Видеоуроки уравнения с параметрами и

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Уравнения с параметрами.

Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

Что такое уравнение с параметром?

Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x.
Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x.
Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3

Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x.
Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x.
Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
Получим уравнение 2х + 5 = a − х,
где a — переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
Решение: 2х + 5 = a − x; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а:
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a, чтобы получить решение любого такого уравнения.

Рассмотрим еще один пример.

Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k.
Решим уравнение kх + 5 = 2 − x с параметром k.

С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6

Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
Почему?

Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль.
Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x.
Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (. ) и не может иметь корней.
Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

Графические способы решения уравнений

Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз графики элементарных функций, которые изучаются в школьном курсе математики, и правила преобразования графиков функций.

Рассмотрим примеры.

1. Решить уравнение
2х + 5 = 2 − x

Ответ: x = −1.

2. Решить уравнение
2х 2 + 4х − 1 = 2х + 3

3. Решить уравнение
log₂х = −0,5х + 4

Ответ: x = 2.

Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

Предварительный вывод: х ≈ 4.
Проверка: log₂4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
Окончательный вывод х = 4.

Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

Задача 1.

Найти все значения параметра q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а.
Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
Вспомним: по определению |x| = x, если х ≥ 0, и |x| = −x, если х Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

Таким образом на участке I, где −∞ имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

На участке II, где −1 имеем (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
и должны построить соответствующую часть графика функции y = x − 2 .

На участке III, где 3 , имеем (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему Преобразование графиков функций, то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox), и пересекающую ось ординат (Oy) в точке а. Так как а — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а. Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

Однако мы нашли значения введённого нами параметра а, при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q. Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

Таким образом, окончательный ответ: <2;4;6>.

Задача 2.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2 − x)x(x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x)x(x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x, стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x, стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x)x(x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y_max и y_min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

Задача 3.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: -1,625

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Переход на главную страницу сайта «Математичка».

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».

Зургамбаева Нурпатча Оштаевна, учитель математики

Цели: Создание условий для усвоения понятия «уравнения с параметром».

Задачи: сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. ( Приложение 2 ) .

II. Введение в тему урока.

Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка ( Приложение 1, слайды 15-16 )

1. Графиком квадратичной функции является …

2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …

3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…

4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…

5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…

6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…

7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…

8. Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а≠0 называется… .

Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)

Сколько может иметь корней линейное уравнение? А квадратное?

III. Объяснение нового материала.

1. Изучение понятия «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

(Приложение 1, слайд 18)

Определение. Уравнение вида f(а,в,с …,х) =0, переменные а,в,с … которые при решении уравнения являются постоянными называются параметрами, а само уравнение , уравнением с параметрами.

ру – р – 1 = 0; х – 2 х = а 3 – 2 а 2 – 9 а + 18; 3 х 2 – 10 ах + 3 а 2 = 0.

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х , а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары ( х , а ), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х , удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а .

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А . Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а ( А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а .

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. Примем решения уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными .

3. Алгоритм решения уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах можно рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы :

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.

2. № 642 (обучающийся решает у доски).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то

Если а – 2 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то х = (a-2)(a 2 -9)/(a-2),

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.

№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).

3 х 2 – 10 ах + 3 а 2 = 0.

D = (–10 а ) 2 – 4 · 3 · 3 а 2 = 100 а 2 – 36 а 2 = 64 а 2 .

Если а ≠ 0, то D > 0 и

3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).

D = (– а ) 2 – 4 · 1 · ( а – 3) = а 2 – 4 а + 12 = ( а – 2) 2 + 8, D > 0 при любом а , 2 корня.

х ₁ 2 + х ₂ 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.

VI. Обучающая самостоятельная работа.

№ 645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.

Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».

Какие уравнения мы сегодня изучили?

Какое уравнение называются уравнением с параметром? (Слайд с определением). Приведите свои примеры.

Уравнения с параметрами встречаются в экзаменах 9 и 11 классов. (Можно предложить на дом задания из ГИА).

VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)

Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.

Алгебра, 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ ЛебединцкваЕ.А., Беленкова Е.Ю. – М.: Интелект-Центр, 2007.

Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворовой (компакт-диск) – издательство «Учитель». 2011.

Тема урока: Уравнения и неравенства с параметрами.

Цель урока :Создание условий для усвоения темы «Уравнения и неравенства с параметрами».

Задачи урока: формировать умения решать иррациональные уравнения с параметрами; формировать умения решать задачи исследовательского характера – квадратные уравнения с параметрами.

I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

II .Математический диктант.

1. При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю:

;

2. При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

;

3. При каких значениях оба корня уравнения равны нулю:

;

Объяснение нового материала .
Объяснение нового материала (стр. 369-372):
1. Решить уравнение .
2. При каких значениях параметра корни уравнения меньше 1.

Творческая мастерская.
Учащиеся работают в четырех группах. Каждая группа получает по 4 задания. Задания выполняются и оформляются коллективно, но у доски каждая группа должно успеть показать решение не менее двух задач.

Задания для 1 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

При каких значениях сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

При каких значениях и корни уравнения равны и ?

Задания для 2 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите и корни каждого уравнения.

Задания для 3 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найдите .

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

Задания для 4 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

В уравнении квадрат разности корней равен 16. Найдите .

Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите и и корни каждого уравнения.

Домашнее задание: №1863-1866; теория в учебнике стр. 365-372.

Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня С .

Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий наиболее сложного уровня по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Организация решения тестовых заданий.
Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ

С1 Сколько корней имеет уравнение ?

A) 1 B) 2 C) D) 3 E) бесконечно много

С2 Найдите сумму корней уравнения .

A) B) -1 C) 1 D) E)

С3 Решите неравенство

A) <1>B) <-1>C) <-1; 1>D) E)

С4 Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству .

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

С5 Решите неравенство .

A) [0; ) B) [-1; 1] C) (- ; ] D) [0; 2] E)

С6 Решите неравенство: .

A) (0; 1) B) [-1; 0) C) [-1; 1] D) [- ; 0) ? (1;+ ) E) (1; + )

С7 Найдите середину отрезка, на котором решается неравенство .

A) 0,5 B) 0,4 C) 0,25 D) E)

С8 Найдите наибольшее целое решение неравенства:

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

С9 Решите неравенство: .

A) <2>B) (1; 5) C) (-2; 3) D) ( ; 10) E) не имеет решений

С10 На интервале [0; 2 ] найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству:

A) B) C) D) E)

С11 Найдите все решения неравенства принадлежащие промежутку .

A) B) C) D) E)

С12 Сколько корней имеет уравнение: .

A) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

С13 Решите уравнение: .

A) 1; 9; B) 1; 9 C) 1; D) 9; E) 4; 1;

С14 Найдите сумму корней уравнения .

A) 39 B) 130 C) 169 D) 24 E) 78

С15 x и z удовлетворяют равенству . Вычислите | z + 3 | x

A) 9 B) 0 C) 3 D) 1 E) 27

С16 Вычислите:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

С17 Сколько корней имеет уравнение

A) B) бесконечно много C) 1 D) 2 E) 3

С18 Решите неравенство

A) (1; 3] B) (-1; 1) C) [1; + ) D) (3; + ) E) (1; 3)

С19 y и t удовлетворяют равенству . Вычислите .

A) B) C) 0 D) 1 E) —

С20 Решите уравнение .

A) B) C) — D) E) —

С21 Решите неравенство .

A) [ -1;0 ) B) [ -2;-1 ] C) -2; -1 D) -1 E) ( -3;0 ) ( 0;1)

С22 Сколько корней имеет уравнение: ?

A) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

С23 Какому отрезку принадлежат корни уравнения = x2 – x + 0,75?

A) [0; ] B) [- ; 0] C) [ ; 2 ] D)[1,5 ; 2 ] E)

С24 Решите неравенство .

A) (- ; -1] B) <-1>C) [-1; 0) D) (0; ) E) [-1; 1)

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания: При каких значениях параметра система имеет единственное решение? ( Ответ: )

Урок 89. Зачет по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Цели урока: проверить теоретические и практические знания по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств».

Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Работа в группах.
Учитель сам выделяет пять лидеров, анализируя работу всех групп прошлого урока. Эти лидеры собирают учащихся в пять группы по пять человек в каждой. Каждая группа получает набор заданий. Лидер группы распределяет задания между всеми учащимися. Учитель готовит билетики с номерами заданий. После 10 минут решения, учитель вытягивает билетики и вызывает к доске для решения на оценку, учеников из всех групп, задавая вопросы по теории. Повторяя эту процедуру несколько раз, учитель сможет дополнительно оценить учащихся в течение урока.

