Видеоурок по теме квадратные уравнения и его корни

#115 Урок 1. Квадратные уравнения. Дискриминант. Алгебра 8 класс.

Квадратные уравнения. Какое квадратное уравнение называется полным? Формула дискриминанта и корней полного квадратного уравнения. Уравнения с дробями. Как избавиться от всех знаменателей сразу. Алгебра 8 класс. Примеры с решением и объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

#116 Урок 2. Неполные квадратные уравнения. Решение через дискриминант. Алгебра 8 класс.Математика.

Квадратные уравнения. Какое квадратное уравнение называется полным? Какое квадратное уравнение называется неполным? Формула дискриминанта и корней полного квадратного уравнения. Как решать неполное квадратное уравнение через дискриминант. Алгебра 8 класс. Примеры с решением и объяснением.

#117 Урок 3. Квадратные уравнения. Текстовые задачи. Алгебра 8 класс.

Решение текстовых задач составлением квадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

• Пример 1: Найдите три последовательных целых числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.
• Пример 2: Найдите четыре последовательных четных числа, если утроенное произведение второго и третьего чисел на 344 больше произведения первого и четвертого.
• Пример 3: Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 23 дм, а диагональ 37 дм.
• Пример 4: Сколько сторон имеет многоугольник, если в нем можно провести 77 диагоналей.

Задачи с объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

#118 Урок 4 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.

Квадратные уравнения. Параметры. Алгебра 8 класс. Что такое параметр? Понятие параметра в математике. Определение параметра: Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами. Пример: 10х2 +4х+b=0; х — переменная; b — параметр; В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами. Примеры с решением и объяснением.

• Пример 1: При каком значении а, число 1/3 является корнем уравнения.
• Пример 2: При каком значении b имеет единственный корень уравнение? Условие единственности корня. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

#119 Урок 5. Параметры. Решение квадратных уравнений с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.

Параметры. Решение квадратных уравнений с параметрами. Алгебра 8 класс. Квадратные уравнения. Примеры с решением и объяснением.

• Пример 1: Решить квадратное уравнение с параметром, если коэффициент при х2 фиксированное число.
• Пример 2: Решить квадратное уравнение с параметром, если коэффициент при х2 записано с использованием параметра.

#120 Урок 6. Квадратные уравнения с модулем. Алгебра 8 класс. Решить уравнение. Модуль. Математика.

Решение квадратных уравнений с модулем. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.

• Пример 1: Решить квадратное уравнение с модулем, раскрыв модуль по определению.
• Пример 2: Решить квадратное уравнение с модулем, раскрыв модуль, используя свойства модуля.

Квадратные уравнения с модулем 8 класс; квадратное уравнение под модулем; квадратные уравнения с модулем примеры; решение квадратных уравнений с модулем 8 класс; квадратные уравнения с модулем примеры решения; решение квадратных уравнений содержащих модуль; как раскрыть модуль квадратного уравнения. Как решать квадратное уравнение с модулем. Как раскрыть модуль, используя его определение. Определение модуля. Свойства модуля. Решить квадратное уравнение. Решить через дискриминант. Сделать проверку. Посторонние корни. Как убрать посторонние корни. Математика. Образование. Подготовка к егэ, егэ математика, видео уроки, подготовка к зно, вно математика. Видео уроки алгебра, алгебра видеоуроки, онлайн урок, математика видео уроки, онлайн урок, инфо урок, огэ, огэ математика. Дистанционное обучение.

#121 Урок 7. Решение квадратных уравнений с использованием свойств функций. Алгебра 8 класс.

Квадратные уравнения. Использование свойств функций для решения квадратных уравнений. Оценка левой и правой частей уравнения. Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. Примеры с решением.

• Пример 1: Решить иррациональное уравнение, приводящееся к квадратному, используя свойства функций.
• Пример 2: Решить уравнение, преобразовав условие по формулам сокращенного умножения и оценив левую и правую части уравнения.
• Пример 3: Решить уравнение с корнем и модулем.

#122 Урок 8. Решение квадратных уравнений с учетом ОДЗ. Область определения. Алгебра 8 класс.

Область определения функции, 4 случая: многочлен, дробь, квадратный корень и квадратные корень в знаменателе. ОДЗ дроби. ОДЗ корня. ОДЗ уравнения. Область определения квадратного корня. Область определения квадратного дроби. Область определения квадратного корня в знаменателе. Что такое область определения. Область определения теория. Область определения, табличка. Примеры с решением. Алгебра 8 класс. Решить квадратное уравнение с учетом ОДЗ. ОДЗ квадратного уравнения; как найти одз в квадратном уравнении; одз корня квадратного уравнения; 2 квадратных уравнения; решение квадратных уравнений; произведение квадратных уравнений; 3 квадратных уравнения. Математика. Образование. Подготовка к егэ, егэ математика, видео уроки, подготовка к зно, вно математика. Видео уроки алгебра, алгебра видеоуроки, онлайн урок, математика видео уроки, онлайн урок, инфо урок, огэ, огэ математика. Дистанционное обучение.

#62 Урок 9. Решение квадратных и кубических уравнений разложением на множители.

Как решить квадратное или кубическое уравнение, разложив его на множители?

1. Разложить на множители (вынести общий множитель за скобки, посмотреть формулы, посмотреть способ группировки).
2. Приравнять каждый множитель к нулю.
3. Решить полученные уравнения.

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, разность кубов, квадрат разности.Примеры с решением. Решение кубических уравнений. Уравнение четвертой степени. Как решить уравнение?

• Пример 1: Решить кубическое уравнение разложением на множители.
• Пример 2: Решить кубическое уравнение, используя формулы сокращенного умножения.
• Пример 3: Решить кубическое уравнение, используя способ группировки.
• Пример 4: Решить уравнение 4-й степени разложением на множители.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x 2 — 2x + 6 = 0
• x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0. Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений: ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0; ax 2 + c = 0, при b = 0; ax 2 + bx = 0, при c = 0. Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0 Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль. По шагам решение выглядит так: Как решить уравнение ax 2 + с = 0 Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0: перенесем c в правую часть: ax 2 = — c, разделим обе части на a: x 2 = — c/а. Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое: не имеет корней при — c/а 0. В двух словах Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0. Перенесем свободный член в правую часть: Разделим обе части на 8: В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней. Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0 Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0. Решить линейное уравнение: 0,5x = 0,125, х = 0,125/0,5 Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25. Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнение С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравнения Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0: вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac; если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет; если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a; если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравнений Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0 Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень Найдем корень Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1 Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0. Найдем дискриминант по формуле D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет. Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентов Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула. Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 — ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно: вычислить D1= n 2 — ac; если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле Формула Виета Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″> Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″> Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″> Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. 2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравнений Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентами Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: Серия уроков по теме: «Квадратные уравнения». Алгебра 8-й класс Класс: 8 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. (22 часа) 1. Входной контроль. Лекция. Презентация. ВК 2ч. 2. Изучение нового материала. Тренинг-минимум. ЧО1 1ч. Стр.107-109. 3. Решение задач с адаптацией. З1 0,5ч. 4. Изучение нового материала. Тренинг-минимум ЧО2 1ч стр.111-112 5. Решение задач с адаптацией. З2 1ч 6. Контролирующая самостоятельная работа. С 0,5ч. 7. Изучение нового материала. Тренинг-минимум. ЧО3 1ч. Стр.113-114 8. Решение задач с адаптацией. З3 1ч 9.Изучение нового материала. Тренинг-минимум. ЧО4 1ч стр.115-119 10.Решение задач с адаптацией. З4 1ч 11. Контролирующая самостоятельная работа С2 1ч 12. Изучение дополнительного материала. ЧД 1ч. 13.Изучение нового материала. Тренинг-минимум. ЧО5 1ч стр.122-126 14.Решение задач с адаптацией. З5 1ч 15Контролирующая самостоятельная работа. С3 0,5ч. 16.Изучение нового материала. Тренинг-минимум. ЧО6 1ч стр.128-130 17.Решение задач с адаптацией З6 1ч 18.Контролирующая самостоятельная работа. С4 0,5ч 19.Изучение нового материала. Тренинг-минимум. ЧО7 1ч стр.131-134 20.Решение задач с адаптацией З7 1ч 21. Самостоятельная работа. С5 1ч 22.Обобщающий урок. Нестандартная форма урока Нф 1ч. 23. Выходной контроль. Контрольная работа. ВК 1ч. Самостоятельная работа с взаимопроверкой и взаимооценкой (по вариантам) 1 вариант 2вариант Вычислить: ; . + —.	Вычислить: ; .; +—
Найдите значение выражения Д=в 2 – 4ас, если а=2, в=5, с=1.	Найдите значение выражения Д=в 2 – 4ас, если а=-2, в=4, с=3.
Чему равен , если Д = 625	Чему равен , если Д = 324
Решите уравнения а) х 2 – 3х = 0; б) х 2 = 64; в) х 2 =7	Решите уравнения а) х 2 – 4х = 0; б) х 2 = 36; в) х 2 =11
Уравнение вида ах 2 +вх+с=0, называется квадратным. Определите, чему равны коэффициенты а, в ,с в уравнении 7х 2 +10х+12=0	Уравнение вида ах 2 +вх+с=0, называется квадратным. Определите, чему равны коэффициенты а, в ,с в уравнении 5х 2 +12х+19=0

1. ЧО₁. Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения.

Опр.1 Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где а,в,с – заданные числа, а?0, х — неизвестное.

Коэффициенты а, в, с квадратного уравнения обычно называют так: а – первым или старшим коэффициентом, в – вторым коэффициентом, с – свободным членом.

Например, в уравнении 3х 2 – х + 2=0 старший коэффициент 3, второй коэффициент -1, свободный член 2.

Задание, Определить а, в, с в уравнении 5х 2 -10х+3=0.

Теорема. Уравнение х 2 = d, где d>0, имеет два корня: х_1=, х₂ = —.

Доказательство. См. учебник стр. 109.

Например, уравнение х 2 = имеет два корня: х₁ = = , х₂ = —= —.

Обычно записывают х_1,2 = ± .; уравнение х 2 =3 имеет два корня х_1,2 = ± уравнение х 2 = 8 имеет два корня х_1,2 = ± или х_1,2 = ± 2 .

Следствие. Если в уравнении х 2 = d правая часть равна нулю, то уравнение имеет один корень х=0 или два равных корня х_1,2 =0.

Если d 2 = d не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным числом.

Например, уравнение х 2 = -25 не имеет действительных корней.

Задание. Решить уравнения: а) х 2 =225; б) х 2 =0; в) х 2 = — 64.

2.ЧО₂ Неполные квадратные уравнения.

Опр.2 Квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равно нулю. Они имеют следующий вид:

ах 2 =0, где в=0,с=0.

ах 2 + с = 0, где в=0, с?0. ах 2 +вх=о, где с=0, в?0.

Заметим, что в уравнениях а?0.

Например, 1). Решить уравнение 7х 2 =0.

Решение. Разделим обе части этого уравнения на 7 получим

х 2 =0, откуда х=0.

2).Решить уравнение 5х 2 — 125 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5:

х = ±,

3). Решить уравнение 3х 2 + 8 = 0.

Решение. 3х 2 = — 8,

Х 2 = — .

Это уравнение действительных корней не имеет, так как х 2 не может быть отрицательным числом.

Ответ: корней нет.

4). Разобрать в учебнике на стр. 112. Оформить запись в тетрадь.

Задание. Решить уравнения. Учебник. Стр.112 № 417 (2; 4; 6 ), № 418 (5; 6;) №419(1; 4)

3. ЧО₃ Метод выделения полного квадрата.

Для решения некоторых квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата.

ВСПОМНИМ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения (а+в) 2 = а 2 + 2ав + в 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на втрое плюс квадрат второго выражения (а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2 .

Рассмотрим это на примерах.

1).Решить квадратное уравнение х 2 – 4х – 5 = 0.

Решение. Преобразуем это уравнение

х 2 – 2х*2 + 4 = 5 + 4,

х – 2 = -3 или х – 2 = 3,

Решая это уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное.

2). Решить уравнение 4х 2 — 8х + 3 = 0.

Решение. Преобразуем это уравнение

(2х) 2 – 2*2*2х + 4 = -3+4,

2х – 2 =1 или 2х – 2 = -1

Решите уравнения: 1) х 2 + 2х – 15 = 0;

25х 2 — 10х — 3 = 0.

4 ЧО₄ Решение квадратных уравнений.

