Урок математики в 5 классе «Решение задач с помощью уравнений»
план-конспект урока по алгебре (5 класс) по теме
Урок математики в 5 классе: «Решение задач с помощью уравнений»
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok_matematiki_v_5_klasse_reshenie_zadach_s_pomoshchyu_uravneniy.docx | 79.62 КБ |
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 11
г.о.Октябрьск Самарской области
Урок математики в 5 классе по теме
«Решение задач с помощью уравнений»
Шангина Ирина Евгеньевна
Цель урока : создание условий для осознанного и уверенного владения навыком составления уравнений при решении текстовых задач.
Образовательные задачи урока :
- учить составлять уравнения к текстовым задачам;
- учить анализировать условие задачи на предмет соответствия действительности;
- учить составлять собственные задачи по заданным условиям.
Развивающие задачи урока:
- развивать творческие способности учащихся;
- развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
- развивать коммуникативные навыки;
- развивать умение сотрудничать при решении учебных задач.
Воспитательные задачи урока:
- воспитывать культуру умственного труда;
- воспитывать культуру коллективной работы;
- воспитывать упорство в достижении цели.
Тип урока – урок изучения нового материала.
Формы организации деятельности учащихся : фронтальная, групповая.
Актуальность поставленной цели
При решении задач с помощью уравнений пятиклассники испытывают затруднения при составлении уравнений, часто не могут в тексте задачи выделить те условия, которые связывают неизвестные величины, а также условие, на основании которого составляется уравнение. О составлении уравнений несколькими способами, как правило, не приходится говорить. Данный урок в значительной мере способствует решению этой проблемы.
Место урока в тематическом планировании
В учебнике Н. Я. Виленкина тема «Решение задач с помощью уравнений» отдельно не рассматривается, тем не менее, уже в главе I «Натуральные числа» предлагаются задачи, которые нужно решить с помощью уравнения. Далее такие задачи по мере нарастания трудности встречаются в отдельных пунктах учебника.
Проведение блока уроков «Решение задач с помощью уравнений» (в тематическом планировании можно выделить 3-4 часа за счёт резервного времени) наиболее целесообразно после изучения темы «Упрощение выражений». К проведению данного урока учащиеся уже умеют упрощать буквенные выражения, решать уравнения. В связи с этим на уроке перечисленным навыкам особого внимания не уделяется.
Организация учебной деятельности с учётом личностно — ориентированной технологии обучения
На уроке созданы условия для реализации основных принципов личностно-ориентированного обучения. Это выражено в следующем:
- создание атмосферы взаимной заинтересованности в работе учащихся и учителя;
- стимулирование учащихся к высказываниям, использованию различных способов решения задачи без боязни ошибиться, получить неправильный ответ;
- оценка деятельности ученика не только по конечному результату (правильно-неправильно), но и по процессу его достижения;
- поощрение стремления ученика находить свой способ решения задачи, анализировать способы других учеников в ходе урока, выбирать и осваивать наиболее рациональные;
- создание ситуации выбора и успеха;
- создание условий для актуализации и обогащения субъектного опыта учащихся;
- создание обстановки для естественного самовыражения ученика.
Организация учебной деятельности с учётом здоровьесберегающей технологии обучения
Учебная деятельность, организованная на уроке, способствует сохранению здоровья детей , а именно :
- своевременная подготовка к уроку и его мобилизующее начало;
- доброжелательная атмосфера, способствующая положительному эмоциональному настрою;
- антистрессовые моменты, выраженные в стимулировании учащихся к составлению различных по содержанию задач, а также к использованию различных способов составления уравнений к одной задаче, без боязни ошибиться;
- смена видов деятельности учащихся.
Результат деятельности учащихся
Результатом деятельности учащихся на уроке является полное понимание сути решения задач с помощью уравнений, осознанный и вдумчивый подход к анализу условий задач и отбору этих условий для связи между неизвестными величинами и для составления уравнений, а также понимание необходимости и достаточности количества этих условий для единственности решения. Своеобразным «продуктом» деятельности учащихся на уроке является приобщение их к процессу творчества, открытия для себя нового, осознание чувства сопричастности к общему успеху.
1. Организационный момент.
Цель: подготовить учащихся к работе на уроке.