№ 1712, 1778, 1784, 1834, 1841

№ 1713, 1779, 1784, 1835, 1843

№ 1716, 1780, 1785, 1836, 1844

№ 1719, 1781, 1785, 1837, 1845

№ 1722, 1783, 1786, 1839, 1846

Лидеры групп собираются в пятую группу для решения заданий повышенной сложности. Решение может быть коллективное, учащиеся могут помогать друг другу, но оценка будет выставятся индивидуально.

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческое задание : При каких значениях параметра система имеет решение? ( Ответ : )

Урок 89. Зачет по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

№ 1712, 1778, 1784, 1834, 1841

№ 1713, 1779, 1784, 1835, 1843

№ 1716, 1780, 1785, 1836, 1844

№ 1719, 1781, 1785, 1837, 1845

№ 1722, 1783, 1786, 1839, 1846

Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня А.

Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий базового уровня , более сложного уровня , наиболее сложного уровня по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Учитель распределяет тестовые задания на пять уроков следующим образом:
Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня .
Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня и тестовых заданий более сложного уровня .
Урок 93 . Решение тестовых заданий более сложного уровня .
Урок 94 . Составление констекта по теме для решения тестовых заданий наиболее сложного уровня .
Урок 95. Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня .

Организация решения тестовых заданий.
Урок 91. Решение тестовых заданий базового уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ

А1. Система линейных уравнений

А1.1 Решите систему уравнений:

A) (4; 4) B) (-4; -4) C) (-4; 4) D) (4; -4) E) бесконечно

А1.2 Сколько решений имеет система уравнений:

A) B) 1 C) 2 D) 3 E) бесконечно много

А1.3 Найдите значение выражения , где – решение системы уравнений

A) 16 B) 18 C) 20 D) 14 E) 22

А1.4 Если 3 a — b = 7, b — c = 5 и 3 c — a = 2, то чему равно a + c ?

A) 10 B) 14 C) 8 D) 6 E) 7

А1.5 Если 2 m + n = 2; 2 n + p = 6 и 2 p + m = 4, то чему равно m + n + p ?

A) 6 B) 4 C) 5 D) 3 E) 8

А1.6 Известно, что 2 q — 4 p = -9; 2 t — 4 q = -7 и 2 p — 4 t = 2. Чему равно p + q + t ?

A) -7 B) 8 C) 7 D) -8 E) 6

A) 18 B) 4 C) 20 D) 23 E) невозможно определить

А1.9 Вычислить , если a = 4 b ( b 0 ) и c + 3 b = 0 .

A) — B) 1 C) 1 D) -1 E) —

А2. Квадратные уравнения. Теорема Виета

А2.1 x ₁ и x ₂ – корни уравнения . Найдите .

A) B) C) D) E)

А2.2 Найдите x ₁ 4 +x ₂ 4 где x ₁ и x ₂ – корни уравнения .

A) 207 B) 192 C) 243 D) 168 E) 252

А2.3 Найдите сумму всех корней уравнения: .

A) 7 B) 3,5 C) 0 D) 2 E) невозможно определить

А2.4 Найдите отношение суммы всех корней уравнения к их произведению.

A) 1 B) 0 C) D) E) невозможно определить

А2.5 Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения: .

A) 5 B) 1 C) 7 D) 0 E) 6

А2.6 Определите число корней уравнения x 4 -( .

A) 2 B) 4 C) 1 D) 0 E) 3

А2.7 Найдите сумму действительных корней уравнения: .

A) 3 B) 9 C) -9 D) 8 E) 4

А2.8 Определите сумму всех действительных корней уравнения .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 2,5 E) невозможно определить

А2.9 Вычислите произведение корней уравнения

A) 4 B) 2 C) 1 D) -1 E) -2

А2.10 Сколько корней имеет уравнение ?

