Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Стало быть, годятся лишь и .
Ответ:
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Методы решения уравнений и неравенств с модулем
Методы решения уравнений и неравенств с модулем
Цели. Целью моей работы является классификация методов решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Данное исследование возникло из необходимости обобщить все знания по этой теме для проникающего повторения при подготовке к Единому Государственному Экзамену в 10 – 11 классах. В результате исследования мне удалось выделить три основных метода, которые являются универсальными для решения уравнений (неравенств) своего типа, а так же, были выявлены частные случаи этих методов, упрощающие общую схему решения.
Считаю, что данная работа будет полезна ученикам 11-х классов.
Типы уравнений (неравенств) и методы их решения:
I. Простейшие – уравнения и неравенства вида
|f(x)| = a, |f(x)| a, где а – любое число.
При решении простейших уравнений и неравенств исходим из определения модуля, как расстояния от нуля до числа, выраженного в единичных отрезках.
1. Рассмотрим уравнения вида | f(x)| = a:
Решение неравенства – множество значений f(х) «между» числами а и – а:
двойное неравенство — a а ():
б). Если а = 0, то |f(x)| > 0. Тогда , т. к. |f(x)| 0.
(|f(x)|0. Решение: (см. выше)).
|f(x)| > a Решение неравенства: множество значений х «за» числами а и – а.
1.| x+2| = 3
2.
Ответ: x = 3, x = -1.
3., тогда или
.
Ответ: (-∞;1 ).
4. | x2 +5x | ≥ 6,
Ответ: (-∞;-6][-3;-2] [1;+ ∞).
- |f(x)| = f(x) f(x) ≥ 0 Решение уравнения – решение неравенства. |f(x)| = — f(x) f(x) ≤ 0. |f(x)|=|g(x)|
1.
x = 1, x =3.
2.| x2 – 1| = (x – 1)(x + 1),
Ответ: (-∞; — 1] [1;+ ∞).
II. По определению модуля.
Если в уравнении или неравенстве один модуль и функция (|f(x)| * g(x)), то решаем по определению модуля:
|f(x)|=
Для этого нужно рассмотреть два случая, раскрывая модуль, в зависимости от знака подмодульного выражения Изменения происходят только в части, содержащей модуль.
1. 2|x +1|>x+4,
Ответ:
2.
Ответ: x = 1, x = —
Данное равенство возможно, только если . Тогда:
Только для уравнений, в которых g(x) проще f(x).
1.
Ответ: x = 1, x = 6.
III. Метод интервалов
А) В случае, когда в уравнении или неравенстве сумма (разность) нескольких модулей.
1.
1.Приведем подмодульные выражения к виду ax + b, где a > 0, по свойству . .
2.Найдем нули модулей: х = — 1, х = 4.
3.Отметим нули модулей на числовом луче и выделим числовые промежутки.
4.Заполним таблицу и расставим знаки, используя свойство линейной функции y = kx + b при k>0 (возрастающая функция, при переходе через ноль знак меняется с « — » на « + »).
5. Решим уравнения (неравенства) на каждом из участков, раскрывая модуль с учетом знака подмодульного выражения.
1. x 5.
Объединяем решения всех случаев, тогда x(-
Ответ: (-
2.Существуют уравнения этого типа (в тестах!), условие которых позволяет сократить количество рассматриваемых случаев, но для этого надо внимательно исследовать подмодульные выражения.
данное равенство возможно только, если , т. е. когда , .
Значит, и
Тогда рассматриваем только один случай:
Ответ:
Так как обе части уравнения (неравенства) — неотрицательные числа, то можно возвести обе части в квадрат. Тогда получим:
f2(x) * g2(x) или f2(x) — g2(x) * 0 – это разность квадратов, можно разложить на множители.
(Очень эффективно, когда функции сложно заданы!)
- | x2 — 3x + 2| ≥ | x2 + 3x + 2|,
(x2 — 3x +x2 + 3x + 2) 2 ≥ 0,
(x2 — 3x + 2 — x2 — 3x – 2)∙(x2 — 3x + 2 + x2 + 3x + 2) ≥ 0,
— 6x∙(2×2 + 4) ≥ 0, т. к. 2×2 + 4 > 0, то получим:
Б). Произведение или частное сравнивается с нулем.
