Линейное уравнение с одной переменной (В.А. Тарасов)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»
Видео урок линейное уравнение с одной
УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»
Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:
3x + x = 40.
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх + х = 40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения. Равенство Зх + х = 40 верно при х = 10. Число 10 — корень уравнения Зх + х = 40.
Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.
Так, уравнение (х—4)(х — 5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5)(х—б), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Уравнение х 2 =4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Уравнения обладают следующими свойствами:
1) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Рассмотрим уравнение х 2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х 2 = 9. Докажем, что уравнения х 2 — 2 = 7 и х 2 = 9 равносильны.
Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х 2 —2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.
Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х 2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.
Таким образом, уравнения х 2 — 2 = 7 и х 2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.
3) Можно также доказать, что если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. Например, перенеся в уравнении 5х = 2х + 9 слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2дс=9, ему равносильное.
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Каждое из уравнений 5х = — 4, — 0,2х = 0, —х= —6,5 имеет вид ах = b где а и b — числа. В первом уравнении а = 5, b= — 4, во втором а= —0,2, b = 0, в третьем а= — 1, b= —6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.
Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Число а называется коэффициентом при переменной, а число b — свободным членом.
Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень
Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
Пример. Решим уравнение
Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:
Приведем подобные слагаемые:
Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:
Число —5 является корнем уравнения .
Может случиться, Что при решении уравнения мы придем к линейному уравнению вида 0х=b. В этом случае исходное уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является любое число. Например, уравнение сводится к уравнению Ох = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение сводится к уравнению 0х = 0, и, значит, любое число является его корнем.
Урок 46. Линейное уравнение с одной переменной.
Алгебра 7кл. Мерзляк. 46. Линейные уравнения с одной переменнойПодробнее
Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙПодробнее
Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойПодробнее
Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Подробнее
7 класс, 4 урок, Линейное уравнение с одной переменнойПодробнее
Линейные уравнения с одной переменной . Алгебра . 7 класс .Подробнее
Линейное уравнение с одной переменнойПодробнее
6 класс, 18 урок, Линейные уравнения с одной переменнойПодробнее
Линейное уравнение с одной переменной | Алгебра 7 класс #17 | ИнфоурокПодробнее
Линейное уравнение с одной переменнойПодробнее
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с одной переменной. §2 алгебра 7 классПодробнее
Алгебра 7 класс: Линейное уравнение c одной переменнойПодробнее
Математика. 6 класс. Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной /13.01.2021/Подробнее
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Видеоурок | АЛГЕБРА 7 классПодробнее
Линейные уравнения с одной переменной. Алгебра 7 классПодробнее
Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения с одной переменной.Подробнее
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 7 класс МакарычевПодробнее
Линейное уравнение с одной переменной Равносильные уравненияПодробнее
Линейное уравнение с одной переменной. НачалоПодробнее
http://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1891-algebra-7-9-klassy-1-uravneniya-s-odnoj-peremennoj-vyrazheniya-i-ikh-preobrazovaniya
http://abesu.org/urok-46-lineynoe-uravnenie-s-odnoy-peremennoy