Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ по математике по теме «Виды уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Линейные уравнения (графиком является прямая)
Квадратные уравнения (графиком является парабола)
Полное квадратное уравнение
Д=в 2 -4ас Д 0 два корня
Неполное квадратное уравнение
ах 2 +вх=0 2. ах 2 +с=0 3. ах 2 =о
х(ах+в)=0 ах 2 =-с х=0
ах+в=0 х=
Биквадратное уравнение: , где х 2 =у отсюда следует ау 2 +ву+с=0
Линейное уравнение с двумя переменными (графиком является прямая)
ах+ву=с (строят график)
ву=с-ах
0*х+0*у=с Если с=0, то решение любые (х;у); если с≠0, то нет решений
Логарифмическое уравнение: (графиком является ветвь параболы) f ( x )= g ( x ) проверить посторонние корни
Показательное уравнение (графиком является ветвь параболы) f ( x )= g ( x ) проверить посторонние корни
Уравнение окружности (графиком является окружность)
(х-а) 2 +(у-в) 2 = R 2 , где А 0 (а;в) – центр окружности
х 2 +у 2 = R 2 , если центр окружности О(0;0)
Уравнение прямой (графиком является прямая) ах+ву+с=0
а=0, в≠0 у=-с/в , график проходит параллельно оси ОХ, а если с=0, то прямая совпадает с осью ОХ
в=0, а≠0 х=-с/а, график проходит параллельно оси ОУ, а если с=0, то прямая совпадает с осью ОУ
с=0, прямая проходит через О(0;0)
Рациональное уравнение: f ( x )= g ( x )
Найти общий знаменатель
Заменить целым уравнением, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель
Решить полученное уравнение
Исключить корни, которые обращают знаменатель в 0
Уравнение с двумя переменными: f ( x ;у)=0
Выразить одну переменную через другую (подставляя произвольные значения одной переменной находишь вторую переменную)
Уравнение с параметром: f(x;а)=0
Пример: при каких значениях а уравнение имеет один или два корня, или уравнение не имеет корней. Решают уравнение через квадратное уравнение, нахождение дискриминанта и является ответом
Уравнение с переменной в знаменателе
Решаем уравнение и проверяем найденные корни для знаменателя
Тригонометрические уравнения: (графиком является синусоида)
Краткое описание документа:
«Описание материала:
В данной технологической карте приведены все виды уравнений, с описанием и уравнениями в общем виде: линейные, квадратные — полные и неполные, логарифмические, тригонометрические, показательные, линейные уравнения с двумя переменными, уравнения окружности, уравнение прямой, рациональные уравнения, дробно — рациональные уравнения, уравнения с двумя переменными, уравнения с параметрами и уравнения с параметром в знаменателе.
Что является графиком каждого уравнения, приведен алгоритм решения всех видов уравнений.
Данная технологическая карта поможет учащимся в решении уравнений, а также для подготовки к выпускным экзаменам, единому государственному экзамену, а так же к единому национальному тестированию
«Выдержка из материала:
Рациональное уравнение: f(x)=g(x) Найти общий знаменатель
Заменить целым уравнением, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель
Решить полученное уравнение
Исключить корни, которые обращают знаменатель в 0
Уравнение с двумя переменными: f(x;у)=0
Выразить одну переменную через другую (подставляя произвольные значения одной переменной находишь вторую переменную)
Уравнение с параметром: f(x;а)=0Пример: при каких значениях а уравнение имеет один или два корня, или уравнение не имеет корней. Решают уравнение через квадратное уравнение, нахождение дискриминанта и является ответом
Уравнение с переменной в знаменателе (p(х))/g(x) =0 Решаем уравнение p(х)=0 и проверяем найденные корни для знаменателя g(x)
Решение уравнений
В этом разделе – все основные способы и приемы решения уравнений на ЕГЭ по математике.
А встретиться вам могут всевозможные уравнения – квадратные, а также уравнения высших степеней. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак корня (иррациональные) или знак модуля. Показательные и логарифмические. И для каждого из этих типов – свои методы и секреты решения.
Десятиклассникам будут особенно полезны темы: «Алгебраические уравнения», «Уравнения с модулем», «Иррациональные уравнения», «Системы алгебраических уравнений».
Запомним главное – что нужно знать при решении уравнений
— Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
— Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
— Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.
— Если в уравнении есть дроби, корни четной степени, логарифмы – значит, не забываем про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.
— Если в уравнении можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Решение уравнения лучше всего оформлять в виде цепочки равносильных переходов.
— Решив уравнение, сделайте проверку. Действительно ли найденные вами ответы являются корнями уравнения?
— Если слева и справа в уравнении находятся функции разных типов – например, квадратичная и показательная, или логарифм и синус, — значит, оно решается или графически, или с использованием свойств этих функций, или методом оценки
Линейные, квадратные, кубические уравнения
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Вынесем х как общий множитель за скобки:
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
При решении последнего уравнения возможны два случая:
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
Извлечем кубический корень из обеих частей
Соберем известные слагаемые в правой части
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x · x + 1 · x — <3·x>/
3. решаем полученное уравнение
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
Воспользуемся основным свойством пропорции
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
http://ege-study.ru/reshenie-uravnenij/
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/kvadratnye_uravneniya