- x∙
1.Найдем нули всех множителей: х =0, х = — 1.
2.Учтем, что ноль модуля не является знакоменяющей точкой, т. к. («лепесток»).
3.Расставим в промежутках знаки, чередуя их, и в лепестках тоже, начиная с самого правого (рис. 4).
4.Выберем промежутки соответственно знаку неравенства: «больше» — c « + »,
Ответ: <- 1>.
Нули числителя: x=0 (●).
Нули знаменателя: x=1, «лепесток» (○).
Ответ: .
Проделанная мной работа позволила мне привести в систему мои знания по этой теме, что необходимо каждому старшекласснику для успешной сдачи Единого Государственного Экзамена. Кроме того, я открыла для себя новые схемы решения уравнений и неравенств с модулями, которые значительно облегчают процесс решения и позволяют сократить время, требуемое для выполнения задания. Расширила знания по работе с компьютерной программой Microsoft Word, выходящие за рамки простого набора текста, что необходимо каждому современному человеку.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение уравнений и неравенств с модулями.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> |x| или abs(x) — модуль x
Введите уравнение или неравенство с модулями
Решить уравнение или неравенство
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \( |x-a| \) — это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \( |x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \( |x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \( x_1=1 \) и \( x_2=5 \).
Решая неравенство \( |2x+7| 0 \), то уравнение \( |f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений: \( \left[\begin
2) Если \( c > 0 \), то неравенство \( |f(x)| c \) равносильно совокупности неравенств: \( \left[\begin
4) Если обе части неравенства \( f(x) 0. Значит, |2х – 4| = (2х – 4), |х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: (2х – 4) + (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения.
Итак, \(x_1=-1, \; x_2=3 \).
Второй способ
Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию \( 2\rho(x; \;2)+ \rho(x; \;-3) =8 \) или
MA + 2MB = 8
( здесь A = A(–3), B = B(2) ).
Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может.
Рассмотрим случай, когда точка \( M_1(x) \) лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(2 – х) = 8,
откуда находим: x = –1.
Рассмотрим случай, когда точка \( M_2(x) \) лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(х – 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: –1; 3.
Пусть теперь требуется решить неравенство \( |f(x)| |f(x)| \). Отсюда сразу следует, что \( g(x) > 0 \). Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) неравенство \( |f(x)| 0, \\ -g(x) 0 \\ f(x) -g(x) \end
Третий способ.
Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) обе части неравенства \( |f(x)| 0 \\ (f(x))^2 0 \\ x^2 — 3x + 2 -(2x — x^2) \end
Решая эту систему, получаем:
\( \left\<\begin
\( \left\<\begin
\( \left\<\begin
Из последней системы находим: \( 0<,>5 g(x) \). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ
Если \(f(x) \geqslant 0\), то \( |f(x)| = f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( f(x) > g(x) \).
Если \(f(x) g(x) \).
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\<\begin
Второй способ.
Рассмотрим два случая: \( g(x) \geqslant 0, \; g(x) g(x) \) выполняется для всех x из области определения выражения f(x).
Если \( g(x) \geqslant 0 \), то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно совокупности неравенств \( f(x) g(x) \).
Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем:
\( \left\<\begin
Третий способ.
Воспользуемся тем, что при \( g(x) \geqslant 0 \) неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно неравенству \( (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| > g(x) \) к совокупности систем:
\( \left\<\begin
ПРИМЕР 5. Решить неравенство \( |x^2 — 3x + 2| \geqslant 2x — x^2 \)
Первый способ
Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\<\begin
\( \left[\begin
Таким образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
\( 2x — x^2 \leqslant 0; \) \( \left\<\begin
Решив неравенство \( 2x — x^2 \leqslant 0 \), получим: \( x \leqslant 0,\; x \geqslant 2 \)
Решив первую систему, получим: \( 0 0 \), то обе части заданного неравенства можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравенства и системы неравенств:
\( 2x — x^2 \leqslant 0; \) \( \left\<\begin
Решив неравенство \( 2x — x^2 \leqslant 0 \), получим: \( x \leqslant 0,\; x \geqslant 2 \)
Решая систему, получаем последовательно:
\( \left\<\begin
http://pandia.ru/text/78/434/38889.php
http://www.math-solution.ru/math-task/modules-equality-inequality