2.1.5 Показательные уравнения
Видеоурок 1: Показательные уравнения, часть 1
Видеоурок 2: Показательные уравнения, часть 2
Лекция: Показательные уравнения
Показательные уравнения
Данные уравнения не составят труда для тех, кто знает свойства степенных функций вида у = а х , где основание степени есть число большее нуля, а также не равное единице. Сейчас постараемся вспомнить или выучить их:
1. Областью значения данной функции являются все действительные числа.
2. Областью значения функции являются все положительные числа.
3. Если основание степени находится в пределах между нулем и единицей 0 , то график данной функции будет монотонно убывать. Если же а > 1 , то функция монотонно растет.
4. Отличительной особенностью графика данной функции является то, что он не касается оси ОХ, но стремится к ней на бесконечности. При этом ось ОУ данный график пересекает в точке (0;1), данная точка получается в том случае, если в качестве показателя степени выбрать число «0». А мы знаем, что любое число в данной степени даст единицу.
Обратите внимание на исключение, которое было задано изначально — в основании степени не может стоять единица, поскольку в данном случае при любом показателе степени число изменяться не будет и графиком такой функции будет прямая, параллельная оси ОХ.
Решение показательных уравнений
Существует несколько самых простых способов решить данное уравнение. Однако, обратите внимание, если уравнение не имеет явное сходство с уравнениями, представленными ниже, то его нужно привести к простому виду.
Главным путем решения таких уравнений является приведение его к одному основанию.
- Если одна из частей уравнения равна единицы, а вторая — степенная функция с переменной в показателе степени, то имеем основной алгоритм решения:
а f(x) = 1 => а f(x) = а 0 => f(x) = 0.
Когда уравнение приведено к конечному виду, его следует решать, как любое простейшее алгебраическое уравнение по известным, описанным ранее, способам.
- Если по обеим частям уравнения находятся выражения, в которых основания одинаковы, то имеем право отбросить основания и приравнять показатели степени:
а f(x) = а g(x) => f(x) = g(x).
- Если некоторая степень с переменным показателем равна произвольному числу, то следует воспользоваться основным свойством логарифмов:
а f(x) = b => f(x) = logab.
Решение показательных уравнений
В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение, которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод. Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий , которые могут значительно облегчить ход его решения. Вот эти действия:
1. Разложите все основания степеней на простые множители.
2. Корни представьте в виде степени.
3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.
4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.
Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.
1. Уравнение вида
Это уравнение равносильно уравнению 
Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения 
этого типа.
2. Уравнение вида
В уравнениях этого типа:
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.
Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.
Пример решения уравнения этого типа:
посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.
3. Уравнение вида
Уравнения этого типа отличаются тем, что
а) все степени имеют одинаковые основания
б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.
Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно освободиться от свободных членов в показателе степени. (
, 
, и т.д)
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:
4. Однородные уравнения вида 
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.
Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на 
(можно разделить на 
или на 
)
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
В нашем случае, поскольку выражение не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:
Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:
, причем 
0″ title=»t>0″/> 
при всех допустимых значениях неизвестного.
Получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение, найдем значения 
, которые удовлетворяют условию 0″ title=»t>0″/>, а затем вернемся к исходному неизвестному.
Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение однородного уравнения:
При решении этого уравнения будем исходить из того, что 
0″ title=»f(x)>0″/>
Исходное равенство выполняется в двух случаях:
1. Если 
, поскольку 1 в любой степени равна 1,
или
2. При выполнении двух условий:
0>
Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
http://ege-ok.ru/2012/01/23/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya