x = 6; О ) log 4 (1 – 3x) = 2; Е ) log 5 3 log 3 25 . Д ) 3 2log 3 5 ; 25 │ 8 │ -5 │1 /2 │ 0 │ log 3 6 │ 1 │ 2 │ 0,2│ ————————————————————- │ │ │ │ │ │ │ │ │

25 │ 8 │ -5 │1 /2 │ 0 │ log 3 6 │ 1 │ 2 │ 0,2│ ———————————————————— д │ ж │ о │ н │ н │ е │ п │ е │ р │

Джон Непер Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической фун­кций в самых различных областях на­уки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году, были опубликованы первые логарифмические таблицы, со­ставленные Джоном Непером. Они по­могали астрономам и инженерам, сокра­щая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «уд­линяя жизнь вычислителям». Джон Непер

Применение логарифмов Логарифмы широко используются в различных областях науки: Физика — интенсивность звука (децибелы), оценивается так же уровнем интенсивности по шкале децибел; Число децибел ,где 1 – интенсивность данного звука Астрономия – если известна видимая звездная величина и расстояние до объекта, можно вычислить абсолютную величину по формуле: Химия – водородный показатель, «pH», это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр: В музыке : в основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается логарифмами соответствующих частот: В сейсмологии : при вычислении магнитуды. Магнитуда землетрясения – величина, характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн.

Логарифмическое уравнение Определение. Логарифмическим уравнением называют уравнение вида log a f(x) = log a g(x), где а > 0, а ≠ 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Логарифмическое уравнение Теорема. Если f(x) > 0 и g(x) > 0 ,то логарифмическое уравнение log a f(x) = log a g(x) ( где а > 0, а ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Классификация логарифмических уравнений по методам решения lg(x 2 -4) = lg( 2 x-1); 3log 2 5 x — 5log 5 x+2=0; log 3 (6 – x) = log 3 (x -7 ) log 1/2 x = 2x – 5; X 1 –log 5 x = 0,04. Функционально – графический метод. Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования

Решите уравнения log 2 6 x + log 6 x + 14 = ( ) 2 + x 2 ; lg(x 2 +2x-4)+4 x +8 = 6 ·2 x +lg(x 2 +2x-4); │ log 2 x — 1│ = (2x +5)(log 2 x -1).

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ alt=’2^<\log _<4>\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )>><2>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.