Видеоурок иррациональные уравнения и неравенства 10 класс алимов

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие иррационального уравнения;

2) понятие иррационального неравенства;

3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;

4) методы решения иррациональных неравенств.

Глоссарий по теме

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что а≥0, тогда

Для нашего случая получим

или

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

Подчеркните корни данного уравнения

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Решите уравнение:

Рассмотрим область определения функций:

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Открытый урок «Иррациональные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект открытого урока по алгебре и начала анализа в 10 классе.

Учебник : Алгебра и начала анализа за 10-11 класс .- авторы Алимов , Колягин, Ткачева, Федорова, Шабунин , 2015 год ФГОС.

Дата проведения открытого урока: 10.112020

ТЕМА: «Иррациональные уравнения»

Обучающая: дать понятие иррационального уравнения и рассмотреть способ решения.

Развивающая: Способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений.

Воспитательная: Воспитывать навыки аккуратности и правильности оформления уравнения в тетрадях.

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Устно (можно использовать доску, карточки, презентацию).

Преобразуйте выражение (представьте в виде многочлена)

а) (а-5) 2 ; (а 2 +4в) 2 ; (2а-3) 2 ; (-х-7) 2

25х 2 +40х+4 = (5х+2) 2

4х 2 +1-2х = (2х-1) 2;

в) Решить уравнение

Опр .Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Какие из следующих уравнений являются иррациональными?

Рассмотрим общий способ решения

При решении иррациональных уравнений почти всегда необходимо избавиться от радикалов.

Один из возможных методов состоит в том, что корень из выражения с переменой переносится в одну из частей равенства, а все остальные выражения в другую (уединение радикала).

После уединения выполняется возведение в квадрат, в куб или в другую степень.

При решении уравнения переходим к уравнению-следствию, проверка должна входить в решение как обязательная часть.

Проверка может осуществляться различными способами:

Каждый из найденных корней уравнения-следствия подставить в исходное уравнение и проверить, является ли он корнем исходного уравнения.

“ Вспомнить” все неравенства, которые надо было включать в систему, чтобы переходы были равносильными, и проверить выполняются ли для найденных “корней” эти неравенства.

(Проверить выполнение неравенства иногда бывает значительно проще, чем выполнение точного равенства).

Сегодня мы разбираем только уравнения первого способа.

IV. Переходим к записям в тетрадь

Число. Тема: Иррациональные уравнения.

У каждого на парте карточка с уравнениями:

Далее сильные учащихся разбирают решение более сложного уравнения по шаблону

Остальные самостоятельно решают уравнение (на доске и в тетрадях объясняет решение учитель):

Проверка усвоения учащимися материала на оценку “3” — ученики остаются на местах и решают уравнения (по выбору 2):

Проверка усвоения учащимися материала на оценку “4” и “5”: учащиеся решают уравнения по выбору из предложенных уравнений..

Оценка “5” — решены 5,6 уравнения, если нет решения 5,6 уравнения, то оценка “4”.

V. Итоги и рефлексия. По окончании урока каждый ученик получает оценку и соответствующие домашнее задание.

Итак, ребята! Какие уравнения мы сегодня на уроке рассмотрели?

– Дать определение иррациональных уравнений.

– Какая особенность существует при решении иррациональных уравнений?

– Какие способы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели ?

Домашнее задание : №152(2,3), 154(2,4), 155(2)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 055 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 9. Иррациональные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 19.11.2020
• 74
• 2

• 19.11.2020
• 86
• 3

• 19.11.2020
• 364
• 10

• 19.11.2020
• 90
• 3

• 19.11.2020
• 126
• 0

• 19.11.2020
• 89
• 0

• 19.11.2020
• 117
• 0

• 19.11.2020
• 107
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.11.2020 945
• DOCX 262.3 кбайт
• 163 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лаврентьев Александр Владимирович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 973
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Обобщающий урок алгебры и начала анализа по теме «Методы решений иррациональных уравнений»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Образовательные– обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Углубление в пределах темы. Создать условия контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений.
• Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
• Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Метод обучения – частично-поисковый (эвристический).

Тестовая проверка уровня знаний, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока – индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование: презентация, содержащая системно-обобщающую схему, блоки уравнений, шкалу оценок; высказывание: «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

У обучающихся: листы учета знаний, системно-обобщающая схема, листочки, карточки с тестированием (4 варианта), по 3 кружочка (жёлтый, зелёный, красный).

