Виды дифференциальных уравнений
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.
Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )
Начнем с примеров таких уравнений.
y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3
Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .
Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1
Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .
Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )
Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )
Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x
К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x
Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.
В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .
К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .
Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .
Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.
Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .
Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .
Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .
Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )
Приведем примеры таких уравнений.
К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:
y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x
Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».
Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a
Приведем примеры подобных уравнений.
К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2
Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0
Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.
Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :
- действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
- действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
- комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
- y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
- y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
- y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .
Пример 13
Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2
Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R
Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y
исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y
Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y
мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.
К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:
y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x
Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y
частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y
нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.
В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .
Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.
В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
- находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
- записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y
целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y
Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».
Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2
Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.
Лекция по высшей математике»Дифференциальные уравнения второго порядка»(для 26 гр.)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х) , независимую переменную х , первую и вторую производные у’, у» или дифференциалы
Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением .
Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С 1 и С 2 , называется частным решением . Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х 0 )=у 0 и у'(х=х 0 )=у 0 ‘ , где х 0 , у 0 , у 0 ‘ – конкретные числа.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши . Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С 1 и С 2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.
2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.
2.1. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит у и у’ . Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х= 0 )= 1 и у'(х= 0 )= 1.
Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С 1 и С 2 . Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С 1 =1 и С 2 =1. Следовательно, частное решение имеет вид:
2.2. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит искомой функции у . Уравнение решается с помощью подстановки:
где z – функция от х . Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируем:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Интегрируя, получим общее решение:
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Сокращаем на х и разделяем переменные:
Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.6) получим общее решение:
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.8) в (2.7), получим:
Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
Функцию подставляем в соотношение (2.9):
Сокращаем на х , разделяем переменные и интегрируем:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Разделяем переменные и интегрируем:
Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.10) получим общее решение:
2.3. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х . Уравнение решается с помощью подстановки: или
где z – функция от у , т.е. z = z [ y ( x )] – сложная функция от х . Тогда :
Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
где z – искомая функция, у – независимая переменная.
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 5. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку:
Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Сокращаем на z ( z ≠0) и разделяем переменные:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)
т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .
Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)
и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным . Рассмотрим комплексную функцию , (3)
где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.
Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .
Пример 1 . Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .
Пример 2 . Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .
Построение общего решения линейного однородного уравнения.
Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать
в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):
Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.
Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.
Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.
Пример 3 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .
Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,
Пример 4 . Решить квадратное уравнение .
Решение . Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.
Пусть корни характеристического уравнения комплексные , т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .
Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство
может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,
где и — произвольные постоянные.
Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .
Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .
В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.
Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)
т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m , т.е. .
Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.
Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .
Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является
. Его характеристическое уравнение имеет корни и .
Общее решение однородного уравнения имеет вид .
Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :
или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k ( k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .
Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .
Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,
Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
Дифференциальные уравнения (ДУ) — методы и примеры решения уравнений разного порядка
Многих людей, хоть как-то изучавших курс высшей математики в учебном заведении, приводит в ужас словосочетание «дифференциальные уравнения». Согласно строгому научному определению в книгах – так именуются математические выражения, где в состав входят функция, ее производная или параметр. Имеется достаточно большое количество типов этих равенств, рассмотрим подходы к их решению так, чтобы они были понятны даже для «чайников».
Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):
здесь, F(x,y,y ’ ) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у ’ ).Таково строгое математическое определение ДУ.
Для примера можно привести следующее уравнение:
функция вида F(x,y,p) = xp — y 2
Простейшие ДУ первого порядка
Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y’ = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х.
После интегрирования получим такое выражение:
Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:
здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.
Задача №1
Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид
Последовательно рассмотрим решение.
Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:
Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:
Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:
Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.
ДУ с разделяющимися переменными
Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.
Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными.
Их общий вид следующий:
После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:
При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.
Задача №2
Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y’ = y(x 2 + e x )
Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:
Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.
Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что
Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.
Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:
Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:
Правильными решениями, в результате преобразований, будут:
Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.
Линейные неоднородные ДУ первого порядка
Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y’ + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.
Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:
Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.
Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.
На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.
Задача №3
Рассмотрим применение методики решения на примере.
Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида
Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:
На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю.
Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:
Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x 2 + 1, которое соответствует равенству С2 — С1=0.
Выполняем оставшиеся преобразования:
Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:
Задача Коши для ДУ
При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n’) = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения).
На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную.
Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.
Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.
Задача №4
Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:
Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y’ = xy 2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:
Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:
Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:
Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.
Дифференциальные уравнения Бернулли
ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:
Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.
Задача №5
Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:
Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:
Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на
и выполним необходимые преобразования:
Произведем замену параметра х на параметр у:
Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:
Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:
Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:
Дифференциальные уравнения второго порядка
Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.
Общий вид таких уравнений таков:
Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:
При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.
Задача №6
Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.
Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:
Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:
Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5.
Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:
Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:
Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.
Задача №7
Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» + y = cos x.
На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0.
Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k 2 + 1 = 0.
Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i.
Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:
Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:
Теперь остается только подставить найденные выражения:
Частное и общее решение для уравнения можно записать:
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:
Для неоднородных справедлив другой формат:
Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.
Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.
http://infourok.ru/lekciya-po-visshey-matematikedifferencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadkadlya-gr-2311306.html
http://nauka.club/matematika/algebra/differentsialnye-uravneniya.html