Виды уравнений в 10 классе

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Виды уравнений и методы их решения

В разработке рассматриваются виды алгебраических уравнений и методы их решения.

Просмотр содержимого документа
«Виды уравнений и методы их решения»

Виды уравнений и методы их решения

Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.

В курсе математики основной школы рассматриваются только алгебраические уравнения. Рассмотрим более подробно их виды и алгоритм решения.

Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений как:

целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;

дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;

иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.

Дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.

Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями первой степени, квадратные — второй, а кубические, соответственно, третьей.

Рассмотрим особенности решения алгебраических уравнений

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Остановимся на основных понятиях.

Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв. Для записи тождества наряду со знаком (равно) также используется знак (равносильности).

Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:a, b, c. – или теми же буквами, снабженными индексами:, . или , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: или теми же буквами, снабженными индексами, например ….

В общем виде уравнение может быть записано так:

F ()=0.

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество (верное равенство), называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют эквивалентными.

Рассмотрим некоторые эквивалентные уравнения:

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

Уравнение =0 эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

эквивалентно двум уравнениям и.

Уравнение эквивалентно уравнению .

Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида , где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида:

,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена называются , ……коэффициентами (или параметрами), называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного , обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (решениями) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка (и) пересечения двух графиков даст решение (я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Рассмотрим методы решения уравнений.

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число -b, получаем уравнение

, (2) эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

Алгебраическое уравнение второй степени (3),

где a, b, с– некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением.

Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

Заметим, что , поэтому

но , из формулы (7) поэтому окончательно

Если положить, что + , то

Заметим, что , поэтому

но , поэтому окончательно

Уравнения n-й степени вида

называется двучленным уравнением. При и заменой (2))

где — арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):

Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле

Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).

Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

Уравнение имеет два действительных корня .

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

оказались «крепким орешком». В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и — корни уравнения

Выпишем эти корни:

Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

Эта формула известная как формула Кардано.

подстановкой приводится к «неполному» виду

Корни , , «неполного» кубичного уравнения (14) равны

Пусть «неполное» кубичное уравнение (14) действительно.

а) Если («неприводимый» случай), то и

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и — корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

Если , (3)), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

а само уравнение сводится к двум квадратным:

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

или, после упрощения,

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

подстановкой приводится к «неполному» виду

Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

причем , и — корни кубичного уравнения

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени ( ) можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и — взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для уравнения

старший коэффициент которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если — корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где — многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление «уголком»:

Урок математики по теме: «Виды уравнений. Методы решения уравнений» для 10 класса или 2 курса НПО

ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59

Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново

Виды уравнений. Методы решения уравнений.

Убоженко Марина Николаевна

2 курс профессия: «Мастер по обработке цифровой информации», соответствует программе 11 класса

Тема: Виды уравнений. Методы решения уравнений.

Цели: повторить различные виды уравнений; повторить методы решения уравнений; закрепить навыки решения уравнений различными методами; развивать навыки самостоятельной деятельности как при фронтальной работе, так и индивидуальной.

Тип урока: изучение нового материала

Обеспечение урока: плакаты; памятка по методам решения уравнения; опорный конспект; карточки – задания.

Формы работы : фронтальный опрос, работа в группах, взаимопроверка.

I Организационный момент. (проверка готовности к уроку; приветствие)

Тема «Уравнения» — одна из важнейших тем курса алгебры. Тема для вас как таковая не новая. В школе и уже на 1 курсе вы изучили большую часть видов уравнений, а также методы их решения. На сегодняшнем уроке нам ещё раз необходимо повторить эти виды и закрепить навыки решения уравнений различными методами. А на последующих уроках мы познакомимся с новыми для вас видами уравнений. Давайте приступим к работе.

II Актуализация знаний.

Что называется уравнением?

Что называется решением уравнения?

Что называется ОДЗ переменной уравнения?

Устная работа (на доске задание)

Укажите ОДЗ уравнения:

III Изучение нового материала.

Как я уже сказала на сегодняшнем уроке нам необходимо вспомнить все известные вам виды уравнений.

Какие вы помните виды уравнений? (ответы учащихся)

Теперь давайте классифицируем все виды.

Также к алгебраическим ещё относятся: уравнения с модулем; уравнения высших порядков (н-р, биквадратные). С алгебраическими уравнениями и некоторыми трансцендентными вы уже знакомы.