Ход урока

I. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Методы решений иррациональных уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, методы и приемы решения иррациональных уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению иррациональных уравнений.

II. Задание на дом.

Оцените свои способности. Задание на дом по уровню сложности:

на «3» – №183 (1, 3, 5), №155 (3, 4)

на «4» – №160 (2, 3), №156 (1, 2), №159 (1)

на «5» – №163 (1, 3), №188 (1, 4, 5).

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.]. –М.: Просвещение, 2010.

III. Математический диктант.

Математический диктант выполняется с последующей самопроверкой.

Цель: контроль (самоконтроль) знаний по простейшим иррациональным уравнениям, определению иррациональных уравнений, ОДЗ переменной иррационального выражения.

Число правильных ответов учащиеся заносят в лист учета.

1. Какие из следующих уравнений являются иррациональными.
1 вариант:	2 вариант:
а) х + = 2	а) = 1
б) х = 1 + х	б) х² – 2 х + 4 = 0
в) у + = 2	в) у² – у = + 2
г) = 3	г) + = 3
д) у² – 3у = 4	д) z = 1 +
(а, в, г)	(а, г, д)
2. Является ли число х0 корнем уравнения:
, х0 = 4	, х0 = 2
(нет)	(да)
3. Найти ОДЗ переменной в выражении:
(х ≥ 3)	(х ≥ 2)
4. Решите уравнения:
а)= 4	а) = 3
б) = -2	б) + 2 = 0
( а) 16; б) нет корней)	( а) х = 27; б) нет корней)

IV. Систематизация теоретического материала.

Учебная серия «Классификация иррациональных уравнений».

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения иррациональных уравнений.

На доске написаны уравнения данной серии и на слайде презентации представлена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных ответов заносят в лист учета знаний соседа.

Определите методы решения следующих уравнений:

1. х – 1=;
2. = х ;
3. х – 3 + 2 + 0 ;
4. (4х – х2 – 3)= 0 ;
5. ;
6. = х;
7. — 3= 10 ;
8. ––= 0;
9. +=;
10. = х² – 4
11. += 1;
12. 2 – х + 3= 4.

V. Блоки уравнений.

На сравнение, обобщение, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки. Отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний.

1 Вопрос. О чем идет речь?

Ответ: 1, 2, 4 – простейшие иррациональные уравнения, решаются по определению арифметического корня.

3 – простейшее иррациональное уравнение с параметром.

Вопрос. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение?

2.

Вопрос. Что объединяет эти уравнения?

Ответ: Методы решения I и II .

Вопрос. К каким уравнениям сводится решение данных уравнений после применения этих методов?

Ответ: К квадратным уравнениям.

Вопрос. Какое уравнение особенное?

Ответ: №4. Под знаком квадратного корня полный квадрат разности (х – 3)².

А по формуле = получается уравнение с модулем = 5 – х. Решение полученного уравнения с объяснением у доски.

3.

Вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ: №3 не иррациональное уравнение, следовательно, лишнее. Но все эти уравнения не имеют корней, следовательно, они равносильные.

Вопрос. Объясните, почему уравнение № 4 не имеет решений.

Вопрос. Объясните, почему уравнение № 3 не имеет решений.

4.

Что бы это означало? Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

Вопрос. Что можно делать?

Вопрос. Что нельзя?

Вопрос. К чему может привести это преобразование?

Решить уравнение № 3 на доске и в тетрадях. (ответ: х₁=1; х₂ = 3)

VI. Дифференцированная самостоятельная работа в виде тестирования.

Четыре варианта карточек с выбором правильного ответа из четырех предложенных.

1. Решить уравнение.
2. Найти сумму (произведение) корней.
3. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения.

Листы с решениями учащиеся сдают учителю. Сверяют свои ответы с правильными, записанными на доске или на слайде. Заносят результаты в лист учета знаний.

VII. Подведение итогов.

По шкале оценок каждый учащийся ставит себе предварительную оценку в лист учета знаний. После проверки учителем самостоятельной работы, итоговая оценка будет сообщена на следующем уроке.

VIII. Отчет учащихся об индивидуальном домашнем задании.

(Решение уравнений ученики записывают на перемене перед началом урока на откидных досках или готовят слайд презентации)

Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной.

1) 2х² – 6х + + 2 = 0

у = у ≥ 0

у²= х² -3х + 6, х2- 3х = у²- 6, 2х²- 6х = 2у² – 12,