Виды алгебраических уравнений изучаемых в школе

Виды уравнений и методы их решения

В разработке рассматриваются виды алгебраических уравнений и методы их решения.

Просмотр содержимого документа
«Виды уравнений и методы их решения»

Виды уравнений и методы их решения

Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.

В курсе математики основной школы рассматриваются только алгебраические уравнения. Рассмотрим более подробно их виды и алгоритм решения.

Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений как:

целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;

дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;

иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.

Дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.

Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями первой степени, квадратные — второй, а кубические, соответственно, третьей.

Рассмотрим особенности решения алгебраических уравнений

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Остановимся на основных понятиях.

Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв. Для записи тождества наряду со знаком (равно) также используется знак (равносильности).

Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:a, b, c. – или теми же буквами, снабженными индексами:, . или , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: или теми же буквами, снабженными индексами, например ….

В общем виде уравнение может быть записано так:

F ()=0.

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество (верное равенство), называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют эквивалентными.

Рассмотрим некоторые эквивалентные уравнения:

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

Уравнение =0 эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

эквивалентно двум уравнениям и.

Уравнение эквивалентно уравнению .

Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида , где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида:

,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена называются , ……коэффициентами (или параметрами), называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного , обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (решениями) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка (и) пересечения двух графиков даст решение (я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Рассмотрим методы решения уравнений.

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число -b, получаем уравнение

, (2) эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

Алгебраическое уравнение второй степени (3),

где a, b, с– некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением.

Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

Заметим, что , поэтому

но , из формулы (7) поэтому окончательно

Если положить, что + , то

Заметим, что , поэтому

но , поэтому окончательно

Уравнения n-й степени вида

называется двучленным уравнением. При и заменой (2))

где — арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):

Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле

Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).

Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

Уравнение имеет два действительных корня .

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

оказались «крепким орешком». В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и — корни уравнения

Выпишем эти корни:

Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

Эта формула известная как формула Кардано.

подстановкой приводится к «неполному» виду

Корни , , «неполного» кубичного уравнения (14) равны

Пусть «неполное» кубичное уравнение (14) действительно.

а) Если («неприводимый» случай), то и

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и — корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

Если , (3)), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

а само уравнение сводится к двум квадратным:

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

или, после упрощения,

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

подстановкой приводится к «неполному» виду

Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

причем , и — корни кубичного уравнения

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени ( ) можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и — взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для уравнения

старший коэффициент которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если — корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где — многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление «уголком»:

Уравнения в курсе математики средней школы»
методическая разработка по алгебре по теме

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/

Скачать:

Предварительный просмотр:

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

Четина Таисия Филипповна

МОУ «СОШ № 64» города Перми

1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………. 5

1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5

1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….…. 9

1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9

1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9

2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

2.2 Разложение на множители………………………………………14

2.3 Линейные уравнения с двумя переменными…………………. 15

2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17

2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21

2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26

2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27

3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29

3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32

3.3 Показательные уравнения……………………………………….34

3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35

3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38

3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов : слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу : « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

Добавили – 20 слив.

Записываем решение задачи:

Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим и решим уравнение.

Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах  вх)∙с=d, (ах  вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать . Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

Например , дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

При изучении темы «Проценты » обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач :

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4

Девочек – 40% — 20 чел.

Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего : 100% — 220 км.

1 день: ? % — 33 км.

Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

х=15; 15% пройдено в первый день.

Эти задачи решаем и по действиям.

К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.

1.3 После изучения темы «Модуль » мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10

х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ

Ответ:  5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ

Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ

х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ

1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ах  b)(сх  d)=0 , то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Виды алгебраических уравнений и способы их решения

Разделы: Математика

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + b_n, то имеет место равенство

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а₀ = b₀ и при 1

b₀ = а₀

b₁=а₁ + b₀

b₂=а₂ + b₁

b_n-1=а_n-1+ b_n-2

b_n= а_n+ b_n-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р₅(х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

Перепишем (1) двумя способами:

Из равенства (2) следует, что a_nq n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a_n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а₀ делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р₃(х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р₃(1) 0, Р₃(–1) 0,

Р₃(1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x 2 (2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Ответ: ,

Решить уравнения:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(x n + x -n ) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0

Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;

х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n-1 +Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у_k, где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0

2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 ? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у₁ = -1, у_2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х₁ = -1, ,

Решить уравнения.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной — самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у₁, у₂, …, y_n, … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у_1, f(x) = у₂,…, f(x) = у₂, …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

• использование основного свойства дроби;
• выделение квадрата двучлена;
• переход к системе уравнений;
• раскрытие скобок парами;
• раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
• понижение степени уравнения;
• двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у₁ = 2, у₂ = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2

Решая первое, получим х₁ = 0, х₂ = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х₁ = 0, х₂ = -1, ,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х — 1)(х — 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = — 7 + 2, — 5 = — 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 — 5х — 14)(х 2 — 5х + 4) = 40

Введем замену: х 2 — 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у₁ = -20, у₂ = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех 2 ,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.

Пример. (х — 1)(х — 2)(x — 8)(x — 4) = 4х 2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 • (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 — 9х + 8)(х 2 — 6х + 8) = 4х 2 .

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t₁ =1, t₂ = — 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х_1,2= 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х_1,2= 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b₁х + c)(aх 2 + b₂x + c) = Aх 2

Уравнение (ах 2 + b₁х+ c)(aх 2 + b₂x + c) = Aх 2 , где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.

Пример. (х 2 + х+ 2)(х 2 + 2x + 2) = 2х 2

Решение. Легко видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, разделив данное уравнение на х 2 , получим уравнение

замена , получим уравнение (у+1)(у+2) = 2, решив его, имеем корни у₁ = 0; у₂ = — 3, следовательно исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

1.3.5. Уравнение вида: a(cx 2 + p₁x + q) 2 + b(cx 2 + p₂x + q) 2 = Ax 2

Уравнение a(cx 2 + p₁x + q) 2 + b(cx 2 + p₂x + q) 2 = Ax 2 , где a, b, c, q, A таковы, что q 0, A 0, c 0, a 0, b 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены перепишется в виде квадратного уравнения, которое легко решается.

Пример. Решить уравнение

3(x 2 + 2x — 1) 2 – 2(x 2 + 3x — 1) 2 + 5x 2 = 0

Решение. Легко видеть, что x = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому, разделив обе части этого уравнения на x 2 , получим

, заменяя , получим уравнение

1.3.6. Уравнения вида: (x + a) 4 + (x + b) 4 = c

Уравнение этого вида, где а, b, с – данные числа, можно свести к биквадратному уравнению с помощью замены переменной

, т. е.

Пример. Решить уравнение.

(x — 1) 4 + (x + 3) 4 = 82

Решение. Обозначим , т. е. y = x + 1, или x = y – 1. Тогда уравнение примет вид: (y — 2) 4 + (y + 2) 4 = 82, применяя формулу

(a +b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , получим 2y 4 + 48y 2 + 2 • 16 = 82.

Далее легко решается.

1) (x — 1)(x + 2)(x -3)(x + 4) = 144

2) (x + 3)(x + 1)(x + 5)(x + 7) = — 16

3) (x — 4)(x + 5)(x + 10)(x — 2) = 18x 2

4) (x + 6)(x + 3)(x — 1)(x — 2) – 12x 2 = 0

5) (x 2 – 5x — 4) 2 — 3(x 3 – 5x 2 – 4x) + 2x 2 = 0

6) (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) = 12

7) (x — 4) 4 + x 4 = 82

8) (2x 2 – 3x + 1)(2x 2 + 5x + 1) = 9x 2

1.3.7. Уравнения вида:

,

где a, b, c, A, B, E – постоянные, а 0.

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли х = 0 корнем уравнения, затем делят числитель, и знаменатель каждой дроби на х ? 0 и вводят замену

Пример 1. Решить уравнение.

Решение: Проверим х = 0 не корень уравнения. Делим числитель и знаменатель каждой дроби на х 0, получим: , делаем замену , получим , решая это уравнение, получим t₁ = 6, t₂ = — 1. Вернёмся к старой замене: