Алгебра
План урока:
Целые неравенства
Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.
Приведем примеры целых нер-в:
14х 4 + 13х 2 ⩽ 91х 3 + 2
Если бы переменная могла быть в знаменателе, то знаменатель мог бы обращаться в ноль при некоторых ее значениях, что недопустимо в математике.Но так как в целых нер-вах переменная не находиться в знаменателе, то она может принимать любое значение.
Любое целое нер-во можно преобразовать так, чтобы в одной его части (обычно правой) стоял ноль, а в другой части – некоторый многочлен Р(х).
Пример. Преобразуйте нер-во
(х 3 + 7)(2х – 3) >4х(х 2 – 5х + 9)
к виду Р(х) > 0, где Р(х) – это многочлен.
Решение. Раскроем скобки в каждой части нер-ва:
(х 3 + 7)(2х – 3) >4х(х 2 – 5х + 9)
2х 4 – 3х 3 + 14х – 21 > 4x 3 – 20х 2 + 36х
Перенесем слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:
2х 4 – 3х 3 + 14х – 21 – 4x 3 + 20х 2 – 36х > 0
2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 > 0
Ответ:2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 > 0
Как и в случае с уравнениями, у нер-в есть степени. Она равна степени многочлена, стоящего в одной из его частей. Так, степень неравенства в рассмотренном только что примере равна 4, ведь степень полинома 2х 4 – 7х 3 + 20х 2 – 22х – 21 равна 4.
Неравенства первой степени
В общем виде неравенства первой степени выглядит так:
где а и b– некоторые числа, а х – переменная.
Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки « 0
Напомним, что решения нер-в традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):
Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:
Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.
Пример. Решите нер-во
х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)
Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:
Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.
Неравенства второй степени
Неравенства второй степени в общем виде записываются так:
Примерами таких нер-в являются
5х 2 – 3х + 19 > 0
– 12у 2 + 1,23у + 64 ⩾ 0
462z 2 + 3z– 54 2 + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а 2 + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D 2 + bx + c> 0
надо решить ур-ние ах 2 + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.
Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во
2х 2 – 5х + 2 2 – 5х + 2 = 0.
D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•2 = 25 – 16 = 9
Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:
Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:
Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:
В нер-ве стоит знак « 2 + 9х – 9 ≤ 0
Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние
D = b 2 – 4ас = 9 2 – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9
Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:
Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).
Пример Решите нер-во
х 2 – 2х + 1 > 0
Решение. Решим квадратное ур-ние
D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•1 = 4 – 4 = 0
Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.
Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:
Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в ноль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).
Пример. Найдите решение нер-ва
– 5х 2 + х – 100 2 + х – 100 = 0
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001
Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.
Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).
Метод интервалов
Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:
Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:
Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.
Пример. Справедливо ли нер-во
(– 12)•453•62,36•725•(– 975)•(– 812,99) 0
Перенеся единицу вправо, получим, что
Графически это можно показать так:
Аналогично, рассматривая нер-ва
можно показать, какие значения принимает каждая из скобок при различных х:
Видно, что скобки (х – 1), (х – 2), (х – 3) и (х – 4) изменяют знаки с «–» на «+» при «перескоке» через точки 1, 2, 3 и 4. Отметим их все вместе на одной прямой и укажем знаки скобок на каждом из образовавшихся промежутков:
Получили 5 промежутков. Если выражение выделено красным, то оно отрицательно на промежутке, а если синим – то положительно. Напомним, что произведение отрицательно, если в его состав входит нечетное количество (1, 3, 5…) отрицательных множителей. На рисунке видно, что на промежутке (1; 2) отрицательны 3 множителя, а на промежутке (3; 4) – один множитель. Следовательно, именно на них всё произведение
(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)
оказывается отрицательным. Соответственно на других промежутках произведение положительно. Это можно отметить так:
Штриховкой отмечены промежутки, где произведение отрицательно. Получается, что решением нер-ва является объединение промежутков (1; 2)∪(3; 4). Сами точки 1, 2, 3 и 4 исключены из решения, так как нер-во строгое. Если бы нер-во было нестрогим, то на рисунке точки были бы закрашены, а скобки в промежутке были бы квадратными.
Убедимся в верности этого решения, выбрав произвольное число из каждого промежутка и подставив его в произведение.
Из промежутка (– ∞; 1) возьмем значение х = 0:
(0 – 1)(0 – 2)(0 – 3)(0 – 4) = (– 1)•(– 2)(– 3)•(– 4) = 24 > 0
Из следующего промежутка возьмем х = 1,5:
(1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3)(1,5 – 4) = 0,5•(– 0,5)•(– 1,5)•(– 2,5) 0
Из промежутка (3; 4) выберем х = 3,5:
(3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4) = 3,5•1,5•0,5•(– 0,5) 0
Для решения нер-ва мы просто нашли, при каких значениях выражение слева принимает нулевые значения, а потом расставили знаки в полученных интервалах. Данный способ называется методом интервалов.
Пример. Решите неравенство методом интервалов:
(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0
Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):
(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0
Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:
(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0
Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:
Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:
(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) 0
Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:
(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 0
Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].
Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.
Пример. Решите нер-во
(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0
Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):
(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0
Делим нер-во на (– 3):
(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0
Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:
Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:
при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) 0
Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).
При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в ноль произведение в левой части.
Неравенства высоких степеней
Напомним, что если некоторое число а – корень многочлена Р(х) (то есть оно является корнем ур-ния Р(х) = 0), то этот многочлен можно представить как произведение двучлена (х – а) и какого-то другого многочлена Р1(х). Другими словами, зная корни многочлена, можно разложить его на множители. За счет этого можно решать нер-ва высоких степеней.
Пример. Решите нер-во
х 3 – 3х 2 – х + 3 3 – 3х 2 – х + 3 = 0
Попробуем подобрать корни, начав с целых чисел. Напомним, что все целые корни должны быть делителем свободного члена, то есть в данном случае числа 3. Поэтому «кандидатами» являются числа 1, (– 1), 3 и (– 3). Подставляя их в ур-ние, находим, что оно имеет три корня: 1, (– 1) и 3:
1 3 – 3•1 2 – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0
(– 1) 3 – 3•(– 1) 2 – (– 1) + 3 = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0
3 3 – 3•3 2 – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0
Число (– 3) не подходит, ведь при его подстановке в левую часть ноль не получается:
(– 3) 3 – 3•(– 3) 2 – (– 3) + (– 3) = – 27 +27 + 3 + 3 = 6
Напомним, что у ур-ния 3-ей степени не может быть более 3 корней, поэтому других корней у ур-ния нет.
Зная корни, мы можем разложить многочлен на множители:
х 3 – 3х 2 – х + 3 = (х – 1)(х + 1)(х – 3).
В справедливости такого разложения можно убедиться, раскрыв скобки в правой части этого равенства. Теперь можно переписать исходное нер-во
х 3 – 3х 2 – х + 3 0
при х = 2 имеем (2 – 1)(2 + 1)(2 – 3) = 1•3•(– 1) 0
Получаем, что левая часть отрицательна при х∊(– ∞; – 1)∪(1; 3).
Пример. Решите нер-во
Решение. Рассмотрим ур-ние
Подбором можно определить лишь один его корень – единицу:
Поделим исходный многочлен на (х – 1):
Получили, что х 3 + 2х – 3 = (х – 1)(х 2 + 2х + 3)
Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен х 2 + 2х + 3? Попытаемся решить ур-ние
D = b 2 – 4ас = 4 2 – 4•2•3 = 16 – 24 = – 8
Получили, что корней нет. Это значит, что функция у = х 2 + 2х + 3 не пересекает ось Ох, и, так как коэффициент а этого трехчлена положителен, то выражение х 2 + 2х + 3 больше нулю при любом х.
Это можно показать и иначе, если выделить полный квадрат из трехчлена:
х 2 + 2х + 3 = х 2 + 2х + 1 + 2 = (х + 1) 2 + 2
Перепишем исходное нер-во с учетом разложения многочлена на множители:
(х – 1)(х 2 + 2х + 3) > 0
Так как выражение х 2 + 2х + 3 положительно при любом значении х, то мы можем поделить неравенство на него:
Отсюда получаем, что х∊(1; + ∞).
Пример. Укажите наименьшее целое решение неравенства
4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 > 0
Решение. Попытаемся найти корень многочлена 4х 3 + 4х 2 – 7х + 2. Целый корень должен быть делителем двойки (свободного члена), то есть возможны варианты 1 и (–1), 2 и (– 2). Из них подходит только – 2:
4•(– 2) 3 + 4•(– 2) 2 – 7•(– 2) + 2 = – 32 + 16 + 14 + 2 = 0
Значит, можно поделить исходный многочлен на х + 2:
Можно записать, что 4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х 2 – 4х + 1).
Далее разложим получившийся при делении квадратный трехчлен на множители, для чего приравняем его к нулю:
D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•4•1 = 16 – 16 = 0
Получается, что есть лишь один корень.
х = – b/(2a) = – (– 4)/(2•4) = 0,5
Если у квадратного трехчлена дискриминант равен нулю, то это значит, что он является полным квадратом какого-то выражения. Действительно:
4х 2 – 4х + 1 = (2х) 2 – 2•2х•1 + 1 2 = (2х – 1) 2
Тогда можно записать:
4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х 2 – 4х + 1) = (х + 2)(2х – 1) 2 =
Перепишем с учетом этого исходное нер-во:
4х 3 + 4х 2 – 7х + 2 > 0
(х + 2)(2х – 1)(2х – 1) > 0
Вынесем множитель 2 из двух последних скобок и поделим нер-во на них:
(х + 2)•2•(х – 0,5)•2•(х – 0,5) > 0
(х + 2)(х – 0,5)(х – 0,5) > 0
Решим его методом интервалов:
Снова из-за двух одинаковых скобок (х – 0,5) на соседних промежутках (– 2; 0,5) и (0,5; 2) получили один и тот же знак. Функция положительна на них, однако она равна нулю при х = 0,5, поэтому это число из решения неравенства исключается. Получаем, что х∈(– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞).
Нам надо указать наименьшее целое решение. Самым малым целым числом из множества (– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞) является (– 1).
Дробно-рациональные неравенства
До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:
Любое такое нер-во можно представить в виде
где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во
Перенесем все слагаемые влево:
Далее приведем левую часть к общему знаменателю:
Осталось раскрыть скобки:
В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.
Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:
- И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:
- Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:
- Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:
(– 10)•5 = – 50 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.
Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.
Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.
Пример. Решите нер-во
Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:
(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0
Решим его методом интервалов:
Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).
Пример. Решите нер-во
Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.
D = b 2 – 4ас = (– 9) 2 – 4•1•14 = 84 – 56 = 25
Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что
х 2 – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)
Аналогично разложим знаменатель
х 2 – 14х + 45 = 0
D = b 2 – 4ас = (– 14) 2 – 4•1•45 = 196 – 180 = 16
х 2 – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)
Перепишем исходное нер-во:
Ему равносильно другое нер-во:
(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0
Его можно решить методом интервалов:
Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).
Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»). В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение. Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель.
Пример. Решите нер-во
Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):
В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Неравенства
- Линейные неравенства
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
≥ больше или равно,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x c | x ∈ ( − ∞ ; c ) | |
| x ≤ c | x ∈ ( − ∞ ; c ] | |
| x > c | x ∈ ( c ; + ∞ ) | |
| x ≥ c | Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств: №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 ) Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14 6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4 3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет. x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно). №1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x − 6 x ≤ − 1 + 1 Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа. Ответ:
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. x + 6 − 9 x > − 8 x + 48 − 8 x + 8 x > 48 − 6 Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ. Квадратные неравенства Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная. Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет. Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4). Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые. Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий. Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +. Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -. Примеры решения квадратных неравенств: №1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 1, c = − 12 D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ . Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = − 2 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1 x 1 = − 2, x 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − . Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +. Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ] №3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = 4 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − . Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 5, c = − 6 D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -. Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 ) №5. Решить неравенство x 2 4. Решение: Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения. ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − . Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 ) №6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0. Решение: Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0. x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже. Дробно рациональные неравенства Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов: f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю). Примеры дробно рациональных неравенств: x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3 Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов. Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Вне зависимости от знака неравенства Если знак неравенства строгий , Если знак неравенства нестрогий ,
Примеры решения дробно рациональных неравенств: №1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0 3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0 − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4 x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -. В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ ) №3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1 x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) Системы неравенств Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой. Пример системы неравенств: Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств: №1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный. Графическая интерпретация решения: Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные. №2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения: Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) №3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений. №4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов. a = − 1, b = 2, c = 3 D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16 D > 0 — два различных действительных корня. x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1 Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными. Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ . Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные. Видеоуроки уравнение и неравенство с одной переменнойСвойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной. Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 0 (или ах + b b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого). источники: http://epmat.ru/modul-algebra/urok-8-neravenstva-sistemy-neravenstv/ http://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1866-algebra-7-9-klassy-26-linejnye-neravenstva-reshenie-linejnykh-neravenstv |