Давайте вспомним общий вид некоторых уравнений:

Линейное уравнение ax = b , где a , b – некоторые числа, х – переменная

Давайте теперь вспомним методы решения уравнений: (плакат приложение)

IV Закрепление. (работа в группах)

Каждой группе раздаются карточки, где даются различные виды уравнений, их необходимо соотнести с методами решений уравнений. Затем 1 группа решает любое уравнение методом разложения на множители; 2 группа – методом введения новой переменной; 3 группа – графическим методом.

Один человек от группы защищает одно уравнение по своему методу возле доски.

Краткий экскурс в тему (тест с самопроверкой)

Тест «верно — неверно».

Определите, верны ли высказывания?

Корни уравнения х 2 – 4 = 0 являются противоположными числами? (да)

Уравнение х 2 – 10х + 25 = 0 имеет один корень? (нет)

Решением уравнения называют, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в неверное равенство? (нет)

Уравнение 4х 2 + 25 = 0 имеет два корня? (да)

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет? (да)

В заключении урока попрошу выразить ваше настроение смайликом.

Учебник «Математика », г. Москва, «Академия», 2012, автор: Башмаков М. И.

Поурочные методические рекомендации 10 класс, г. Москва, «Просвещение», 2011, автор – Сафонова Н.В.

Задание: Соотнести данные виды уравнений с методами решений уравнений. Решить одно из уравнений методом разложения на множители.

Метод разложения на множители.

Метод введения новой переменной

Метод деления на многочлен

Задание: Соотнести данные виды уравнений с методами решений уравнений. Решить одно из уравнений методом введения новой переменной.

Метод разложения на множители.

Метод введения новой переменной

Метод деления на многочлен

Задание: Соотнести данные виды уравнений с методами решений уравнений. Решить одно из уравнений графическим методом.

Метод разложения на множители.

Метод введения новой переменной

Метод деления на многочлен

План урока математики в 23 группе («Мастер по обработке цифровой информации») в рамках методической недели МК преподавателей ООД Профессионального лицея № 59.

Тема: Виды уравнений. Методы решения уравнений.

Цели: 1) Изучить различные виды уравнений, методы решения уравнений;

2) Формировать навыки решения уравнений различными методами;

3) Развивать навыки самостоятельной деятельности как при фронтальной работе, так и индивидуальной.

Тип урока: изучение нового материала.

Обеспечение урока: плакаты, памятка по методам решения уравнений, опорный конспект, карточки-задания.

Формы работы: фронтальный опрос, работа в группах, взаимопроверка.

I Организационный момент: проверка готовности к уроку, приветствие.

II Актуализация знаний : 1) фронтальный опрос по основным терминам данной темы (Что называется уравнением? Что называется решением уравнения? Что называется ОДЗ переменной уравнения?)

2) устная работа (укажите ОДЗ уравнения)

III Основная часть – изучение нового материала.

Рассматриваем классификацию уравнений (плакат)

Вспоминаем общий вид некоторых уравнений

Рассматриваем основные методы решения уравнений (плакат)

IV Закрепление: работа в группах.

Необходимо соотнести различные виды уравнений с методами их решений.

Один человек от группы защищает одно уравнение по своему методу возле доски.

V Подведение итогов урока: оценки за урок, краткий экскурс в тему (тест с самопроверкой); как изучили (настроение выразить смайликом).

Определение. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные (переменные).

Определение . Решением уравнения называют, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.

Определение. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Определение. Областью допустимых значений переменной уравнения f ( x ) = g ( x ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f ( x ) и g ( x ).

Теоремы о равносильности уравнений.

Теорема 1. Два уравнения порознь равносильные третьему равносильны между собой.

Теорема 2. Если обе части уравнения или одну тождественно преобразовать, то получим уравнение равносильное исходному.

Теорема 3. Если к обеим частям уравнения прибавить (отнять) одно и тоже математическое выражение, то получим новое уравнение равносильное данному.

Теорема 4. Если обе части исходного уравнения умножить (разделить) на одно и тоже математическое выражение отличное от 0 при всех допустимых значениях неизвестного, то получим уравнение равносильное исходному.

Теорема 5. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень или извлечь корень одной и той же нечетной степени, то получим уравнение равносильное исходному.

Теорема 6. Если обе части уравнения имеют один и тот же знак в области допустимых значений, то при возведении обеих частей в четную степень получим уравнение равносильное данному.