Видеоурок решение систем линейных уравнений методом крамера

Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Метод Крамера — вывод формул

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,

a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,

b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица-столбец свободных членов;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

• Определитель квадратной матрицы A = a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q

• Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0

p = 1 , 2 , . . . , n , q = 1 , 2 , . . . , n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :

• Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n

• Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0

A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

• Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
• Найти определители

∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.

• Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

• Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3 x 1 — 2 x 2 = 5 6 2 x 1 + 3 x 2 = 2

Основная матрица представлена в виде 3 — 2 2 3 .

Мы можем вычислить ее определитель по формуле:

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13

Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

Находим эти определители:

∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3 = 5 6 × 3 — 2 ( — 2 ) = 5 2 + 4 = 13 2

∆ x 2 = 3 5 6 2 2 = 3 × 2 — 5 6 × 2 = 6 — 5 3 = 13 3

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆

x 1 = ∆ x 1 ∆ = 13 2 13 = 1 2

x 2 = ∆ x 2 ∆ = 3 13 = 1 3

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

3 1 2 — 2 1 3 = 5 6 2 1 2 + 3 1 3 = 2 ⇔ 5 6 = 5 6 2 = 2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x 1 = 1 2 , x 2 = 1 3

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2 y + x + z = — 1 — z — y + 3 x = — 1 — 2 x + 3 z + 2 y = 5

За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x + 2 y + z = — 1 3 x — y — z = — 1 — 2 x + 2 y + 3 z = 5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3

Вычисляем ее определитель:

∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11

Записываем определители и вычисляем их:

∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0

∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22

∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x = ∆ x ∆ , y = ∆ y ∆ , z = ∆ z ∆ .

x = ∆ x ∆ = 0 — 11 = 0

y = ∆ y ∆ = 22 — 11 = — 2

z = ∆ z ∆ = — 33 — 11 = 3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: x = 0 , y = — 2 , z = 3

Видеоуроки по математике и физике

Бесплатные решения задач онлайн

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Это один из самых простых способов решения систем уравнений. Я его очень-очень КУ. Чего и вам советую. Решается он на раз-два, кроме как найти парочку определителей матрицы, вам ничего и не нужно то. А обо всем этом я вам расскажу в своих уроках.

Ещё уроки по той же теме:

47 Responses to Решение системы линейных уравнений методом Крамера

здравствуйте! в видео было сказано что на сайте есть онлайн калькулятор. подскажите где он?!

Добрый вечер. Калькулятор выложен на странице http://specclass.ru/online_kramer/.
Спасибо, что напомнили мне про него, а то я совсем забыл перелинковать урок и видео с калькулятором! С Наступающим вас Новым Годом!

Всё идеально рассказано и написано, кроме того как «дельта х/дельта.

Затупил чё то)) Дошло!))

за видео лекции БОЛЬШОЕ СПАСИБО, но на сайте ориентироваться неудобно

На здоровье! А что именно неудобно? Что ты хотел найти, как искал? и что из этого вышло? Всегда рад сделать сайт удобнее для вас.

Ваш калькулятор плохо находит определители. Подделайте пожалуйста.

я знаю, что он плохо работает, но я не знаю PHP, на котором мне его написали. Постараюсь подделать, как только найдется помощник.

а если определитель основной матрицы=0??

То методом Крамера ты систему не решишь. И методом обратной матрицы тоже. Метод Гаусса в этом плане самый универсальный, поэтому и самый заумный.

2x+3x+4x=33
7x-5x=24
4x+11x=29
пожалуйста помогите как решить я никак не могу и не понимаю как решить эту систему кто нибудь решите пожалуйста помогите

Странно, у тебя во всех уравнениях одна и та же переменная. Ты точно правильно условие записал? Калькулятор для решения этой системы на сайте использовал?

нет мне такую давали я так и написал поэтому у меня мозг чуть не взровался

я бы хотел научится самому решать а у меня не получается помогите какие ещё калькуляторы есть ?

Здравствуйте помогите пожалуйста
3 2 0 -2 i=3
1 -1 2 3 j=1 КАК РЕШИТЬ КТО ЗНАЕТ ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ
4 5 1 0
-1 2 3 -3

Дана матрица, даны i и j. А где условие задачи? что надо найти?

Я Не так уж хорошо понял нашу училку но она на доске написала сказала решить систему 3мя способами найти что то сказала незнаю не помню кто знает помогите !

Ну это получается Решения системы 4х4 просто надо найти ответ я смотрел видео уроки но никак не могу найти ответа !

3 2 0 2
1 -1 2 3 -1 2 3 1 2 3 1 2 3 1-1 2
4 5 1 0 = 3 5 1 0 -(2) 4 1 0 +0 4 1 0 -2 3 5 1 =?
-1 2 3 -3 2 3 -3 -1 3-3 -1 3-3 -1 2 3 помогите найти ответ! пожалуйста

Ну это ты определитель пытаешься найти. Вот ссылка на урок: http://specclass.ru/v0273_la01_naiti_opredelitel_matricy/
В сети до фига онлайн-калькуляторов. Не ленись!

Но я никак не могу определить чё к чему умножать и чё к чему отнять ну и т д вы на уроках всё так быстро делаете никак не могу понять !

Ты расписал определитель 4го порядка, прочем вроде бы как правильно его расписал. Если отмотаешь видео назад, то увидишь, как расписывать определитель 3го порядка (которые у тебя получились). После этого тебе останется все сложить и получить одну единственную цифру — значение определителя твоей матрицы.

Больше ничего понять из твоего условия задачи не удается.

Прошу прощения, а в каком видео рассказано о том, как найти дискриминанты?

Здравствуйте помогите пожалуйста решить
2x+2x+x-x. =7
x+3x-x+3x-5x=2
3x+5x..2x-5x=9

что значит свойство 5 с зануливанием элементов выделеной строки или столбца?

Это на какой минуте?

ненакакой это просто вопрос

Ааа. Путем сложения строк или столбцов (или их линейных комбинаций), можно занулить строку(столбец) целиком или почти целиком. Если занулить целиком, то это означает, что не все переменные независимые. Если строка занулена не целиком, например осталась одна из переменных, то тогда систему можно решить как в методе Гаусса.

а можно поподробнее как именно сщитать?

подскажите пожалуйста где видео по нахождению дискриминанта матриц,не могу найти

Не дискриминант, а детерминант (это я оговорился в видео).
Детерминант матрицы также называют определителем матрицы. Вот ссылка на это видео.

помогите решить.Даны координаты а(а1;а2;а3),в(в1;в2;в3),с(с1;с2;с3),d(d1;d2;d3)в некотором базисе.Показать что векторы образуют базис и найти в этом базисе координаты вектора.Систему полученных уравнений решить двумя способами;
1)Методом Крамера
2)матричным методом
а(0;2;6),в(2;4;-2),с(4;0;2),d(6;2;16).Заранее спасибо

Ребятки помогите пожалуйста нужно решить методом Крамера.
х1+2х2+3х3=1
х1+х2-х3=2
х1+5х2+5х3=0

http://specclass.ru/online_kramer/ — тут даже онлайн-калькулятор по этому методу есть.

Пожалуйста, помогите решить систему линейных уравнений по крамеру.
3×1-x2+3×3=2
x1+x2-x3=0
3×1+2×2-2×3=-3

Воспользуйся калькулятором или выполни все действия согласно видеоуроку.

х1+5х2-х3=-1
2х1+х2-2х3=7
х1-4х2+х3=0
помагите решать пожалуйста

используй калькулятор http://specclass.ru/online_kramer/. все объяснения его работы ты найдешь в видео.

Помогите решить методом краммера
x-y =4
2x+3y+z=1
2x+y+3z = -1

Метод Крамера

Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$. $D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin <|cc|>a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin <|cc|>b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin <|cc|>a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin <|ccc|>3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin <|ccc|>21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin <|ccc|>3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin <|ccc|>3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$