Виды уравнений и неравенств в школе

Уравнения и неравенства в курсе математики средней школы

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В КУРЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Понятие уравнения в математике

Уравнение относится к числу ведущих алгебраических понятий. В математике оно рассматривается в трёх аспектах:

как особого рода формула, являющаяся в алгебре объектом изучения; как средство решения текстовой задачи; как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Определение понятия уравнения в математике основано на понятии «предикат» или «предложение с переменной».

Приведём пример такого предложения: «п – есть простое число». Подставляя вместо переменной п натуральные числа, будем получать высказывания – предложения без переменной, содержащие утверждения и обладающие определёнными истинностными значениями. Так, при п = 5 получим истинное высказывание «5 – простое число», а при п = 12 — ложное высказывание «12 – простое число». Уравнение – это тоже предложение с переменной (или с несколькими переменными), которое при одних значениях переменной, принадлежащих некоторому числовому множеству D, обращается в истинное высказывание (числовое равенство), а при других – в ложное.

Определение. Уравнением называется предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной.

По аналогии с уравнением можно определить и неравенство как предложение с переменной, имеющее вид неравенства между двумя выражениями с этой переменной.

Отметим, что теория решения уравнений, неравенств и их систем, а также методы решения уравнений и неравенств отдельных видов рассмотрены в курсе НПОПМ.

Понятие уравнения в школе

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнения и неравенства, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно – методическую линию уравнений и неравенств.

Учитывая приведённые выше аспекты функционирования понятия уравнения в математике, целесообразно выделить три основных направления развёртывания линии уравнений и неравенств школьного курса алгебры.

1. Теоретико – математическое, которое раскрывается в двух аспектах:

выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств, систем; изучение обобщённых понятий, относящихся ко всей линии в целом, что позволяет сформировать обобщённый аппарат теории (выделить общие понятия линии: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следствие, система и совокупность уравнений (неравенств); общие и частные методы решения).

2. Прикладное, связанное с решением текстовых задач, как одним из видов математического моделирования.

3. Систематизирующее, то есть устанавливающее взаимосвязи с другими содержательно-методическими линиями: числовых систем, тождественных преобразований, функциональной и другими.

В связи с выше сказанным, определим цели изучения линии уравнений и неравенств в школе:

формирование теоретических знаний; формирование умений решать уравнения и неравенства определённых видов, их систем и совокупностей; обучение решению текстовых задач для формирования представлений об уравнении (неравенстве) как средстве математического моделирования; установление взаимосвязей линии уравнений и неравенств с другими содержательно-методическими линиями школьного курса математики в процессе решения целесообразно подобранных задач.

Содержание учебного материала

Смотри практические занятия.

Формируются понятия уравнения с одной переменной, решения или корня уравнения, выясняется, что значит решить уравнение. Вводится понятие равносильных уравнений. Рассматриваются свойства:

если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Отмечается, что указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на соответствующие свойства числовых равенств.

Изучаются линейные уравнения с одной переменной, уравнения, решаемые на основании условия равенства произведения нулю, линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Решаются текстовые задачи на составление уравнений и их систем.

Квадратные уравнения и дробные рациональные уравнения, сводимые к линейным и квадратным уравнениям. Для тех, кто хочет знать больше, уравнения с параметром.

Элементы теории решения целых уравнений и методы их решения:

разложение на множители и замены. Для тех, кто хочет знать больше, приводится теорема о корне многочлена и теорема о целых корнях целого уравнения, которые позволяют расширить приёмы решения целых уравнений. Рассматриваются возвратные уравнения для частного случая симметрических уравнений (возвратным называется уравнение вида Изучаются дробно-рациональные уравнения и методы их решения: приведение к целому виду, сведение к пропорции, замены. Уравнение с двумя переменными и системы уравнений второй степени с двумя переменными. Задачи, решаемые с помощью систем уравнений второй степени. Для тех, кто хочет знать больше, приёмы решения однородных, симметрических систем уравнений второй степени. Метод сведения системы к совокупности систем.

Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений: введение вспомогательного угла, замены, разложение на множители.

Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения.

Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной.

Вводится определение решения неравенства, выясняется смысл слов «решить неравенство», формируется понятие равносильных неравенств и рассматриваются следующие свойства:

если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Изучаются линейные неравенства и их системы. При этом вводятся понятия системы неравенств, даётся определение решения системы неравенств с одной переменной. Для тех, кто хочет знать больше, приводятся примеры доказательства неравенств.

Решение неравенства второй степени с одной переменной графически и методом интервалов.

Неравенства с двумя переменными и их системы.

Простейшие тригонометрические неравенства. Решение целых и дробных рациональных неравенств методом интервалов.

Показательные и логарифмические неравенства.

Методические аспекты формирования понятия уравнения

Уравнения рассматриваются в начальной школе, в 5,6 классах. В 7 классе понятие уравнения формируется посредством задачи: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке»?

Было книг Стало книг

Нижняя полка 4х 4х — 15

Верхняя полка х х+15

Так как книг стало поровну соединим полученные выражения знаком равенства: 4х – 15 = х+15.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство. Такие равенства называются уравнениями с одной переменной или с одним неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4х – 15 = х+15 получается верное равенство. Такое число называется решением или корнем уравнения. Вводится определение корня или решения уравнения.

Уравнения такого вида учащиеся решали в 6 классе. Они получат х=10.

Далее на примерах уравнений школьники убеждаются, что уравнение может иметь два корня или не иметь корней. Выясняем, что значит решить уравнение. Решить уравнение — это значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет. Поэтому, решая уравнение ответ лучше записать в виде «Ответ: 4; 5; 6», а не в виде «Ответ: х=4, х=5, х=6».

На примере уравнений убеждаем, что существуют уравнения с одинаковыми корнями. Вводим определение: «Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными». Далее приводятся два свойства (смотри содержание учебного материала), суть которых состоит в описании преобразований, не нарушающих равносильности уравнений.

К сожалению, в дальнейшем теория равносильных уравнений в общеобразовательных классах основной и даже полной школы не развивается. Основное внимание уделяется методам решения уравнений отдельных видов, которые не получают должного теоретического обоснования.

Методические аспекты обучения решению уравнений отдельных видов

1. Квадратные уравнения.

1.1. Приведём более простой по сравнению с учебником способ вывода формулы корней квадратного уравнения.

Рассмотрим квадратное уравнение, где а ≠ 0.

Умножим обе части уравнения на 4а, получим уравнение , равносильное данному по свойству 2.

Выделим полный квадрат ,.

Введём обозначение и назовём полученное выражение дискриминантом (в переводе «различитель»). Уравнение примет вид .

Рассмотрим 3 случая.

1случай. 2случай 3 случай.

D>0. D=0. D b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Например, такая ситуация возникает при решении рациональных неравенств методом интервалов, при решении простейших тригонометрических неравенств.

3. В изучении неравенств большую роль играют наглядно – графические средства.

Перечисленные особенности 2, 3 находят своё отражение при изучении квадратных неравенств.

Так, при решении неравенства методом интервалов, переходим к неравенству , а затем к уравнению , решая которое находим нули и решения данного неравенства.

Можно воспользоваться графиком функции .

Прочитав по графику решение, получим [-2;2].

4. Реализуется прикладная роль неравенств при решении заданий функционального характера (отыскании области определения и области значений функции, определении промежутков её монотонности и знокопостоянства), а также при исследовании корней уравнений в зависимости от параметров.

1. Алгебра, 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ , , ; под ред. . – М.: Просвещение, 2010.

2. Алгебра, 8 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ , , ; под ред. . – М.: Просвещение, 2010.

3. Алгебра, 9 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ , , ; под ред. . – М.: Просвещение, 2010.

4. Алгебра и начала анализа : учебник для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений/ , , и др.; Под ред. А. П.. – М.: Просвещение, 2010 г.

5. Методика преподавания математики в средней школе. — Частные методики /Сост. и др. – М.: Просвещение, 1985.

6.Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/под научн. ред. . – М.: Дрофа, 2005 г.

Математическое пособие «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Математическое пособие

Уравнения и неравенства

Методические указания

Пособие по данной теме, является наглядным, позволяет систематизировать знания учащихся. Все темы подробно разобраны (поэтапно). Материал служит как в качестве изучения темы с «нуля», так и в качестве вспомогательного материала. Включает в себя разобранные примеры, задания для самостоятельной работы (закрепления знаний).

Уравнения и неравенства– важнейшие понятия математики.

В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину непосредственно нельзя измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение, которым она удовлетворяет. Так получают уравнения и неравенства для определения неизвестных величины, которые каждый должен уметь решать.

Решение уравнений и неравенств

Уравнение – это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Значения переменных, которые обращают уравнение в верное числовое равенство, называются корнями или решениями уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Обычный путь решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям.

Два уравнения называются равносильными , если каждое решение первого уравнения есть решение второго и наоборот, каждое решение второго есть решение первого. Перечислим преобразования, приводящие данное уравнение к равносильному ему уравнению:

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, которое не обращается в нуль ни при каких значениях переменных, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение с одной переменной называется линейным , если переменная входит в уравнение не выше, чем в первой степени.

Пример: 1) х +8( х –2)=2 х –3 – линейное уравнение;

2) х 3 – х 2 +3 х –4=–3 х +5 – не является линейным.

Стандартный вид линейного уравнения с одной переменной:

Для решения уравнения переносим слагаемое, не содержащее переменную вправо и делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном:

.

Для решения любого линейного уравнения нужно привести его к стандартному виду.

Пример: Решить уравнение:

Приведем уравнение к виду (*), для чего раскроем скобки и перенесем все члены уравнения влево

Приведем подобные члены

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную вправо и поделим обе части уравнения на коэффициент при х , на (–3)

– 3 х =4  .

Ответ: .

Приведем уравнение к стандартному виду (*)

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную вправо и поделим обе части уравнения на коэффициент при х на (–11)

 х =1.



приведем все дроби к общему знаменателю

Это уравнение не является линейным, но его можно свести к решению нескольких линейных уравнений. Разложим левую часть уравнения на множители, для чего сгруппируем 1-е и 2-е слагаемые и 3-е и 4-е слагаемые.

вынесем х из первого слагаемого и (–2) из второго

вынесем ( х 2 –1) за скобки

разложим первый сомножитель на множители, используя формулу разности квадратов

Произведение равно нулю, когда хотя бы одно из сомножителей равно нулю:

Таким образом, решение уравнения свелось к решению трех линейных уравнений, находим корень каждого из этих уравнений:

Рассмотрим пример решения уравнения с параметром (то есть уравнения, где коэффициенты при неизвестном могут принимать различные числовые значения и выражены буквами).

Здесь х – неизвестное, а – параметр.

Перенесем слагаемые, содержащие переменные влево, а слагаемые, не содержащие переменную, вправо

Следующий шаг при решении линейного уравнения: разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, но в нашем случае этот коэффициент зависит от параметра а, и может быть равен нулю, в такой ситуации делить на этот коэффициент нельзя, поэтому рассмотрим случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю отдельно.

а) Если а –2=0, то есть а =2, то уравнение принимает вид

и ни при каком значении х мы не получим верного равенства, следовательно в этом случае уравнение решений не имеет

б) Если а –2  0, то есть а  2, то поделим обе части уравнения на (а–2), получим

Таким образом мы получили:

Ответ: при а =2 решений нет;

при а  2 .

 Решить уравнение с параметром:

.

Так как в знаменателе дроби может стоять только выражение отличное от нуля, то

Уравнение имеет смысл, если а  2 и а  0. Решим уравнение при этих условиях. Приведем дроби к общему знаменателю

дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен

получили линейное уравнение с параметром а, относительно переменной х .

а) Если 3+ а =0, то есть а =–3, получим

и ни при каком х верного числового равенства мы не получим.

б) Если 3+ а  0, то есть а  –3, то

.

Ответ: при уравнение решений не имеет;

при .

2. Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется приведенным.

Любое квадратное уравнение можно привести к приведенному, разделив обе части уравнения на коэффициент при х 2 , при этом полученное приведенное уравнение будет равносильно данному.

Пример: 3 х 2 –4 х +7=0  .

Для нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bx + с =0 пользуются формулами:

где D = b 2 –4 ac .

D называется дискриминантом квадратного уравнения, от его знака зависит число корней квадратного уравнения. Если:

D =0, – уравнение имеет один корень;

D >0, уравнение имеет два корня.

Пример: Решить уравнение.

В данном случае а =4, b =–7, с =3.

D = b 2 –4 ac =49–4  4  3=49–48=1>0  уравнение имеет два корня.

.

Ответ: .

Зная корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0 можно разложить трехчлен, стоящий слева на множители. Если х ₁ , х ₂ – корни уравнения ax 2 + bx + c =0, то ax 2 + bx + c = a ( x – x ₁ )( x – x ₂ ), если квадратное уравнение имеет один корень x ₁ , то ax 2 + bx + c = а ( х – х ₁ ) 2 .

Корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q =0 можно находить, используя теорему Виета :

Теорема: Сумма корней квадратного уравнения x 2 + px + q =0 равна коэффициенту при х , взятому с противоположным знаком; произведение корней равно свободному члену уравнения, то есть если x ₁ , x ₂ – корни уравнения, то

.

I способ . .

Найдем дискриминант квадратного уравнения

 уравнение имеет два корня, найдем их по формулам:

.

II способ . Умножим обе части первоначального уравнения на 3, получим приведенное квадратное уравнение, равносильное данному

Найдем корни квадратного уравнения, используя теорему Виета:

Если х ₁ , х ₂ – корни, то:

делителями числа 5 являются  1;  5, но только (–1) и (–5) в сумме дают (–6), поэтому х ₁ =–5; х ₂ =–1. Получили те же корни уравнения.

.

Приведем уравнение к стандартному виду, для чего перенесем все дроби с противоположным знаком влево, и приведем их к общему знаменателю

.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен. Знаменатель этой дроби отличен от нуля при любых значениях х , поэтому приравняем к нулю числитель

.

Ответ: .

Рассмотрим примеры решения уравнений, которые квадратными не являются, но которые могут быть сведены к решению квадратных уравнений.

Перенесем все члены уравнения влево

слагаемые имеют одинаковые сомножители, вынесем одинаковые множители за скобку

Левая часть уравнения – есть произведение двух сомножителей, правая – нуль. Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению двух уравнений: линейного и квадратного:

х =2

.

Ответ: .

 .

Выражение, содержащее дробь имеет смысл, если знаменатель дроби отличен от нуля, поэтому 2 х –5  0  , х  0.

Приведем дроби к общему знаменателю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, знаменатель от нуля отличен. Мы уже выяснили условия, при которых знаменатель отличен от нуля, поэтому приравняем к нулю числитель дроби и решим квадратное уравнение.

(2 х ) 2 –2  2  5 х +(5) 2 =0

(2 х –5) 2 =0 

но при знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому это значение переменной решением уравнения не является.

Ответ: решений нет.

 .

Найдем значения переменной, которые обращают в нуль знаменатель дроби, для чего решим уравнение

Разложим многочлен, стоящий слева на множители.

таким образом, имеем уравнение:

Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, поэтому уравнение сводится к решению двух уравнений:

 уравнение корней не имеет

таким образом, знаменатель дроби отличен от нуля при условии u  1.

Переходим к решению первоначального уравнения. Приравняем числитель дроби к нулю и решим квадратное уравнение.

решим приведенное уравнение, используя теорему Виета:

так как при u =1 знаменатель дроби обращается в нуль, решением уравнения будет только u =–2.

Линейные неравенства с одной переменной

Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше, чем периметр квадрата со стороной 4 см?

Решение: Если обозначить неизвестную сторону прямоугольника через х , то периметр прямоугольника будет равен: ( х +6)  2. Периметр же квадрата со стороной 4 см равен

По условию надо найти такие значения х , при которых ( х +6)  2>16.

Решение задачи свелось к решению неравенства, содержащего переменную. К решению неравенств приводят и многие другие задачи.

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения (или доказать, что их нет).

Неравенства называются равносильными , если множества их решений совпадают (неравенства, не имеющие решений также равносильны). При нахождении решений неравенств применяются утверждения, похожие на те, которыми мы пользовались при нахождении решений уравнений:

Решение неравенства не изменяется, если перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть, изменив его знак на противоположный.

Решение неравенства не изменится, если умножить обе части этого неравенства на одно и то же положительное число; при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число надо поменять знак неравенства на противоположный.

Используя это утверждение, решим полученное в задаче неравенство.

Ответ: длина стороны прямоугольника должна быть больше 2.

Рассмотрим примеры решения други х неравенств.

.

Ответ:

Ответ: .

 Найти все значения а , при которых квадратное уравнение: (2 а –1) х 2 +2 х –1=0 имеет два действительных различных корня.

Решение: Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант уравнения больше нуля. Вычислим дискриминант уравнения и потребуем, чтобы он был больше нуля.

решим полученное неравенство

таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня при .

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему , если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением каждого из указанных неравенств. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Например:

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность , если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Неравенства, образующие совокупность, обычно объединяются квадратной скобкой.

Например:

Чтобы найти решение системы неравенств нужно найти общую часть промежутков, которые являются решениями неравенств системы.

Н
анесем полученные решения на числовую ось и выберем пересечение всех трех промежутков.

Общей частью всех трех промежутков является промежуток .

Ответ: .



Решением первого неравенства является вся числовая ось, поэтому

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите все значения а , при которы х квадратное уравнение ( а –1) х 2 –(2 а +3) х + а +5=0 имеет действительные корни.

Решить системы неравенств:

2. 3.

Уравнения в курсе математики средней школы»
методическая разработка по алгебре по теме

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/

Скачать:

Предварительный просмотр:

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

Четина Таисия Филипповна

МОУ «СОШ № 64» города Перми

1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………. 5

1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5

1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….…. 9

1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9

1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9

2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

2.2 Разложение на множители………………………………………14

2.3 Линейные уравнения с двумя переменными…………………. 15

2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17

2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21

2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26

2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27

3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29

3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32

3.3 Показательные уравнения……………………………………….34

3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35

3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38

3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов : слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу : « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

Добавили – 20 слив.

Записываем решение задачи:

Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим и решим уравнение.

Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах  вх)∙с=d, (ах  вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать . Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

Например , дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

При изучении темы «Проценты » обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач :

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4

Девочек – 40% — 20 чел.

Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего : 100% — 220 км.

1 день: ? % — 33 км.

Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

х=15; 15% пройдено в первый день.

Эти задачи решаем и по действиям.

К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.

1.3 После изучения темы «Модуль » мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10

х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ

Ответ:  5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ

Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ

х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ

1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ах  b)(сх  d)=0 , то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?