Виды логарифмических уравнений изучаемых в старшей школе

Урок-лекция по теме: «Виды логарифмических уравнений и методы их решения»

Разделы: Математика

Форма урока: лекция.

Цель урока: рассмотреть виды логарифмических уравнений и методы их решения.

I. Устный опрос по теории логарифмов.

II. Объяснение новой темы.

I. Устный опрос.

1. Дайте определение логарифма числа.
2. Сформулируйте свойство “Логарифм произведения”.
3. Сформулируйте свойство “Логарифм частного”.
4. Запишите формулу “Логарифм степени”.
5. Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому.
6. Что называется уравнением?
7. Что называется корнем уравнения?
8. Что значит решить уравнение?

Ход урока

I. Рассмотрим равенство log_ab=c.

Это равенство устанавливает связь между тремя числами a,b,c. Сколько уравнений можно составить, используя это равенство?

1) b = x, logax = c	2) a =x, logxb = c	3) c = x
a>0, a =1	x>0, x = 1	logab = x
x = a c	x c = b	a – неизвестное число
x = c \/ — b —

log4x = 3	logx5 = 2	logx5 = 0
x =64;	x 2 = 5	x 0 = 5, нет решения.
x = 5;-5
но (-5)-не корень

Уравнения №1 и №2 называются простейшими логарифмическими уравнениями. Сколько решений имеют эти простейшие уравнения? (Единственное решение при любом с)

II. Рассмотрим другие виды уравнений и способы их решения.

Виды уравнений

Способы решения

Примеры1)log_a f(x) = g(x)

a>0, a 1, f(x)>0.Функционально-графический. Основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций (чаще всего свойств монотонности).1) lgx = 1-x

y = lgx- возрастающая на D(y)

y= 1-x — убывающая

Уравнение имеет один корень х = 1

Дома: Сколько корней имеет уравнение:

lg x = sinx (6 корней)2)log_af(x)=b

a>0, a1.По определению логарифма имеем f(x) = a b .log₃(2x+1)=23)log_a f(x) = log_ag(x)a>0,a 1.Уравнение равносильно системе:

Почему достаточно проверить одно неравенство из двух?

Например, можно опустить неравенство g(x)>0, т.к. оно вытекает из равенства f(x)=g(x) и неравенства f(x)>0

Таким образом, для решения уравнения нужно:

1) pешить уравнение f(x)=g(x);

2) из найденных решений отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f(x)>0 ( или g(x)>0; используя более простое из этих двух неравенств), а остальные решения отбросить.log₃(x 2 -3) = log₃2x

log₂(x 2 -3x-5) = log₂ (7-2x)4) log_a f(x)+log_ag(x)=b

a>0, a1.Воспользуемся формулой log_af(x)+log_ag(x)=log_a(f(x)g(x)). Но это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Действительно f(x)g(x)>0, когда f(x) 0 и g(x)>0. Поэтому, уравнение равносильно системе:

I способ:

II Способ.

1. Свести уравнение к виду log_a(f(x)g(x)) = b.
2. Решить уравнение f(x)g(x) = a b .

3) Сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

lg(x+4)+lg(2x+3)= lg(1+2x)

log₅(3x-11)+log₅(x-27)= =3+log₅85) log_af(x)-log_ag(x)=b

a>0,a 1.I Способ. Воспользоваться равенством log_af(x)-log_ag(x) =log_a(f(x)/g(x)).Уравнение преобразуется к виду log_a(f(x)/g(x))= b.Может ли это преобразование привести к появлению посторонних корней? Решить уравнене f(x)/g(x)= a b и сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

II.Способ.Уравнение равносильно системе:

Решить уравнение системы и отобрать те корни, для которых выполняются неравенства.

III.Способ. Перейти от исходного уравнения к виду log_af(x)=b+log_ag(x)

log_af(x)=log_a(a b g(x)).Решить уравнение и сделать проверкуlg(x-1)-lg(2x-11)=lg2

Дома: lg(x 2 +19)-lg(x-8)=26) log_af(x)+log_bg(x)=c

a>0, a1.При решении уравнения применяется формула log_ab=log_cb/log_ca. Выбор основания должен быть таким, что бы переход к новому основанию не осложнил решения уравненя, но позволил бы избежать потери корнейlog _2xx=log _8/xx (к основанию 2) log₂x/log₂2x = =log₂x/log₂(8/x); log₂x(log₂(8/x)-log₂2x)=0; x=1 , x=2;-2 — посторонний. Ответ: 1;2

1+log₂(x-1)=log_(x-1)47) log 2 _af(x)+log_af(x)=b

a>0, a1.I Способ. Ввести новую переменную log_af(x) = t и свести уравнение к квадратному: t 2 +t=b. Решить это уравнение и сделать проверку.

IIСпособ. Найти область определения уравнения. Решить уравнение с помощью введения новой переменной. Проверить, принадлежат ли найденные значения переменной области определения уравнения.(lgx) 3 -lgx 3 +2=0

5log₃x-9(log₃x) 0,5 -2=08) f(x) k(x) =g(x) h(x)Найти ОДЗ уравнения. Логарифмировать обе части уравнения по выгодному основанию. Проверить принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения.

Этот способ применяется, когда невозможно уравнять основания степеней.

a>0, a 1(x+1) lg(x+1) =100(x+1)

ОДЗ: х>-1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

lg 2 (x+1)-lg(x+1) –2=0 – квадратное уравнение относительно lg(x+1). Решая его находим x₁=99; x₂= -0,9 .Оба корня удовлетворяют условию

При решении уравнений нужно руководствоваться следующими правилами:

1) решать, находя ОДЗ уравнения, и проверять принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения;

2) решать, не учитывая ОДЗ уравнения, но в конце решения сделать проверку по отбору корней;

3) преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать

1) изучить лекцию;

2) решить уравнения, предложенные в лекции на дом.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Изучение логарифмов в старшей школе

Понятие логарифма

При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х = −5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2 х = 3, стандартных знаний оказывается недостаточно. Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.

Действительно, если бы равенство , где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2 m = 3 n . Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство .

С другой стороны, график непрерывной функции y = 2 x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2 x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?».

Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0, a ≠ 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается log_ab.

Теперь мы можем записать корень уравнения 2 х = 3:

Равенства a x = b и x = log_ab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.

Понятие логарифма в методическом пособии

Задание

Решите уравнение: а) 2 x = 64; б) ; в) ; г) 4 x = 0; д) 7 x = −12.

После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2 x = 3. На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается.

Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2 r , где r = m/n.

После этого диалог с классом можно строить примерно так:

— Как вы думаете, имеет ли уравнение 2 x = 3 корень? Ответ обоснуйте. [Если построить график функции у = 2 x и провести прямую у = 3, то они пересекутся в одной точке, значит, уравнение имеет один корень.]
— Что можно сказать о корне уравнения a x = b, где а > 0 и а ≠ 1? При всех ли значениях b оно имеет корни?

Затем вводится определение логарифма числа b по основанию а и записывается основное логарифмическое тождество . При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2 х = 3: х = log_a3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.

Логарифмическая функция

Выразим x из равенства y = log_ax, получим x = a y . Последнее равенство задает функцию x = a y , график которой симметричен графику показательной функции y = a x относительно прямой y = x.

Показательная функция x = a y является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = log_ax, в свою очередь, является функцией x.

Показательная функция y = a x и логарифмическая функция y = log_ax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции.

Свойства функции y = log_ax, a > 0, a ≠ 11:

1. Функция y = log_ax определена и непрерывна на множестве положительных чисел.
2. Область значений функции y = log_ax — множество действительных чисел.
3. При 0 1 функция y = log_ax является возрастающей.
4. График функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
5. Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = log_a.

Решение логарифмических уравнений и неравенств на основе свойств логарифмической функции

Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы ссылаемся на возрастание соответствующей логарифмической функции, то есть на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию y = log₃ log_0,5(2x + 1) считать логарифмической, то ее аргумент не переменная x, а все выражение log_0,5(2x + 1). Если же все-таки рассматривать x как аргумент функции y = log₃ log_0,5(2x + 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения x увеличивается значение выражения 2x + 1, уменьшается значение выражения log_0,5(2x + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции.

Свойства логарифмов

Связь двух форм записи соотношения между числами a, b и x (речь о a x = b и x = log_ab) позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней.

Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: a x a y . Пусть a x = b и a y = c. Перейдем к логарифмической форме: x = log_ab и y = log_ac, тогда bc = a log _a b × a log _a c = a log _a b + log _a c . От показательной формы равенства bc = a log _a b + log _a c перейдем к логарифмической форме:

Заметим, что в левой части формулы числа a и b могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так:

Аналогично можно получить еще два свойства для логарифмов частного и степени.

• логарифм произведения log_a(bc) = log_a|b| + log_a|c|
• логарифм частного
• логарифм степени log_abp= p log_a|b|

Последнее свойство дает возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием.

Пусть log_ab = x. Перейдем к показательной форме a x = b. Прологарифмируем это равенство по основанию c, т.е. найдем логарифмы с основанием c обеих частей этого равенства: log_ca x = log_cb. Применяя к левой части свойство логарифма степени, получим x log_ca = log_cb или , откуда .

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого:

Рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл.