Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений
Содержание
Раньше с помощью уравнений вы часто решали текстовые задачи, так как этот способ наиболее универсален и прост для нахождения ответа. В данном уроке:
- сформулируем основные понятия
- разберем алгоритм действий
- узнаем, на что обращать особое внимание
- прорешаем примеры таких задач
Для лучшего понимания темы вспомним, что такое текстовая задача:
Текстовая задача – описание с помощью слов какой-то ситуации, где в итоге требуется что-то из перечисленного:
— дать количественную характеристику какого-то элемента этой ситуации
— установить наличие какого-то отношения между элементами (либо его отсутствие)
— определить вид этого отношения
О том, что такое линейное уравнение, мы говорили в предыдущем уроке.
Решение задачи и математическая модель
Когда от нас требуется решить задачу, мы должны с помощью правильной цепочки действий над имеющимися в задании данными выполнить указанное в ней требование.
Почему важно научиться решать задачи? Часто они описывают какие-то реальные ситуации, которые вам будут попадаться в жизни дальше. И их придется решать.
В процессе нахождения ответов для разнообразных текстовых задач мы можем математическим языком (с помощью цифр) записать все данные. В результате перевода условия задачи из словесного в математический язык и получается уравнение. Это уравнение часто называют математической моделью ситуации.
Математическая модель — это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.
Мы должны не просто составить уравнение по написанному в задаче условию, но и, конечно, решить его. То есть необходимо найти корень составленного уравнения. Но и найденный корень – это, как правило, еще не решение.
В младших классах вы находили ответы для задач попроще. Далее они станут сложнее и сложнее, и с найденным корнем уравнения нужно будет произвести какие-то дальнейшие действия. А потом необходимо обязательно удостовериться, не противоречит ли полученный ответ логике.
Важно: Иногда бывает, что у задачи нет правильного ответа и нужно быть особо внимательным при его формулировке.
Рассмотрим на самом простом примере
Несколько ребят на уроке труда собирали яблоки в саду около школы. Всего они насобирали $29$ кг яблок. Каждый из учеников собрал по $4$ кг яблок. Сколько ребят собирали яблоки в саду около школы?
Составим уравнение, обозначив количество учеников за $x$. Получим: $$4x = 29$$ $$x = \frac <29><4>$$$$x = 7,25$$
У нас получилось нецелое число. Но может ли быть количество ребят нецелым числом? Конечно, нет, поэтому такая задача решения не имеет.
Ответ: решения нет.
Разберем другой пример.
Сейчас папе $46$ лет, а сыну $16$. Сколько лет назад папа был старше сына в $3$ раза?
Сначала найдем разницу в возрасте папы и сына: $$46-16 = 30$$ То есть, сын родился, когда папе было $30$ лет. Эта разница в возрасте будет сохраняться всю жизнь. Например, когда ребенку было $5$ лет, то папе все равно было на $30$ лет больше.
Теперь по условию задачи обозначим за $x$ возраст сына в момент, когда он был в 3 раза младше папы. Тогда папе в это же время было $3x$ лет. А разница между $3x$ и $x$, как мы выяснили, равна $30$ годам.
Составим уравнение: $$3x-x = 30$$ Упростим и решим его: $$2x = 30$$ $$x = 15 (лет)$$ Получили ли мы ответ? Еще нет, так как мы нашли только возраст сына. А в задаче требуется узнать, сколько лет назад случилась описанная ситуация. Если сейчас сыну $16$ лет, а тогда ему было $15$, то найдем разницу: $$16-15 = 1 (год)$$ То есть, мы выяснили, что папе было в $3$ раза больше, чем сыну один год назад. Это и будет ответом на нашу задачу.
Ответ: $1$ год назад.
Как видите, в данном задании найденный корень уравнения еще не был нужным нам ответом, и необходимо было решать дальше.
Важно: корень составленного к задаче уравнения – это часто еще не ответ на поставленный в ней вопрос!
Этапы решения заданий с помощью линейного уравнения
Все перечисленные в примерах выше действия для решения задач с помощью линейных уравнений мы можем свести к одному общему алгоритму:
- Выбрать, какую неизвестную величину обозначить за переменную $x$.
- Через введенную переменную выразить остальные неизвестные величины.
- На основе имеющихся данных составить уравнение и решить его.
- При необходимости найти другие неизвестные величины.
- Проанализировать, соответствуют ли полученные результаты смыслу задачи.
- Сформулировать и записать ответ.
Как правило, легче всего составить уравнение с помощью записи данных задачи в таблицу.
К примеру, решим такую задачу: в столовой на одной полке было в $2$ раза больше кружек, чем на другой. Перед очередным классом с первой полки взяли $16$ кружек, но потом на другую поставили $4$. В итоге на обеих полках оказалось одинаковое количество кружек. Найдите, сколько на каждой полке кружек было первоначально.
Решение. Обозначим исходное количество кружек на второй полке за $x$ и составим таблицу:
| Было | Стало | |
| $1$-я полка | $2x$ | $2x-16$ |
| $2$-я полка | $x$ | $x+4$ |
Так как по условию задачи кружек на обеих полках стало поровну, то $$2x-16 = x+4$$ Упростим и решим, перенеся $x$ влево, а $16$ вправо с противоположным знаком: $$2x-x = 16+4$$ $$x=20$$ Так мы нашли исходное количество кружек на второй полке. Тогда на первой полке было: $$20\times 2 = 40 (кружек)$$
Ответ: на первой полке было $40$ кружек, а на второй $20$.