Встали тихо, замолчали,
Всё, что нужно, вы достали.
Приготовились к уроку,
В нём иначе нету проку.
Больше не вертитесь.
Мы урок начнем сейчас,
Интересен он для вас.
Слушай всё внимательно,
Поймешь всё обязательно.
Давайте улыбнёмся друг другу и с хорошим настроением начнём наш урок.
2. Мотивация урока.
Цель: формирование и повышение учебной мотивации.
Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле?
Выслушиваются варианты ответов учеников.
Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал — Бируни: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
3. Постановка целей урока.
Цель: организовать целенаправленную познавательную деятельность учащихся.
Ребята. Сегодня мы с вами будем решать задачи. Это уже не ново для вас, мы решали задачи на вычисление периметра и площади прямоугольника, на нахождение части от числа и числа по его части, на движение и многие другие. А вот каким способом решения мы займемся сегодня – нам поможет узнать следующее задание.
Итак, сегодня мы займемся решением задач с помощью уравнений. Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы научиться правильно составлять уравнения? Такой приём мы уже применяли при решении задач «по действиям».
Ученики в процессе обсуждения приходят к мнению, что нужно попробовать самим составлять задачи.
Значит, сегодня на уроке перед нами стоят следующие задачи.
С помощью учеников учитель формулирует задачи урока. Вот возможные варианты.
- Учиться составлять уравнения к задачам.
- Учиться составлять задачи.
- Учиться определять тип задач.
Запишите в тетради тему урока: «Решение задач с помощью уравнений».
4. Устная работа.
- подготовить учащихся к деятельности на основном этапе урока;
- развивать логическое мышление, умения обобщать, классифицировать, строить умозаключения.
Задание 1. Какое слово лишнее?
А) Километр, метр, сантиметр, длина, миллиметр, дециметр.
Б) Тонна, центнер, масса, грамм, пуд.
В каком отношении находится лишнее слово в каждом из списков?
Задание 2. Решить уравнения, повторяя правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя.
а) х + 15=40; в) 8 – х = 2; д) х : 20 = 3;
б) у – 10 = 32; г) 70 : у =7; е) 25х = 100.
5. Изучение нового материала.
- вырабатывать навык анализа условия задачи на необходимость и достаточность данных для решения;
- развивать творческие способности школьников.
В одном бидоне х л, а в другом – у л молока.
1. Расшифруйте выражения:
2. Расшифруйте равенства:
Задание 2. Решите задачу.
Поле площадью 24 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков на 8 га больше другого.
О чем говориться в задаче? ( Предполагаемый ответ: в задаче говорится о поле )
На какие части можно условно разделить поле в задаче? ( I участок, II участок )
Какая величина характеризует поле? ( Площадь поля )
В чем она измеряется? ( Гектарах )
Какова площадь поля? ( 24 га )
Какова площадь первого участка? ( Неизвестна )
Какова площадь второго участка? ( Неизвестна )
Какова зависимость между неизвестными величинами? ( Площадь первого поля на 8 га больше площади второго участка )
Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.
Пусть х га площадь второго участка, тогда х + 8 площадь второго участка. Зная что, площадь всего поля 24 га, составим уравнение.
Значит 8 га площадь второго участка.
8 + 8 = 16 (га) площадь первого участка.
Ответ. 8 га и 16 га.
Ребята, каким образом поступают при решении задач с помощью уравнений?
- Обозначают некоторое неизвестное число буквой, и, используя условие задачи, составляют уравнение.
- Решают уравнение.
- Истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.
Цель: предупреждение нарушений осанки, профилактика заболеваний.
Быстро встали, улыбнулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали. Сели, встали.
И на месте побежали.
7. Закрепление изученного материала.
- развивать коммуникативные навыки учащихся;
- воспитывать культуру коллективной работы.
Задание 1. Составьте несколькими способами уравнение для решения задачи.
Мотоциклист движется навстречу автобусу. Сейчас между ними расстояние 90 км. Они встретились через 1 час. Найдите скорость автобуса, если она больше скорости мотоциклиста в 2 раза.
Проверим решение задачи.
Пусть х км/ч- скорость мотоциклиста, тогда 2х км/ч – скорость автобуса.
Путь, который прошёл автобус: х∙1= х (км).
Путь, который проделал мотоциклист 2х∙1= 2х (км).
По условию задачи весь путь равен 90 км.
Какое из уравнений является самым простым для решения?
Решить № 577, 580
Цель: способствовать формированию умения анализировать собственную деятельность по достижению поставленной цели.
Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).
Вам для этого помогут слова:
Я сначала испугался, а потом…
Я сейчас слушаю и думаю…
Мне интересно следить за…
9. Домашнее задание.
Цель: продлить творческий «порыв» учащихся.
1) Для обязательного выполнения № 614, 618
2) Для выполнения по желанию учащихся (на карточке).
По тропинке вдоль кустов
Сосчитать я также смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Петухи и поросята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было петухов?
И узнать я был бы рад,
Сколько было поросят?
Ты сумел найти ответ?
До свиданья, вам привет.
Вот и кончился урок.
Снова прозвенел звонок,
Отдыхать мы можем смело,
А потом опять за дело.
Урок – это часть жизни ребенка, и проживание этой жизни должно совершиться на уровне высокой общественной культуры. Сорокаминутный момент жизни – это продолжение домашней, уличной жизни, это «кусок истории личностной судьбы ребенка”.
Класс, с которым я работаю, является классом возрастной нормы. Большинство имеет положительную мотивацию к учебной деятельности. Класс к уроку был готов, так как учащиеся быстро включились в деловой ритм. Ребята были готовы к восприятию данной темы и имели достаточный запас знаний. С первых минут урока стало ясно, что ребята не равнодушны к предмету математика.
Взаимоотношения между учащимися ровные, спокойные, дружеские. Ребята данного класса владеют диалогической формой общения, умеют слушать и слышать другого.
Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений». Тема сообщалась через создание проблемной ситуации.
При подготовке и проведении урока я ставила перед собой следующие цели и задачи:
Цель урока: создание условий для осознанного и уверенного владения навыком составления уравнений при решении текстовых задач.
Образовательные задачи урока:
- учить составлять уравнения к текстовым задачам;
- учить анализировать условие задачи на предмет соответствия действительности;
- учить составлять собственные задачи по заданным условиям.
Развивающие задачи урока:
- развивать творческие способности учащихся;
- развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
- развивать коммуникативные навыки;
- развивать умение сотрудничать при решении учебных задач.
Воспитательные задачи урока:
- воспитывать культуру умственного труда;
- воспитывать культуру коллективной работы;
- воспитывать упорство в достижении цели.
Данный тип урока включает организационную часть, определение темы и целей, воспроизведение учащимися знаний, связанных с предстоящей работой, сообщение содержания задания и инструктаж по его выполнению, оценку и самооценку выполненной работы.
Для достижения поставленных целей я использовала следующие приёмы и методы:
- словесные (рассказ учителя, работа с текстом задачи);
- письменных и устных упражнений, и самостоятельных работ, разработанных в занимательной и познавательной форме;
- методы устного и письменного контроля и самоконтроля.
Тема урока отражает теоретическую и практическую часть урока и понятна учащимся.
Целеполагание было определено учащимися в результате диалога с классом.
Последующая деятельность ученика осознавалась ими как своя собственная.
Все этапы урока были направлены на выполнение этих целей с учетом особенностей класса.
На уроке, с целью активизации работы, были использованы различные виды проверок: самопроверка с доски, взаимопроверка выполненной работы в парах. Оценка каждого задания дала возможность каждому ребёнку оценить свои знания, увидеть, что он не усвоил и над чем ему ещё нужно поработать.
В ходе работы ребята показали уровень усвоения материала, сформированность умений и навыков, были внимательны, вежливы, терпеливы по отношению друг к другу, излагали изученный материал последовательно, логично.
Я считаю, что данный урок цели достиг. Так как дети показали, что приёмы и способы устных вычислений учащиеся усвоили хорошо, умеют анализировать задачи, научились составлять уравнения по условию задачи и выполняют задания с удовольствием. Материал, подобранный для урока был доступен для всех учащихся этого класса. Выбранный тип и форма проведения урока себя оправдали.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока в 6 классе «Решение задач с помощью уравнений»
Урок проводится в 6 классе при изучении темы «Решение задач с помощью уравнений» по учебнику Зубарева, Мордкович. Имеется презентация к этому уроку.
Урок алгебры 7 класс. Решение задач с помощью уравнений
урока математики на тему «Решение задач с помощью уравнений»
урок математики на тему.
урок математики 6 класс «Решение задач с помощью пропорций» конспект урока и призентация
решение задач на прямую и обратную пропорциональность с последующим построением диаграмм.
Урок математики 6 класс «Решение задач с помощью пропорций» УМК Мордкович А.Г.
Урок освоения и систематизации полученных знаний.
Математика, 5 класс «Решение задач с помощью уравнения»
Технологогическая карта урока математики в классе «Решение задач с помощью уравнений». В помощь учителю.
Задачи по математике для учеников 5 класса на составление уравнений
Задачи по математике для учеников 5 класса на составление уравнений.
Для приготовления салата берут 4 части помидор, 3 части огурцов и 1 часть зелени. Всего получилось 480 грамм салата. Сколько грамм помидор было взято?
У Веры было в 5 раз больше слив, чем у Даши. При этом у Даши было на 16 слив меньше. Сколько слив было у Даши? У Веры?
У Дениса было в 3 раз больше монет, чем у Васи. А у Димы в 2 раза больше монет, чем у Дениса. Всего же монет было 50. Сколько монет было у Васи? У Дениса?
Для приготовления варенья взяли 4 части сахара и 7 частей фруктов. Всего получилось 660 грамм варенья. Сколько грамм сахара было взято?
У Насти было в 3 раза больше груш, чем у Иры. При этом, у Иры было на 14 груш меньше, чем у Насти. Сколько груш было у Иры? У Насти?
Для приготовления теста взяли 5 частей муки, 2 части молока и 1 часть масла. Общий вес теста составил 960 грамм. Сколько грамм молока было взято?
У Ивана было в 6 раз меньше мандарин, чем у Пети. При этом у Пети было на 15 мандарин больше. Сколько мандарин было у Ивана? У Пети?
Мальчик проехал на автобусе 3 части пути от дома, а пешком прошел 2 части пути. Всего же он преодолел 15 км. Сколько км мальчик прошел?
У Вики было в 4 раза меньше апельсин, чем у Оли. При этом у Оли было на 12 апельсин больше, чем у Вики. Сколько апельсин было у Вики? У Оли?
Света задумала число, умножила его на 4 и к произведению прибавила 8. В результате она получила 60. Какое число задумала Света?
Собрали несколько килограммов свежей вишни. После того, как из 7 кг сварили варенье, а затем собрали ещё 5 кг, то свежей вишни стало 10 кг. Сколько вишни собрали изначально?
В одной корзине в 6 раз меньше яблок, чем в другой. Сколько яблок в каждой корзине, если в двух корзинах 98 яблок?
Задача № 13
В трёх автобусах 188 пассажиров, причём в первом автобусе на 9 пассажиров больше, чем во втором, и на 8 меньше, чем в третьем. Сколько пассажиров в каждом автобусе?
Задача № 14
В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если известно, что в нём в 3 раза больше мест, чем в малом зале?
Задача № 15
В школе 900 учащихся. Сколько учащихся в начальных, средних и старших классах, если в начальных классах их в 3 раза больше, чем в старших, и в 2 раза меньше, чем в средних?
Задача № 16
Площадь кухни в 3 раза меньше площади комнаты, поэтому для ремонта пола кухни потребовалось на 24 м2 линолеума меньше, чем для комнаты. Какова площадь кухни?
Задача № 17
Одна сторона прямоугольника в 4 раза меньше другой. Чему равны длина и ширина прямоугольника, если его периметр равен 70 см?
Задача № 18
На пруду плавали белые и серые утки, причём серых было в 3 раза больше, чем белых. После того, как на пруд прилетели 5 лебедей, то птиц всего оказалось 29. Сколько серых уток плавало на пруду?
Задача № 19
В 5 «Б» классе из 27 учащихся «3» получили за контрольную по математике в 6 раз меньше человек, чем «4» и в 2 раза меньше, чем «5». Сколько учащихся получили «3», «4» и «5» за контрольную работу?
Деду 56 лет, внуку — 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внука?
Задача № 21
Упаковка чая на 50 копеек дороже пакета кофе. Вася купил 7 упаковок чая и 6 пакетов кофе, потратив 68 рублей 50 копеек. Сколько стоит пакет кофе?
Задача № 22
9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка?
Задача № 23
Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго, умножения на 2 третьего и деления на 2 четвёртого эти числа станут равными.
Задача № 24
В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?
Задача № 25
Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)
Задача № 26
Ваня 28 ноября сказал: «Сегодня разность между числом прожитых мною полных месяцев и числом полных лет впервые стала равна 144». Когда у Вани День рождения?
Задача № 27
Лена загадала некоторое число. Если это число уменьшить на 12, то получится 5. Какое число загадала Лена?
Задача № 28
Некоторое число увеличили в 7 раз, после чего получили 119. Что это за число?
Задача № 29
Найдите числа, следующие друг за другом, если их сумма равна 159.
Задача № 30
Одно число больше другого на 38. Чему равны эти числа, если их сумма равна 184.
Задача № 31
За три дня турист преодолел 105 км. Сколько километров турист преодолел в первый день, если в каждый последующий день он преодолевал на 3 км больше, чем в предыдущий?
Задача № 32
Сколько лет маме, если она старше дочери на 24 года, а дочь моложе матери в 7 раз?
Задача № 33
На рисунке изображены треугольники и четырехугольники. Сколько тех и других изображено на рисунке, если у всех фигур вместе 69 углов, а всего фигур — 18?
Задача № 34
Швейная мастерская закупила 2 сорта ткани всего 49 метров. Стоимость одного 110 рублей за 1 метр, стоимость другого 100 рублей за 1 метр. Сколько метров каждого сорта было куплено, если всего потратили 5150 рублей?
Задача № 35
Мама покупала в магазине овощи и фрукты. За овощи она заплатила на 90 рублей меньше чем за фрукты, а за фрукты заплатили в 2 раза больше, чем за овощи. Сколько мама заплатила за овощи и за фрукты по отдельности?
Стоимость фломастеров и тетрадей вместе составляет 276 рублей, стоимость фломастеров составляет 0,6 стоимости книги, а тетради на 60 рублей дороже книги. Сколько стоят тетради?
Задача № 37
Саша задумал 3 натуральных числа. Первое из чисел наибольшее двузначное число, второе в 4 раза больше третьего. Что за числа задумал Саша, если сумма этих чисел равна 934?
Задача № 38
На трех книжных полках стояли книги. На первой полке книг стояло в 2 раза меньше, чем на второй, а на третьей на 4 меньше чем на первой. Сколько книг стояло на каждой из полок, если всего в шкафу было 88 книг?
Задача № 39
Бассейн вмещает 300 м3 воды и наполняется двумя трубами. Через первую трубу вода вливается со скоростью 20 м3/ч, а через вторую трубу – со скоростью 30 м3/ч. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном включении двух труб?
Задача № 40
Морковь дороже картофеля на 25т., за 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 520 тенге. Сколько стоит морковь, картофель?
Задача № 41
Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км. Скорость первого поезда 70 км/ч, а скорость второго 80 км/ч. Какое расстояние было между поездами через 3 ч после выхода?
Задача № 42
Пассажирский и товарный поезд вышли в одном направлении одновременно с двух станций, расстояние между которыми 512 км. Скорость пассажирского поезда была в 2 раза быстрее скорости товарного и через 8ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?
Задача № 43
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.
Задача № 44
Туристы прошли пешком х км. И проехали на автомобиле 3 х км. Весь путь равен 124 км.
Задача № 45
Ученик задумал число. Умножил его на 2, к произведению прибавил 19 и получил сумму, равную 37. Какое число задумал ученик?
Отец старше сына на 20 чет, а сын моложе отца в 5 раз. Сколько лет отцу и сколько лет сыну?
Задача № 46
В одном бидоне молока в раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?
Задача № 47
Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила
, после чего из суммы вычла задуманное число.
Задача № 48
Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему
. Какое число задумал Дмитрий?
Задача № 49
На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой
кг. Какова масса дыни?
Задача № 50
В корзине было неизвестное количество яблок. Сначала из нее взяли 12 яблок, а потом положили туда 5 яблок. В результате в корзине стало 24 яблока. Сколько яблок было в корзине первоначально?
Задача № 51
В корзине было 15 груш. Сначала из нее взяли 7 груш, а потом положили в нее неизвестное количество груш. В результате в корзине стало 34 груши. Сколько груш положили в корзину?
Задача № 52
В коробке было 65 конфет. Вначале из нее взяли неизвестное количество конфет, а потом доложили 7 конфет. В результате в коробке стало 34 конфеты. Сколько конфет было взято?
Задача № 53
Турист прошел часть пути за 45 минут, затем отдыхал неизвестное количество времени, и оставшуюся часть пути прошел за 34 минуты. В результате весь путь турист преодолел за 2 часа 18 минут. Сколько минут отдыхал турист?
Задача № 54
Температура воздуха была 23 градуса. В первый день она опустилась на неизвестное количество градусов, а во второй день поднялась на 5 градусов. В результате температура воздуха стала 19 градусов. На сколько градусов опустилась температура в первый день?
Задача № 55
В корзине было неизвестное количество яблок. Вскоре из нее достали 7 яблок и отдали мальчику, а потом доложили в корзину еще 14 яблок, после чего в ней стало 18 яблок. Сколько яблок было в корзине первоначально?
Задача № 56
Для приготовления мороженого взяли 3 части молока, 2 части сахара и 1 часть масла. Всего мороженое весило 120 грамм. Сколько грамм сахара взяли?
Задача № 57
В корзине было неизвестное количество яблок. Вначале из нее взяли 16 яблок, а затем положили в нее 5 яблок. В результате в корзине стало 7 яблок. Сколько яблок было в корзине первоначально?
Задача № 58
На полке стояло несколько книг. После того, как с неё сняли 8 книг, а затем положили 17, на ней стало 22 книги. Сколько книг было на полке первоначально?
Задача № 59
На трёх складах 72 тонны пшеницы. На первом в 3 раза больше, чем на втором, а на третьем в 4 раза больше, чем на втором. Сколько зерна на каждом складе?
Задача № 60
Лиза нашла грибов в 2 раза больше, чем Ваня. А Таня в 4 раза больше, чем Ваня. Сколько грибов нашёл каждый из ребят, если вместе они нашли 140 грибов?
Задача № 61
Для приготовления супа берут 7 части воды, 3 части овощей и 2 части мяса. Всего получается 3600 грамм супа. Сколько грамм овощей потребуется?
Задача № 62
В коробке было 25 конфет. Вначале в нее положили 12 конфет, а затем взяли неизвестное количество конфет. В результате в коробке осталось 11 конфет. Сколько было взято конфет?
Задача № 63
У Маши было a пирожков, у Коли b пирожков, а у Пети c пирожков. Они сложили их и поделили на 3 равные части. Сколько пирожков досталось каждому? Напишите выражение и найдите его значение при а=12, b=16, d=8.
Задача № 64
Решите задачу с помощью уравнения:
а)Мальчик задумал число и умножил его на 8. Если из данного произведения отнять 26, то получится 46. Какое число загадал мальчик?
б)75 кг мандарин разложили в несколько коробок, а потом из каждой коробки взяли 3 кг. В каждой коробке осталось 12 кг мандарин. Сколько было коробок?
Решите задачу с помощью уравнения:
а)Девочка задумала число и разделила его на 12. Если к данному частному прибавить 13, то получится 33. Какое число загадала девочка?
б)49 кг яблок разложили в несколько коробок, а потом в каждую коробку положили 2 кг. В каждой коробке стало 9 кг яблок. Сколько было коробок?
Решение задач с помощью уравнений
Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.
Введение
В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.
Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.
Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.
Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:
- Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
- Решают уравнение.
- Истолковывают результат.
Примеры решений
Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?
Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.
Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.
Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)
Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.
Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.
Монет в мешке: $48$
Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$
Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?
Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.
Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.
Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.
Муки во втором мешке: $700$ кг.
Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.
Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.
Картошки во втором мешке: $15$ кг.
Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:
По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)
Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.
Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).
Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.
Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$
Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$
Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.
Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.
Задачи для самостоятельного решения
По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?
Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.
В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$
Ответ: Рабочие отработали 6 дней.
Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:
1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.
Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:
$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:
Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.
Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:
Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.
Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:
$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$
$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$
Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.
http://nauka.club/matematika/zadachi-na-sostavlenie-uravneniy-5-klass.html
http://reshu.su/algebra/06/