Видеоурок по геометрии уравнение окружности

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Урок «Уравнение окружности»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Уравнение окружности» дает представление об уравнении окружности, раскрывает метод выведения уравнения окружности с известным радиусом и координатами центра. В ходе урока рассматриваются примеры, которые помогают усвоить материал и научить применять его на практике в решении задач. Задача данного пособия – облегчить восприятие материала, способствовать его запоминанию, позволить учителю более рационально распределить время урока, повысить эффективность обучения. Освобожденное время учитель может использовать на повышение качества индивидуальной работы с учениками.

В ходе видеоурока используются следующие эффекты – анимация, структурирование материала по кадрам, выделение цветом важных понятий и деталей построения и теоретической части. Видеоуроки помогают сконцентрировать внимание учеников на изучении темы. Структурированная, четкая подача материала улучшает его восприятие. Последовательное объяснение с построением, голосовым сопровождением дает возможность улучшить усвоение материала учениками с различными способностями и особенностями внимания.

Видеоурок начинается с представления темы урока. На экране строится прямоугольная система координат, на которой нарисована окружность с центром в точке С(х₀;у₀). Также в данной окружности отмечен радиус r. По известным свойствам окружности расстояние между ее центром и любой точкой М(х;у), принадлежащей окружности, будет вычисляться по формуле, уже изученной на прошлых уроках. Соответственно, расстояние между точкой М(х;у) и С(х₀;у₀) будет представлено формулой МС=√(х-х₀) 2 +(у-у₀) 2 . Так как данное расстояние в окружности представлено радиусом, верно равенство МС=r. Возведя в квадрат обе части равенства, получим МС 2 =r 2 . Подставив вместо МС выражение, отражающее расстояние между точками в системе координат, получаем (х-х₀) 2 +(у-у₀) 2 = r 2 . Также отмечается, что данное уравнение не будет верно для любой другой точки, которая лежит вне данной окружности. Из рассуждения делается вывод, что уравнение окружности, имеющей радиус r и центр в точке С(х₀;у₀) в прямоугольной системе координат выражается следующим равенством (х-х₀) 2 +(у-у₀) 2 = r 2 .

Отдельно выведено уравнение окружности, центр которой располагается в начале координат. В этом случае координаты центра окружности равны нулю. Уравнение окружности преобразуется в вид х 2 +у 2 = r 2 .

Для усвоения рассмотренного материала приводится пример нахождения уравнения окружности. В примере необходимо описать уравнение окружности, которая проходит через начало координат, а центр имеет в точке (-3;4). Зная, что центр окружности располагается в точке (-3;4), записываем уравнение, пользуясь изученной формулой (х+3) 2 +(у-4) 2 = r 2 . Чтобы определить радиус окружности r, необходимо воспользоваться заданным условием, что окружность проходит через начало координат. Чтобы определить радиус, подставляем значение координат данной точки в уравнение (0+3) 2 +(0-4) 2 = r 2 . После вычислений получаем r 2 =25. Вычисленный радиус окружности r=5. В результате анализа получаем готовое уравнение окружности (х+3) 2 +(у-4) 2 = 25. Данное уравнение после раскрытия скобок принимает вид х 2 +у 2 +6х-8у=0. Данное уравнение также является уравнением окружности.

Видеоурок «Уравнение окружности» может применяться на уроке геометрии как наглядное пособие при изучении данной темы. Видеоматериал может стать дополнительным пособием, помогающим ученику самостоятельно освоить данную тему или углубить ее понимание. Наглядность пособия поможет учителю, осуществляющему дистанционное обучение.

Урок геометрии «Уравнение окружности». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Оборудование: интерактивная доска.

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
3. Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
4. Закрепление изученного материала– 20 мин.
5. Итог урока – 5 мин.

− (Приложение1 Слайд 2) записать формулу нахождения координат середины отрезка;

− (Слайд 3) Записать формулу расстояние между точками (длины отрезка).

3. Объяснение нового материала.

(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а;b) и с центром в начале координат.

х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.

Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:

• знать координаты центра;
• знать длину радиуса;
• подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.

4. Решение задач.

В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.

№ 7. Заполнить таблицу.

№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:

№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.

№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К(-12;5).

R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;

Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.

№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С(3; —1).

R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А(3;2), проходящей через В(7;5).

1. Центр окружности – А(3;2);
2. R = АВ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение окружности (х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.

№ 13. Проверьте, лежат ли точки А(1; -1), В(0;8), С(-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

I. Подставим координаты точки А(1; -1) в уравнение окружности:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А(1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

II. Подставим координаты точки В(0;8) в уравнение окружности:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит В(0;8) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

III. Подставим координаты точки С(-3; -1) в уравнение окружности:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С(-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

1. Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
2. (Слайд 21) Домашнее задание.