Видеоурок системы двух уравнений с двумя переменными

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Что такое система уравнений с двумя переменными

Системой уравнений в алгебре называется некое условие, смысл которого заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (либо одной) переменных.

Это значит, что система представляет собой комплекс уравнений. Данные равенства могут содержать одну, две или более переменных. Основным условием понятия «система уравнений» является то, что все эти уравнения выполняются в одно время.

Объединить уравнения в систему можно с помощью фигурной скобки:

У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …

Графический метод решения

Принцип решения систем уравнений графическим способом заключается в построении графиков для каждого уравнения в общей системе координат. Тогда решения системы соответствуют точкам, в которых данные графики пересекаются. После объяснения решения ответ принято записывать, как координаты этих точек.

Разберем наглядный пример. Предположим, что дана некая система уравнений, решать которую нужно графическим способом. Выполним работу последовательно:

1. Запишем систему.
2. Выразим одну из переменных (пусть это будет у).
3. Построим на координатной прямой графики функций.
4. Найдем точки пересечения графиков.

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7 ⇔ y = 4 — 2 3 x y = 3 x — 7

Заметим, что точка пересечения графиков имеет следующие координаты:

Графический метод решения систем уравнений уступает в точности другим способам. Использовать график целесообразно в том случае, когда в задаче записана система линейных уравнений. Подобные задачи встречаются в средних классах школы. Такие уравнения имеют вид y = a x + b без квадратных членов, а их графики являются прямыми.

Метод подстановки

Алгоритм решения системы уравнений с помощью метода подстановки:

• выражение одной переменной через другие;
• подстановка выражения, которое получилось, в начальные уравнения на место выраженной переменной;
• повторение второго шага до тех пор, пока не будут определены другие переменные.

Рассмотрим последовательность действий на практике. Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7

Выразим у из второго уравнения:

Выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

Для полученного уравнения с одной переменной несложно найти корни:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

2 x + 3 · 3 x — 3 · 7 = 12

2 x + 9 x — 21 = 12

Зная х, выполним подстановку и найдем у:

y = 3 x — 7 = 3 · 3 — 7 = 2 .

Запишем в ответ значения двух переменных.

Ответ: x = 3 ; y = 2 , либо (3;2).

Метод сложения

При сложении левых частей пары (или более) уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств, согласно формуле:

a = b c = d ⇒ a + c = b + d

В обратную сторону записанное свойство не работает:

a + c = b + d ◃ ≠ ▹ a = b c = d

Таким образом, при решении систем уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число. Например, сложим первое уравнение с числом с:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c

Исходя из того что c=d, можно выполнить замену c на d справа:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c ⇒ a + c = b + d .

В качестве примера попробуем решить систему уравнений:

2 x + y = 12 3 x — y = 3

Следуя правилу, суммируем уравнения. В процессе левые части складываем друг с другом. Аналогичным образом поступим с правыми частями равенств. В результате:

2 x + y = 12 3 x — y = 3 ⇒ 2 x ¯ ¯ + y ¯ + 3 x ¯ ¯ — y ¯ = 15 ⇔ 5 x = 15 ⇔ x = 3 .

Получилось избавиться от переменной у. В итоге задача значительно упростилась. Подставим число 3 на место слагаемого с х:

2 x + y = 12 x = 3 ⇔ 2 · 3 + y = 12 x = 3 ⇔ y = 6 x = 3

В следующем примере система уравнений имеет следующий вид:

2 x + 3 y = 13 4 x + 5 y = 23

Заметим, что с помощью сложения задание не получится упростить. В этом случае можно воспользоваться умножением уравнения на какое-либо число, отличное от нуля. Важно выбрать такой множитель, который позволит избавиться от одной из переменных. В этом случае лучше использовать (-2):

2 x + 3 y = 13 · — 2 4 x + 5 y = 23 ⇔ — 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23

Приступим к сложению:

