Видеоуроки по геометрии уравнение прямой

Виды уравнений прямой с примерами (графиками)

В данной публикации мы рассмотрим различные виды уравнений прямой сопроводив их практическими примерами (графиками) для лучшего понимания теоретического материала.

Виды уравнений прямой

Декартовая система координат

Общее уравнение прямой выглядит следующим образом:

где A, B и C – это произвольные постоянные.

• A и B не могут одновременно принимать нулевое значение;
• Если A = 0, то прямая параллельная оси абсцисс (Ox);
• Если B = 0, то прямая параллельная оси ординат (Oy);

Пример: так выглядит график прямой, заданной уравнением :

Уравнение с угловым коэффициентом

Еще один распространенный и, пожалуй, более привычный вариант записи уравнения прямой:

• k – угловой коэффициент, k = tg α;
• α – угол между положительными направлениями прямой и оси абсцисс.

Пример: график прямой, заданной уравнением :

Примечания:

• При k = 0 прямая будет параллельна оси Ox.
• Прямую, параллельную оси Oy, через такое уравнение выразить не получится.

Уравнение в отрезках

Прямая, которая пересекает ось абсцисс в точке (a, 0) и ось ординат в точке (0, b), записывается следующим образом:

Пример:

Примечание: с помощью такого уравнения не получится записать прямую, которая проходит через начало координат.

Нормальное уравнение

• p – длина перпендикуляра, проведенного к прямой из начала координат;
• α – угол между положительными направлениями перпендикуляра и оси абсцисс.

Пример:

Примечание: при p = 0 прямая проходит через начало координат.

Урок «Уравнение прямой»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Уравнение прямой» содержит наглядный материал для усвоения данной темы. В видеоуроке выводится уравнение прямой, рассматриваются его особенности. Задача данного пособия – способствовать улучшению усвоения нового учебного материала, помочь учителю наглядно представить тему, помочь ученикам запомнить важные теоретические положения, научиться решать геометрические задачи по данной теме. Данный материал может быть использован на этапе объяснения нового материала в качестве самостоятельного блока подачи материала. Также данный материал может сопровождать объяснение учителя. Использование видеоурока повышает эффективность урока, освобождая учителя для проведения более качественной индивидуальной работы.

В данном видеоуроке используются инструменты, которые помогают удержать внимание ученика на изучаемом предмете, улучшить восприятие материала, сформировать глубокое понимание предмета. Последовательная структурированная подача материала способствует логически верным выводам. Использование анимации приближает построения и выведение формул к обычному представлению учебного материала. При этом на экране все построения четкие, хорошо видны всем ученикам. Выделение цветом важных понятий и деталей позваоляют акцентировать на них внимание и улучшить запоминание выводов и формулировок.

Видео начинается с представления темы урока и построения прямоугольной системы координат ХОУ. На данной координатной плоскости отмечаются две точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂). Точки строятся таким образом, чтобы прямая l, которая располагается на плоскости, была серединным перпендикуляром к данному отрезку АВ. Выберем на прямой l некоторую точку М(х;у). Очевидно, так как прямая l является серединным перпендикуляром отрезка АВ, длины отрезков АМ и ВМ будут равны АМ=ВМ. Возведя в квадрат обе стороны равенства, получаем АМ 2 =ВМ 2 . Используя имеющуюся формулу, выражающую расстояние между точками через координаты точек, получаем равенство (х-х₁) 2 +(у-у₁) 2 =(х-х₂) 2 +(у-у₂) 2 . Любая точка, лежащая вне прямой l, не будет удовлетворять равенству, то есть АМ 2 ≠ВМ 2 . И координаты точки вне прямой также не будут удовлетворять описанному равенству. Значит, данное уравнение является уравнением прямой l в данной системе координат. После приведения подобных слагаемых в данном равенстве уравнение примет вид ах+by+c=0. В данном уравнении а=2(х₁-х₂), b=2(у₁-у₂), коэффициент с=х₂ 2 +у₂ 2 -х₁ 2 -у₁ 2 . Уравнение ах+by+c=0 является уравнением прямой. Оно выведено на экран и взято в рамку для запоминания. Отмечается, что так как точки А и В не совпадают, то какая-либо разность их координат х₁-х₂ или у₁-у₂ не будет равна нулю. Из сделанного анализа формулируется вывод, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат – уравнение первой степени.

Далее предлагается рассмотреть выведение уравнения прямой, которая проходит через точку М(х₀;у₀) и расположена параллельно оси Ох. Отмечается, что любая точка М(х;у), принадлежащая данной прямой, имеет ординату у₀. Это значит, что каждая точка прямой удовлетворяет уравнению у=у₀. При этом любая точка координатной плоскости, которая не принадлежит данной прямой, не соответствует указанному уравнению. Значит, выведенное уравнение у=у₀ является уравнением данной прямой.

Аналогично предыдущему примеру рассматривается выведение уравнения прямой, проходящей через точку М(х₀;у₀) расположенной параллельно оси ординат. То, что прямая параллельна оси ординат означает, что любая точка, которая принадлежит данной прямой, имеет абсциссу х₀. Поэтому уравнение данной прямой будет иметь вид х=х₀. Проанализировав подобным образом прямую, совпадающую с осью абсцисс, получаем ее уравнение у=0. Уравнение прямой, совпадающей с осью ординат, будет равно х=0.

Видеоурок «Уравнение прямой» может быть использован в качестве пособия в школе на уроках геометрии по данной теме. Также данный видеоматериал поможет ученикам самостоятельно разобраться в особенностях выведения уравнения прямой, научиться выводить такое уравнение самостоятельно. Наглядность и подробное описание учебного материала поможет учителю донести предмет изучения до ученика в ходе дистанционного обучения.

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»