Виды движения и их уравнения техническая механика

Движение и его виды

Встречающиеся в природе и окружающие нас предметы являются физическими телами. Из повседневной жизни мы знаем, что с течением времени меняется погода, продолжительность дня и ночи, температура воздуха и т. д. Всякого рода изменения, происходящие в природе, называют движением.

Движение может быть механическим, тепловым, электрическим и др.

Механическое движение — это перемещение тел относительно друг друга (движение автобуса относительно других видов транспорта, домов и т. п.).

Тепловое движение — это беспорядочное движение мельчайших частичек вещества (молекул, атомов).

Электрическое движение — это движение электрических зарядов.

Механическое движение может быть равномерным и неравномерным, поступательным и вращательным.

Равномерное движение характеризуется тем, что тело в равные промежутки времени проходит равные расстояния. При неравномерном или переменном движении этот принцип не соблюдается. При поступательном движении все точки какого-либо тела А (рис. 21) проходят параллельные пути, так что линия тп, проведенная между двумя точками этого тела, всегда параллельна самой себе. Поступательно движутся поезд и автомобиль на прямом пути, плывущая по реке лодка. Другими словами, при поступательном движении все точки движущегося тела имеют равные и параллельные траектории. Вращательное движение характерно перемещением всех точек тела в параллельных плоскостях по окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой осью вращения.

Основными показателями, определяющими характер механического движения, являются проходимое телом расстояние (путь), время, в течение которого это расстояние пройдено, направление движения и его скорость.

Скорость равномерного движения есть величина, измеряемая расстоянием, пройденным телом за единицу времени. Она вычисляется по формуле:

где v — скорость; S — путь; t — время.

За единицу измерения скорости принимают скорость равномерно движущейся точки, которая в каждую секунду проходит путь, равный одному сантиметру (см/с), или одному метру (м/с). На транспорте за единицу скорости принимают один километр в час (км/ч).

При неравномерном движении пройденный путь прямо пропорционален времени и скорости движения:

Скорость неравномерного движения характеризуют двояко: средней скоростью за какой-либо промежуток времени и скоростью в данный момент, которую принято называть мгновенной. Движение, при котором скорость за равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину, называют равномерно-переменным. Равномерно-переменное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-замедленным. Отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого произошло это изменение, называют ускорением. Величину ускорения определяют по формуле:

где v1 и v2 — скорость движения на двух отдельных отрезках пути; t1 и t2 — время перемещения на тех же отрезках пути.

При равноускоренном движении тела путь и скорость определяют по формулам:

а при равнозамедленном движении по формулам:

где v0 — начальная скорость; vt — скорость в данный момент.

Сложение скоростей. Движущееся тело, а следовательно, и его скорость имеют определенное направление. Величины, характеризующие абсолютную величину и направление в пространстве, называют векторами. Следовательно, скорость движения тела есть вектор, который можно изобразить графически линией, оканчивающейся стрелкой. При этом стрелка указывает направление скорости, а длина линии показывает абсолютную величину скорости в соответствующем масштабе.

Если тело движется с двумя различными скоростями v1 и v2, направленными по одной прямой в одну сторону (человек перемещается в вагоне движущегося трамвая), то абсолютная скорость его будет равна сумме этих скоростей. При противоположном направлении скоростей абсолютная скорость будет равна их разности.

Движение точки по окружности, при котором эта точка за любые равные промежутки времени проходит равные дуги, называют равномерным движением по окружности, или круговым. Линейная скорость равномерного кругового движения — это величина, измеряемая длиной дуги I, пройденной точкой за единицу времени (рис. 22, а). В каждой точке окружности линейная скорость направлена по касательной к этой окружности. Величина линейной скорости определяется отношением длины дуги l ко времени t, за которое она пройдена точкой:

Угловая скорость равномерного движения точки по окружности измеряется величиной угла перемещения точки в единицу времени (рис. 22, б):

где ω — угловая скорость, φ — угол перемещения точки.

За единицу угловой скорости принимают угловую скорость такого равномерного движения точки по окружности, при котором точка за одну секунду перемещается на угол в один радиан (рад/с). Радианом называют центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу. Между линейной и угловой скоростями существует зависимость:

Равномерное круговое движение характеризуется периодом (Т) и частотой (f).

Периодом равномерного движения называют время, в течение которого точка делает полный оборот вокруг оси вращения.

Частота равномерного вращательного движения характеризуется числом оборотов точки вокруг оси вращения в единицу времени. В технике скоростью вращательного движения называют число оборотов, сделанных телом (валом машины) в минуту.

Линейная скорость при равномерном вращательном движении равна:

а угловая

где n — число оборотов в минуту; п — постоянная величина, равная 3,14.

Виды движения и их уравнения техническая механика

Пусть известно ускорение точки в каждый момент времени.

По определению имеем .

1.2.5. Кинематика твердого тела. Виды движения

Различают пять видов движения:

• поступательное;
• вращательное — вокруг неподвижной оси;
• плоское;
• вокруг неподвижной точки;
• свободное.

Поступательное движение и вращательное движение вокруг оси — основные виды движения твердого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из этих основных видов или к их совокупности.

Поступательное — это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе и все точки твердого тела совершают равные перемещения за одинаковое время (рис. 1.2.9).

При вращательном движении вокруг оси все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью ОО’ вращения (рис. 1.2.10).

Механическое движение и его характеристики

теория по физике 🧲 кинематика

Механика — раздел физики, который изучает механическое движение физических тел и взаимодействие между ними.

Основная задача механики — определение положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение и его виды

По характеру движения точек тела выделяют три вида механического движения:

• Поступательное. Это движение, при котором все точки тела движутся одинаково. Если через тело мысленно провести прямую, то после изменения положения этого тела в пространстве данная прямая останется параллельной самой себе.
• Вращательное. Это движение, при котором все точки тела движутся, описывая окружности.
• Колебательное. Это движение тела, которое повторяется точно или приблизительно через определенные интервалы времени. От вращательного движения его отличает то, что при колебаниях тело перемещается в двух взаимно противоположных направлениях.

По типу линии, вдоль которой движется тело, выделяют два вида движения:

• Прямолинейное — тело движется по прямой линии.
• Криволинейное — тело движется по кривой линии, в том числе замкнутой.

По скорости выделяют два вида движения:

• Равномерное — скорость движущегося тела остается неизменной.
• Неравномерное — скорость движущегося тела с течением времени меняется.

По ускорению выделяют три вида движения:

• Равноускоренное — тело движется неравномерно с постоянным ускорением (положительным). Скорость увеличивается.
• Равнозамедленное — тело движется неравномерно с постоянным замедлением (отрицательным ускорением). Скорость уменьшается.
• Ускоренное — тело движется неравномерно с меняющимся ускорением. Скорость может, как увеличиваться, так и уменьшаться.

Что нужно для описания механического движения?

Для описания механического движения нужно выбрать, относительно какого тела оно будет рассматриваться. Движение одного и того же объекта относительно разных тел неодинаковое. К примеру, идущий человек относительно дерева движется с некоторой скоростью. Но относительно сумки, которую он держит в руках, он находится в состоянии покоя, так как расстояние между ними с течением времени не изменяется.

Решение основной задачи механики — определения положения тела в пространстве в любой момент времени — заключается в вычислении координат его точек. Чтобы вычислить координаты тела, нужно ввести систему координат и связать с ней тело отсчета. Также понадобится прибор для измерения времени. Все это вместе составляет систему отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов.

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается движение.

Часы — прибор для отсчета времени. Время измеряется в секундах (с).

При описании движения тела важно учитывать его размеры, так как характер движения его отдельных точек может различаться. Но в рамках некоторых задач размер тела не влияет на результат решения. Тогда его можно считать пренебрежительно малым. Тогда тело рассматривают как движущуюся материальную точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Допустимо принимать тело за точку, если оно движется поступательно или его размеры намного меньше расстояний, которые оно проходит.

Виды систем координат

В зависимости от характера движения тела для его описания выбирают одну из трех систем координат:

• Одномерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать только одной координатой x — M(x) . В этом случае тело движется прямолинейно.
• Двумерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать двумя координатами x и y — M(x,y). Тело в этом случае движения по плоскости.
• Трехмерную. Используется, когда положение материальной точки можно задать тремя координатами x, y и z — M(x,y,z). Тело в этом случае изменяет положение в трехмерном пространстве.

Способы описания механического движения

Описать механическое движение можно двумя способами:

Координатный способ

Указать положение материальной точки в пространстве можно, используя трехмерную систему координат. Если эта точка движется, то ее координаты с течением времени меняются. Так как координаты точки зависят от времени, можно считать, что они являются функциями времени. Математически это записывается так:

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Векторный способ

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с положением этой точки.

Указать положение точки в трехмерном пространстве также можно с помощью радиус-вектора. При движении точки радиус-вектор со временем изменяется. Он может менять направление и длину. Это значит, что радиус-вектор тоже можно принять за функцию времени. Математически это записывается так:

Эта формула называется кинематическим уравнением движения точки, записанным в векторной форме.