— 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23 ⇒ — 4 x — 6 y + 4 x + 5 y = — 26 + 23 ⇔ — y = — 3 ⇔

Выполним подстановку у=3 в первое уравнение:

2 x + 3 y = 13 y = 3 ⇔ 2 x + 9 = 13 y = 3 ⇔ x = 2 y = 3

Задания для самостоятельного решения

Нужно решить систему уравнений:

13 x + 6 y = 7 2 x — 4 y = 6

Выразим х с помощью второго уравнения:

Найти значения переменных:

2 x + 5 y = 10 8 y — 5 x = 57

Из первого равенства выразим х:

2 x + 5 y = 10 2 x = 10 — 5 y

Подставим полученное значение во второе уравнение и запишем ответ.

Дана система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 5 y = 10 3 x — 2 y = 1

В данном случае следует умножить первое уравнение на число 2, а второе равенство умножить на число 5:

2 x + 5 y = 10 · 2 3 x — 2 y = 1 · 5 ⇔ 4 x + 10 y = 20 15 x — 10 y = 5

После сложения уравнений остается лишь определить х:

19 x = 25 ⇔ x = 25 19

При подстановке х в какое-либо из двух уравнений можно вычислить у и записать ответ.

Ответ: ( 25 19 ; 28 19 ) .

Требуется найти переменные:

3 y — 4 x = — 13 3 x + 7 y = 56

Здесь следует в первую очередь найти произведение первого уравнения и числа 3, умножить второе уравнение на множитель 4. Далее остается суммировать уравнения и записать ответ.

Нужно решить систему уравнений:

7 x + 3 y = 21 4 y — 5 x = — 15

Множителем для первого уравнения является число 4. Второе уравнение нужно умножить на -3. Полученные равенства следует сложить и записать ответ.

Решить систему уравнений:

6 x — 8 y = — 2 9 x + 10 y = 8

В данном случае предполагается умножение уравнений на дробные числа. Множителем для первого уравнения является дробь 1 4 . Второе уравнение следует умножить на 1 5 :

6 x — 8 y = — 2 · 1 4 9 x + 10 y = 8 · 1 5 ⇔ 6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5

Далее выполним сложение:

6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5 ⇔ 3 2 x + 9 5 x =-0,5+1,6 ⇔ ⇔ 15 10 x + 18 10 x = 1,1 ⇔ 33 10 x = 1 , 1 ⇔ ⇔ 33 = 11 x x = 3

Путем подстановки определим y:

6 3 — 8 y = — 2 x = 3 ⇔ — 8 y = — 4 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3

Найти корни следующих систем уравнений:

2 x + 3 y = 11 3 x + 2 y = 9

3 x — y = 85 5 x + 2 y = 17

x — 3 y = 6 2 y — 5 x = — 4

y 4 — x 5 = 6 x 15 + y 12 = 0

y — x = 5 x + 3 y = 3

Ответ: (1; 3), (17; -34), (0; -2), (-15; 12), (-3; 2).

Редактируйте фото онлайн бесплатно в редакторе фотографий

Теперь не нужно искать фотошоп, платить за услуги редактирования. В интернете это можно сделать самому и бесплатно. Онлайн фото-редактор поможет оригинально, качественно обработать необходимую фотографию.

Онлайн – редактор снимков, который объединил в себе наиболее востребованные и удобные функции редактирования.

Редактор не нужно загружать на компьютер или ноутбук. Пользователю достаточно посетить наш сайт и пользоваться программой в онлайн режиме.

Редактор на русском функционирует оперативно, позволяет оперативно редактировать габаритные снимки. Посетитель может выбрать любое фото с любых источников, в том числе из социальных сетей. После редактирования изображений их можно выставить обратно.

Редактор активно пользуются тысячи посетителей. Мы периодически совершенствуем функции редактора, делаем их эффективнее, увлекательнее, не сложнее в пользовании.

Редактор – многофункциональный редактор, где для обработки фотографий онлайн можно выбрать: разнообразные наклейки; текстуру; тексты; ретушь; оригинальные рамки; с эффектами; коллажи и др.

Редактирование фотографий абсолютно бесплатно, также можно бесплатно пользоваться этим фото в будущем.

Желаете без проблем и качественно отредактировать снимок прямо сейчас? онлайн редактор быстро исправит недостатки, и улучшит качество любого фото!

Человеку не подвластно время. Фотоснимок позволяет сохранить самые дорогие минуты нашей жизни в первозданном облике. Снимок улавливает и передает настроение, эмоции, все тонкие жизненные моменты. С iPhotor для рисования такие воспоминания станут более впечатлительными, яркими и незабываемыми!

Фотография – один из видов искусства. Сам процесс фотографирования простой, но он способен зафиксировать сложные моменты – красивое, хрупкое и быстротечное мгновенье. Это непросто передать с помощью обычных рисунков. Какого бы качества не были фото, редактор iPhotor преобразит даже самое обычные, снятые мобильным или простым фотоаппаратом.

Фотография лучше всего способна передать то, о чем вам хотелось рассказать людям. Фоторедактор iPhotor поможет поделиться с близкими впечатлениями, чувствами, отразит ваше вдохновение.

Возможности Редактора онлайн

Изменение размера, поворот, обрезка

Это самые востребованные операции в фото — редакторе, позволяющие вращать на 90 градусов снимок влево, вправо, по вертикали, горизонтали. Обработка делается оперативно и легко. Для обрезки выбираются границы обрезания фото.

Данное меню позволяет регулировать яркость, ретушь лица, коррекцию теней, светлых участков фото и т.п. Здесь также можно изменить оттенок, насыщенность, увеличить резкость картинок. Изменяя настройки каждого инструмента, можно наблюдать за изменениями в режиме онлайн.

Текст, стикеры, рамки

Графический редактор iPhotor позволяет создавать модные картинки, с прикольными стикерами, оригинальными фото рамками, текстовыми подписями.

Фото — эффекты, фото фильтры

С помощью редактора iPhotor можно бесплатно превратить цветное изображение в черно-белое, или наоборот, сделать виньетирование, наложение фото на фото, эффект пикселизации.

Воспользуйтесь уникальными возможностями фото — редактора онлайн прямо сейчас, сделайте вашу жизнь в реальности и на фото ярче!

Онлайн редактор приукрасит самые дорогие моменты вашей жизни!

Урок «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» создан как наглядное пособие для ведения уроков алгебры по данной теме. В материале содержится объяснение на примерах, каким образом применяются различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Структурированный материал, четкое изображение, понятное объяснение голосовым сопровождением дают возможность представить данную тему в удобной форме, понятно для всех учеников. Для большей эффективности подачи материала используются анимационные эффекты, выделение цветом. Благодаря данным инструментам видеоурок может заменить объяснение учителя, освободить время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы.

В начале урока представляется его тема, а затем предлагается рассмотреть решение системы уравнений х 2 -4у 2 -х+2у=0 и х 2 -ху+у=0. Решение начинается с разложения уравнения на линейные множители. После применения формулы сокращенного умножения и вынесения общих множителей левая часть первого уравнения преобразуется в произведение (х-2у)(х+2у-1). Из него следует разбиение на два уравнения х-2у=0 и х+2у-1=0. Такое разбиение позволяет представить данную систему в виде совокупности уравнений, в которой каждое из этих уравнений составляет систему со вторым уравнением исходной системы. Очевидно, систему уравнений х-2у=0 и х 2 -ху+у=6 можно решить методом подстановки. Для этого из первого уравнения выражается х=2у, который подставляется во второе равнение. Второе уравнение преобразуется в квадратное уравнение с одной переменной. Решив квадратное уравнение, получаем результаты у₁=-2 и у₂=1,5. После подстановки их в выражение для вычисления х находим значения х₁=-4 и х₂=3. Таким же образом методом подстановки решается вторая система уравнений. После подстановки значения х из х+2у=0 во второе уравнение получаем квадратное уравнение с одной переменной. Решения данного уравнения у₁=(2+√34)/6 и у₂=(2-√34)/6. После подстановки значений у в выражение для вычисления х, получаем значения х₁=(1-√34)/3 и х₂=(1+√34)/3. Соответственно, после сделанных вычислений получаем четыре пары значений, которые являются корнями данной системы уравнений.

В решении следующей системы уравнений 3х 2 +4у=ху и х 2 -у=4ху предлагается использовать способ сложения. После сложения левых и правых частей обоих уравнений образуется суммарное уравнение 7х2=17ху. Данное уравнение после преобразования преобразуется в произведение х(7х-17у)=0, которое в свою очередь развивается на два уравнения х=0 и 7х-17у=0. Каждое из этих уравнений со вторым уравнением исходной системы образует новую систему. Решением первой системы будет пара значений х₁=0, у₁=0. При решении второй системы х выражается из первого уравнения через у. Выражение для х подставляется во второе уравнение. Из него определяется у, значение которого у₂=0 и у₃=-49/187. Соответствующие им х₂=0 и х₃=-119/187. Следовательно, решениями системы будут две пары значений: (0;0) и (-119/187;-49/187).

Следующей предлагается решить систему уравнений 2х 2 +3ху+у2=0 и х 2 -4ху-2у-6=0. Чтобы определить решения системы, можно разделить обе части первого уравнения на у2, учитывая, что у≠0. После деления полученное равносильное уравнение 2(х/у) 2 +3(х/у)+1=0. Очевидно, если ввести новую переменную t=х/у, то получим обычное квадратное уравнение 2t 2 +3t+1=0. Решив данное уравнение, получим корни t₁=-1 и t₂=-0,5. Соответственно, получаем два уравнения х/у=-1 и х/у=-0,5. Иначе данные уравнения можно представить х=-у и х=-0,5у. Вместе с уравнением х 2 -4ху-2у-6=0 каждое из этих уравнений составляет новую систему, а вместе совокупность равносильных систем. После подстановки значения х из второго уравнения в первое, а затем вычисления корней уравнения, получаем из двух систем четыре пары значений, которые являются решениями системы: (-1-√31)/5; 1+√31)/5), (-1+√31)/5; 1-√31)/5), (-1-√15)/4,5; 2+√60)/4,5), (√15-1)/4,5; 2-√60)/4,5).

Последний рассмотренный пример описывает решение симметрических систем. Предлагается решить систему уравнений х 2 +3ху+у2=9 и ху+х+у=3. Обращается внимание учеников на то, что уравнения данной системы содержат выражения х+у, ху, х 2 +у 2 . Еще одна особенность данной системы, что в ней можно произвести замену х на у и наоборот, при этом вид системы не изменится. Таким системы называются симметрическими. Данное понятие выделено на экране для запоминания. Отмечается, что такие системы лучше всего решать введением новой переменной. Для этого вводят новую переменную u= х+у и переменную v=ху. В результате такой замены получили систему уравнений u 2 -2v+3v=9 и v+u=3. После сокращения подобных слагаемых получаем первое уравнение в виде u2+v=9. Используя метод подстановки, получаем решение системы с новыми переменными: u₁=-2, v₁=5 и u₂=3, v₃=0. Используя данные пары решений, получаются две новые системы, которые необходимо решить. Первая система из уравнений х+у=-2 и ху=5, вторая система из уравнений х+у=3 и ху=0. После вычисления определяется, что решениями данных систем будут пары значений х₁=3, у₁=0 и х₂=0, у₂=3.

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» может быть полезен учителю на уроке в школе и при подаче материала в ходе дистанционного обучения. Также понятное наглядное объяснение может помочь ученику в самостоятельном изучении материала.