A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 5

А3. Алгебраические, дробно-линейные уравнения

А3.1 Найдите произведение корней уравнения

A) 3 B) 2 C) 6 D) -2 E) 1

А3.2 Найдите сумму чисел целых корней уравнения

A) -3 B) 1 C) -5 D) 3 E) 4

А3.3 Найдите сумму корней уравнения

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

А3.4 Найдите произведение всех действительных корней уравнения
(4x 2 – 7x – 5)(5x 2 + 13x + 3)(3 x – x 2 – 8) = 0.

A) 1 B) 0 C) 0,75 D) -0,75 E) 1,25

А3.5 При каком значении a значение дроби равно ?

A) 3 B) 2 C) 27 D) 8 E) 9

А3.6 Найдите сумму действительных корней уравнения:
(x 2 + 5 x + 4)(x 2 + 5 x + 6) = 120.

A) 3 B) -3 C) 2 D) -5 E) -4

А3.7 В каком промежутке содержаться решения уравнения: .

A) (- ; -1) B) [-1; 8) C) [2; 8) D) [3; 8) E) [4; 8)

А3.8 Вычислите , если .

A) 110 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

А3.9 Известно, что . Найдите значение

A) 27 B) 24 C) 18 D) 21 E) определить нельзя

А3.10 Чему равно , если ?

A) 81 B) 79 C) 49 D) 63 E) 77

А4. Система алгебраических уравнений

А4.1 Решите систему:

A) (1; -2) B) (-1; -2) C) (1; 2) D) (-1; -2) и (1; -2) E) (-1; 2) и (1; -2)

А4.2 Найдите , если x 2 + y 2 = 225 и x 2 -y 2 = 63.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

А4.3 Сколько решений имеет система:

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) не имеет

А4.4 Известно, что . Найдите x 2 –y 2

A) 16 B) 20 C) 25 D) 34 E) 42

А4.5 Найдите p + q , если и .

A) 12 B) 14 C) ±12 D) ±12 E) ±14

А4.6 Вычислите , если

A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4

А4.7 Найдите , если

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 9

A) 162 B) 271 C) 354 D) 216 E) 273

А4.9 Найдите x 4 y – xy 4 , если .

A) 275 B) 405 C) 600 D) 480 E) 510

A) 47 B) 29 C) 51 D) 24 E) 18

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания : При каких значениях параметра все решения уравнения удовлетворяют неравенству ?
( Ответ: )

Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня А и тестовых заданий более сложного уровня В.

Цели урока: развить умения и навыки решения тестовых заданий базового уровня , более сложного уровня по теме «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Организация решения тестовых заданий.
Урок 92. Решение тестовых заданий базового уровня и тестовых заданий более сложного уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ

А5. Линейные неравенства и системы

А5.1 Решите неравенство: .

A) (-2,5; 0) B) (- ; -2,5) C) (- ; 0) D) x R E)

А5.2 Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства .
A) -6 B) -7 C) -5 D) -4 E) -8

А5.3 Укажите наибольшее целое решение неравенства .

A) 2 B) -1 C) 1 D) 0 E) -2

А5.4 Сколько натуральных решений имеет система

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

А5.5 Найдите сумму всех целых решений системы неравенств:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

А5.6 Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы:

A) 8 B) 11 C) 12 D) 9 E) 10

А5.7 На сколько больше наибольшее целое, чем наименьшее целое решение системы

A) 17 B) 19 C) 16 D) 12 E) 18

А5.8 Чему равно среднее пропорциональное между наибольшим и наименьшим решениями системы

A) 2 B) 10 C) 4 D) 6 E) 8

А5.9 Найдите наименьшее целое решение системы неравенств:

A) -5 B) -3 C) -6 D) -4 E) 3

А5.10 Найдите среднее арифметическое целых решений системы:

A) 3 B) 2,5 C) 2 D) 1,5 E) 1

А6. Алгебраические неравенства и системы

А6.1 Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства .

A) 1 B) -1 C) -2 D) 2 E) 7

А6.2 Решите неравенство

A) (-1; 0] B) (-2; 1] C) (-2; 0] D) (-2; 0] <1>E) (-2; -1]

А6.3 Решите неравенство: .

A) (1; ) B) [1; ) C) (- ; 1) D) (- ; 1] E)

А6.4 Укажите решение неравенства: .

A) (- ; -1,5) B) (-1,5; 2) C) (-4; -1,5) D) (-1,5; -1,2) E) (- ; -2,5)

А6.5 Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства .

A) -30 B) -35 C) -36 D) -42 E) -48

А6.6 Сколько целых решений имеет неравенство ?

A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) бесконечно много

А6.7 Решите неравенство: .

A) (-3; 1] B) (-3; 0) (0; 1] C) (- ; -3) <0> (1; ) D) (- ; -3) <0> [1; )
E) (- ; -3) [1; )

А6.8 Сколько целых решений имеет неравенство:
.

A) 5 B) 4 C) 3 D) бесконечно много E) 2

А6.9 Решите неравенство: .

A) (- ; 0) (4; + ) B) (- ; -4) (0; 4) C) [-4; 4] D) E) (- ; + )

А6.10 Решите неравенство: > x.

A) (- ; -1) (0; 1) B) [0; 1) C) (-1; 1) D) E) (- ; 1)

В1. Система алгебраических уравнений

В1.1 Если и , то чему равно xy?

В1.2 Найдите |a+ b| , если и

A) 13 B) 12 C) 5 D) E) 14

В1.3 Найдите сумму всех значений x , являющихся решением системы уравнений

В1.4 Вычислите , если , и .

A) 2 B) 15 C) 6 D) 8 E) 3

В1.5 Вычислите: , если .

A) 3 B) 2 C) D) 3 E) 9

В1.6 Вычислить , если

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) 6

В1.7 Найдите из системы уравнений

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 3

В1.8 Числа x, y и z связаны соотношениями и . Найдите .

A) B) 2 C) D) E)

В1.9 Если ( x ; y ) – решение системы , то чему равно xy ?

A) 15 B) -6 C) -8 D) 6 E) 12

В2. Линейные неравенства и системы

В2.1 Сколько целых решений имеет система неравенств:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

В2.2 Найдите сумму целых решений системы неравенств:

A) 12 B) 9 C) 7 D) 8 E) 1

В2.3 Найдите сумму целых решений системы неравенств:

A) 2 B) 3 C) -1 D) -3 E) 1

В2.4 Укажите наибольшее целое решение системы неравенств:

A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) 0

В2.5 Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств

A) -9 B) -8 C) 7 D) 9 E) 8

В2.6 Решите систему неравенств:

A) (-11; 2] B) [-2; 7) C) (-7; -2] D) [2; 11) E) (- ; -7)

В2.7 Сколько целых чисел входит в решение системы неравенств

A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) 12

В2.8 Найдите сумму целых решений системы неравенств

A) 6 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15

В2.9 Сколько простых чисел входят в решения двойного неравенства

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 7

В2.10 При каких значениях y значения дроби принадлежат промежутку (-1; 1) ?

A) (-1; 2) B) (0; 2) C) (- ; 1) D) (-2; 2) E) другой ответ

В3. Алгебраические неравенства и системы

В3.1 Решите неравенство

A) (- : 1) [1,5; ) B) (1; 2] C) (1; 2) D) (1; 1,5] E) (1; 1,5)

В3.2 Укажите число целых решений неравенства .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

В3.3 Укажите все решения неравенства

A) (-3; 1) B) (1; 3) C) (-1; 3) D) (-; 1) E) (3; )

В3.4 Найдите все значения , для которых дробь отрицательна.

A) (2,5; 5) B) (- : -1) C) (- : -1] (2,5; 5] D) (- : -1) (2,5; 5) E) (- ; 2,5)

В3.5 Решите неравенство .

A) (- ; ) B)(-4; -3) (3; 4) C) ( ; -4) (-3; 3) (4; ) D) ( ; -4) (4; ) E) ( ; -4) (3; 4) (6; )

В3.6 Найдите число целых решений неравенства .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

В3.7 Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений системы неравенств
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

В3.8 Найдите разность между наибольшим и наименьшим решениями системы
A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 10

В3.9 При каких значениях a неравенство 1 E) (-3; -2)

В3.10 Сколько целых решений имеет неравенство x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 24 ?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Подведение итогов.
Домашнее задание: Творческие задания: Найти все значения параметра , при которых неравенство выполняется для всех таких , что . ( Ответ : )

источники:

http://mathematichka.ru/school/parametry/param_equation.html

http://infourok.ru/urok-algebri-po-teme-uravneniya-s-parametrom-916859.html