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: ах 2 + вх + с = 0, где а?0. Разделив обе части уравнения на а, получим: х 2 + х + =0.

Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился квадрат двучлена: х 2 + х = — ,

х 2 + 2* х + () 2 = — + () 2 ,

( х + ) 2 = .

Если в 2 — 4ас ? 0, то (х + ) 2 = () 2 , откуда х = = ±, х_1,2 = — ± или х_1,2 = .

Эту формулу называют формулой корней квадратного уравнения общего вида. Выражение « в 2 – 4ас» называют дискриминантом и обозначают буквой D . Поэтому , если D?0, то уравнение имеет два корня, они находятся по формуле корней квадратного уравнения.

Задание. Запишите формулу корней квадратного уравнения общего вида.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень : х = — .

Если D?0, то квадратное уравнение не имеет корней..

Примеры. 1) Решить уравнение 6х 2 + х – 2 = 0.

Решение. а = 6; в = 1; с=-2.

D>0, уравнение имеет два корня: х_1,2 = .

х_1,2 = .

х₁=; х₂ = .

Ответ: —

2) Решить уравнение 4х 2 – 4х +1 = 0.

Решение. а=4; в=-4; с=1.

D=0, уравнение имеет единственный корень х = —, х = —

Ответ: .

Решить уравнение х 2 — 4х +5 = 0.

Решение. а=1; в=-4; с=5.

3) 7х 2 — 6х + 2 = 0.

5. ЧО₅. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Определение. Квадратное уравнение вида х 2 +px+q=0 называется приведенным.

В этом уравнении старший коэффициент равен единице.

Например, уравнение вида х 2 — 3х – 4 = 0 является приведенным.

Задание. Какие уравнения являются приведенными: 1) х 2 + 4х + 7=0;

2)5х 2 +5х-17=0; 3) х 2 -5х=0; 4)9х 2 -3х+25=0; 5)х 2 +4х-16=0; 6) х 2 +25=0.

Всякое квадратное уравнение ах 2 + вх +с = 0 может быть приведено к приведенному делением обеих частей уравнения на а?0.

Например, уравнение 4х 2 +4х-3=0 делением на 4 приводится к приведенному х 2 + х — =0.

Задание. Приведите квадратное уравнение к приведенному: 6х 2 -3х+12=0.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х 2 +px+q=0. Его корни находятся по формуле: х_1,2= — .

Её называют формулой корней приведенного квадратного уравнения.

Например, решить уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. По формуле х_1,2 = — находим:

х_1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8.

Для приведенного квадратного уравнения справедлива теорема Виета: если х₁ и х₂ — корни уравнения х 2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х₁+х₂= -р, х₁ * х₂ = q, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство смотри на стр. 123.

Например, уравнение х 2 – 13х + 30 = 0 имеет корни х₁ = 10, х₂ = 3; сумма его корней х₁ + х₂ = 13, а их произведение х₁* х₂ = 30. Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: х₁=х₂= — .

Например, уравнение х 2 – 6х + 9 = 0 имеет равные корни: х₁ = х₂ = 3, их сумма х₁ + х₂ = 6, произведение х₁х₂ = 9.

Задание. Рассмотреть и записать в тетрадь решение задач 2,3,4 на стр. 124.

При решении некоторых задач применяется теорема, обратная теореме Виета:Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ =q, то х₁ и х₁ — корни уравнения х 2 + рх + q = 0.

Доказательство смотри на странице 124.

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения.

Смотри задачу 5 на стр. 125.

Рассмотрим пример. Упростите дробь

Разложим числитель дроби на множители, используя способ группировки

х 2 – х – 12 = х 2 — 4х + 3х – 12 = (х 2 – 4х) + (3х -12) = х (х – 4) + 3 (х – 4) = = (х – 4) (х + 3 ). Следовательно,

Многочлен ах 2 + вх + с, где а?0, называют квадратным трехчленом. При решении данного примера квадратный трехчлен х 2 – х – 12 был разложен на множители способом группировки, но можно поступить иначе. Для этого рассмотрим следующую теорему:Если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0, то при всех х справедливо равенство ах 2 + вх + с = а(х –х₁)(х –х₂).

Доказательство смотри на стр. 125.

Задание. Рассмотри задачу № 7 и оформи её в тетрадь.

Реши: №450(1,2); №451(2,5); №456(5); № 457(6).

6. ЧО₆ Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Определение. Уравнение вида ах 4 + вх +с = 0, где а ?0, называется биквадратным.

Заменой х 2 = t это уравнение сводится к квадратному.

Например, решить биквадратное уравнение 9х 4 + 5х 2 – 4 = 0.

Пусть х 2 = t , тогда данное уравнение имеет вид: 9t 2 + 5t – 4 = 0.

D = 5 2 – 4 * 9 * (-4).

D>0, уравнение имеет два корня: t_1,2 = .

t_1,2 = .

t₁=; t₂ =

Получаем х 2 = или х 2 = -1.

х_1,2 = ± корней нет, так как -1 4 – 10х 2 + 9 = 0.

Рассмотрим дробно-рациональное уравнение, его решение тоже сводится к квадратному.

Например, решить уравнение

Решение. Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен (х+2)(х-3). Если х+2?0 и х-3?0, то, умножая обе части на (х+2)(х-3), получаем:

решаем полученное квадратное уравнение.

D > 0, уравнение имеет два корня: х_1,2 =

х_1,2= х₁ = х₂ =

Если х₁ = 1, то х+2 ?0 и х+3 ?0 верно,

если х₂ = —, то х+2 ? 0 и х+3? 0 верно.

Ответ: 2.

Задание. Рассмотреть задачу №4 в учебнике на стр.129 и записать её решение в тетрадь, прочитать и записать вывод к уравнению на стр. 130.

Задачу № 5 разбираем на доске и записываем к себе в тетрадь.

Задание. По задачи №5 составить вопросы и ответить на них по мере возможного.

Решить № 470(3) или №473(1) или № 553(2).

7. ЧО₇. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Для решения задач с помощью квадратных уравнений необходимо вспомнить: теорему Пифагора «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», а 2 +в 2 =с 2 ; закон свободного падения; формулы квадратного уравнения;формула пути «Путь равен произведению скорости на время», S=V t; задачи на совместную работу; площадь прямоугольника « Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину»; S = ab; периметр прямоугольника «Периметр прямоугольника равен сумме длины и ширины, умноженной на 2» P = 2(a+b)/

Рассмотрим несколько задач,решаемых с помощью квадратных уравнений.

Задача №1. Скорость велосипедиста на первой половине пути была на 3 км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в 90 км он преодолел за 5,5 часа? Решение.

Пусть х км/ч скорость велосипедиста на второй половине пути, тогда первую половину пути велосипедист проехал со скоростью (х+3)км/ч. Так как весь путь равен 90 км, то его половина равна 45 км, поэтому ч, время, затраченное велосипедистом на второй половине пути, а ч, время, затраченное велосипедистом на первой половине пути. По условию задачи известно, что весь путь велосипедист преодолел за 5,5= часа, составим и решим уравнение

,

,

90(х+3) + 90х = 11х(х+3),

90х + 270 + 90х =11х 2 + 33х,

11х 2 + 33х — 90х – 270 — 90х=0,

11х 2 – 147х – 270 = 0,

а=11, в= -147, с= -270.

D = (-147) 2 -4*11*(-270).

D>0, уравнение имеет два корня: х_1,2 =

х_1,2 = ; х₁= х₂ =

х₂=условию задачи не удовлетворяет, так как скорость отрицательной быть не может.

Значит, скорость велосипедиста на втором участке пути равна 15 км/ч, а на первом (15+3)=18 км/ч.

Если скорость на втором участке пути равна 15 км/ч, а на первом 18 км/ч, то время на первом участке пути равно ч, а на втором участке пути оно равноч. На весь путь потрачено (2,5+3)= 5,5 ч, что соответствует условию задачи.

Задания: 1)Прочитать §31, рассмотреть задачи № 1,2, 3. Подготовить вопросы по данной теме. Оформить эти задачи к себе в тетрадь.

4. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Как изучать

2. Ответить на вопросы: 1.Что называется квадратным уравнением?

3.Что такое первый коэффициент?

4.Что такое второй коэффициент?

5.Что такое свободный член?

6.Сколько корней имеет квадратное уравнение вида х 2 =d, если d>0? d=0? d 21.02.2007