Характеристики механического движения

Движение материальной точки характеризуют три физические величины:

Перемещение

Перемещение (вектор перемещения) — направленный отрезок, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец — с его конечным положением. Обозначается как S .

Перемещение точки определяется как изменение радиус-вектора. Это изменение обозначается как Δ r . С точки зрения геометрии вектор перемещения равен разности радиус-векторов, задающих конечное и начальное положение точки:

Траектория — линия, которую описывает тело во время движения.

Путь — длина траектории. Обозначается буквой s. Единица измерения — метры (м).

Путь есть функция времени:

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Обозначается как |Δ r |. Единица измерения — метры (м).

Модуль перемещения необязательно должен совпадать с длиной пути.

Пример №1. Человек обошел круглое поле диаметром 1 км. Чему равны пройденный путь и перемещение, которое он совершил.

Путь равен длине окружности. Поэтому:

Человек, обойдя круглое поле, вернулся в ту же точку. Поэтому его начальное положение совпадает с конечным. В этом случае человек совершил перемещение, равное нулю.

Пример №2. Точка движется по окружности радиусом 10 м. Чему равен путь, пройденный этой точкой, в момент, когда модуль перемещения равен диаметру окружности?

Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Перемещение равно длине этого отрезка в случае, если один из концов этого отрезка является началом вектора перемещения, а другой — его концом. Траекторией движения в этом случае является дуга, равная половине окружности. А длина траектории есть путь:

Скорость

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела. Численно она равна отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

В физике скорость обозначается V . Математически скорость определяется формулой:

Скорость характеризуется не только направлением вектора скорости, но и его модулем.

Модуль скорости — расстояние, пройденное точкой за единицу времени. Обозначается буквой V и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Математическое определение модуля скорости:

Величина скорости тела в данный момент времени есть первая производная от пройденного пути по времени:

Ускорение

Ускорение — векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Численно она равна отношению изменения скорости за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

В физике ускорение обозначается a . Математически оно определяется формулой:

Модуль ускорения — численное изменение скорости в единицу времени. Обозначается буквой a. Единица измерения — метры в секунду в квадрате (м/с 2 ).

Математическое определение модуля скорости:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀— его скорость в начальный момент времени, t — время, в течение которого эта скорость менялась.

Ускорение тела есть первая производная от скорости или вторая производная от пройденного пути по времени:

Проекция вектора перемещения на ось координат

Проекция вектора перемещения на ось — это скалярная величина, численно равная разности конечной и начальной координат.

Проекция вектора на ось OX:

Проекция вектора на ось OY:

Знаки проекций перемещения

• Проекция является положительной, если движение от начала проекции вектора к проекции конца происходит сонаправленно оси координат.
• Проекция является отрицательной, если движение от начала проекции вектора к проекции конца направлено в сторону, противоположную направлению координатной оси.

Внимание!

Проекция вектора перемещения на ось считается нулевой, если вектор расположен перпендикулярно этой оси.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения:

Модуль перемещения измеряется в метрах (м).

Вместе с собственными проекциями модуль перемещения образует прямоугольный треугольник. Сам он является гипотенузой этого треугольника. Поэтому для его вычисления можно применить теорему Пифагора. Выглядит это так:

Выразив проекции вектора перемещения через координаты, эта формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выражение проекций вектора перемещения через угол его наклона по отношению к координатным осям:

Общий вид уравнений координат:

Пример №3. Определить проекции вектора перемещения на ось OX, OY и вычислить его модуль.

Определяем координаты начальной точки вектора:

Определяем координаты конечной точки вектора:

Проекция вектора перемещения на ось OX:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Применяем формулу для вычисления модуля вектора перемещения:

Пример №4. Определить координаты конечной точки B вектора перемещения, если начальная точка A имеет координаты (–5;5). Учесть, что проекция перемещения на OX равна 10, а проекция перемещения на OY равна 5.

Извлекаем известные данные:

Для определения координаты точки В понадобятся формулы:

Выразим из них координаты конечного положения точки:

Точка В имеет координаты (5; 10).

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные в определенной системе отсчета.
2. Записать формулу ускорения.
3. Выразить из формулы ускорения скорость.
4. Найти искомую величину.

Решение

Записываем исходные данные:

• Тело начинает двигаться из состояния покоя. Поэтому его начальная скорость v₀ = 0 м/с.
• Ускорение, с которым тело начинает движение, равно: a = 4 м/с 2 .
• Время движения согласно условию задачи равно: t = 2 c.

Записываем формулу ускорения:

Так как начальная скорость равна 0, эта формула принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда скорость равна:

Подставляем имеющиеся данные и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить