Виды уравнений в высшей математике

Высшая математика

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «высшая математика»

Лекции подготовлены для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета « высшая математика ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры задач с подробным решением.

Высшая математика — курс обучения в средних и высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ. Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики. Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам. wikipedia.org/wiki/Высшая_математика

Введение в высшую математику

Онлайн учебник содержит разделы курса «Высшая математика»: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, элементы высшей алгебры, соответствующие программе для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Высшая математика».

1. В линейной алгебре изучаются внешне различные объекты: системы линейных уравнений, матрицы, арифметические пространства и линейные операторы в этих пространствах, квадратичные формы. Несмотря на внешнее различие, эти объекты тесно связаны между собой. Целью изучения данной темы и является формирование представлений об этих важных и имеющих многочисленные приложения объектах и их взаимосвязях.
2. В векторной алгебре изучаются геометрические векторы, линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, линейная зависимость и независимость системы векторов, взаимное расположение векторов, понятия базиса и декартовой системы координат.
3. Аналитическая геометрия занимается изучением линий на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве с использованием понятий вектора и координат. Рассматриваются различные формы уравнений прямой и плоскости, канонические уравнения кривых второго порядка и взаимное расположение прямых и плоскостей.
4. В дифференциальном исчислении функции одной переменной изучаются понятия производной и дифференциала и их применения при исследовании функций.
5. В интегральном исчислении функции одной переменной изучаются понятия первообразной, неопределенного и определенного интеграла, с геометрическими и механическими приложениями определенного интеграла.
6. В теории рядов изучаются понятия решения любых корректно поставленных задач с достаточной для практического использования точностью.
7. В численных (вычислительных) методах изучаются методы и понятия решения математических задач в численном виде.

Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра — наиболее важная в приложениях часть алгебры. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений. Развитие последней привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. В нашем курсе мы будем рассматривать два ключевых аспекта линейной алгебры: теорию матриц и определителей.

Идея введения определителей восходит к известному немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716), чей математический гений безграничен и чье имя еще не раз будет упомянуто нами. Лейбниц пришел к определителям при решении систем линейных уравнений в 1678 году. Впервые он сообщил о своем новом методе решения систем в 1693 году в письме к Гийому Лопиталю. В одном из следующих писем Лейбниц писал: «На мой взгляд, это одно из лучших открытий в анализе». К сожалению, Лейбницем в 1700 году был опубликован лишь метод обозначения коэффициентов без каких-либо практических приложений и выводов, поэтому открытие определителей прошло практически незамеченным.

В 1750 году определители были вновь изобретены женевским математиком Крамером, при этом Крамер употребил очень простые и понятные названия — «строки» и «столбцы» определителя, которые сразу же вошли в обиход. Метод Крамера был замечен и очень скоро стал основной частью школьной программы.

Первое исследование, посвященное определителям, было опубликовано французским математиком Вандермондом в 1772 году. Он впервые изложил цельную теорию, ему принадлежат многие классические результаты (например, условие равенства определителя нулю).

Первые полные изложения теории принадлежат Бине и французскому математику Огюстену Коши (1789-1857). Именно Коши ввел в употребление термин «детерминант» (от лат. — «ограничивать», «определять») или «определитель». Бине и Коши одновременно занялись теорией определителей, и, естественно, получили некоторые общие результаты. Во избежание споров о приоритете, они договорились сделать доклады в Академии Наук на одном заседании и опубликовать свои статьи одновременно (1812 год). Коши посвятил теории определителей еще 14 мемуаров. Именно он совсем близко подошел к современному обозначению элементов определителя, употребляя запись . Считают, что именно Коши превратил теорию определителей в самостоятельную дисциплину, оторвав ее от линейных уравнений.

Следующий этап в тридцатых-сороковых годах XIX века составили 30 работ Якоби, среди которых завершающая статья «О построении и свойствах определителей». Якоби ввел в рассмотрение функциональные определители и сделал их методом исследования в математическом анализе. Ему и Коши принадлежит термин «определитель -ro порядка». Но на этом математики не остановились: они стали рассматривать бесконечные определители (Котерич в 1770 г., Жюль Пуанкаре (1854-1912) и Кох в 1885).

Ко второй половине XIX века, казалось, не осталось такого раздела математики, куда бы не проникли определители. Но задача, породившая их: в каких случаях система линейных уравнений имеет решения, и если имеет, то сколько их? — еще не была решена. Такое исследование было проведено немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823-1891) и изложено им на лекциях в 1864 году. Что касается методов вычисления определителей, то один из них — метод треугольников — придумал страсбургский профессор Саррюс. Другой основан на свойстве определителя, подмеченном Якоби в 1841 году.

Матрицы возникли в середине XIX века одновременно в исследованиях нескольких ученых. Английский математик Артур Кэли (1821-1895) открыл, что систему чисел можно рассматривать как единый математический объект, над которым могут производиться алгебраические действия. Идеи матричного исчисления развивали с 1843 года Кэли, Сильвестр, Лагерр (именно в его статье «Об исчислении линейных систем» матрицы трактуются почти в современной форме), Фробениус (пришел к теории квадратных матриц). Все эти исследования в конце XIX века слились в единую теорию матриц, к изучению которой мы и приступаем.

Понятие матрицы. Операции над матрицами

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Лекции:

Определители. Свойства определителей

Определитель — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Лекции:

Обратная матрица. Ранг матрицы

Обратная матрица — это такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Лекции:

Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

Лекции:

Элементы аналитической геометрии

Геометрия — одна из наиболее древних и ранее других систематизированная ветвь математики. Еще древнегреческие математики изучали различные кривые и подразделяли их на «плоские» (прямая, окружность), «телесные» (определяемые сечением тел — эллипс, парабола, гипербола) и линейные (кривые, определяемые кинематически). Но единых методов решения геометрических задач, связанных с данными кривыми, не существовало. Найти такие методы с целью применения их к изучению важных для практики линий различной формы и была призвана аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия позволила применять к решению задач не только геометрические модели, тесно связанные с графическим изображением, но и модели аналитические, позволяющие задать любую линию или поверхность с помощью уравнения.

Главным в становлении аналитической геометрии послужило создание координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления, построения же имеют вспомогательное значение. Создание координатного метода было подготовлено трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония (3-2 в. до н.э.), заложившего основы теории плоских сечений конуса. Он исследовал их методами алгебры, поэтому может считаться одним из предвестников аналитической геометрии.

Систематическое развитие координатный метод получил в первой половине XVII века в работах французских математиков Пьера Ферма (1601-1665) и Рене Декарта (1596-1650). В 1636 году Ферма написал статью «Введение в изучение плоских и телесных мест». Он выбирал косоугольную систему координат и в ней показывал, что кривая, задающаяся квадратным уравнением, есть коническое сечение — эллипс, парабола или гипербола. Но это произведение долго оставалось в рукописи и не нашло широкого распространения.

Опубликование в 1637 году «Геометрии» Декарта считается датой рождения аналитической геометрии благодаря использованию координатного метода. В «Геометрии» содержалось много нововведений. Именно Декарт стал обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (, , ), а коэффициенты — первыми (). Он также ввел привычную нам запись степеней: . Но Декарт и Ферма рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был впервые применен Леонардом Эйлером (1707-1783).

Что же касается понятия «вектора», то для математики оно относительно новое. К середине XIX века оно возникает одновременно в трудах нескольких ученых. Первое векторное исчисление на плоскости развил итальянский ученый Беллавитис (1835), в этом исчислении объектами служили отрезки. В это же время получили известность работы Аргана и Весселя о геометрической интерпретации комплексных чисел. Именно Арган обозначил направленный отрезок черточкой над буквой и ввел понятие «модуля» (от лат. — мера).

Сам термин «вектор» (от лат. — несущий) впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805-1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. В созданных Гамильтоном кватернионах необходимо было различать скалярную и векторную часть. Поэтому Гамильтону пришлось ввести такие термины, как «скаляр» (от лат. — шкала, лестница), «скалярное произведение». Общепринятые ныне векторы также ввел Гамильтон в 1853 году. Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вел немецкий математик Герман Грассман (1809-1877). Грассман ввел единичные векторы () и представление вектора в виде: .

Англичанин Уильям Клиффорд (1845-1879) сумел объединить эти два подхода в рамках общей теории. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Итак, аналитическая геометрия — раздел математики, в котором изучение геометрических объектов (векторов, прямых, плоскостей, кривых, поверхностей) проводится при помощи их аналитических моделей.

Векторы. Операции над векторами. Координаты вектора

Вектор — это направленный отрезок с начальной и конечной точкой. Его можно перемещать параллельно самому себе.

Лекции:

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости — это одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

Лекции:

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Лекции:

Основы математического анализа

Математическим анализом называют систему дисциплин, объединенных следующими характерными чертами. Предметом их изучения являются количественные соотношения окружающего мира (в отличие от геометрических дисциплин, занимающихся его пространственными свойствами). Эти соотношения выражаются при помощи чисел, как и в алгебре. Но в алгебре рассматриваются преимущественно постоянные величины (преобразование выражений, уравнения — они характеризуют состояние), а в математическом анализе — переменные величины, характеризующие процессы. В основе изучения зависимости между переменными величинами лежит понятие функции.

Зачатки методов математического анализа можно встретить еще у древнегреческих математиков. Так, Архимед (287-212 гг. до н.э.) при вычислении площадей некоторых фигур и при определении объема шара по существу использовал интегральное исчисление, хотя, естественно, не знал его общих методов. Систематическое развитие эти методы получили в XVII веке. Одним из основателей математического анализа стал английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727). Исследования в области механики привели его к проблемам дифференциального и интегрального исчисления. Одновременно с Ньютоном проблемами анализа занимался и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Оба этих великих ученых не только завершили создание дифференциального и интегрального исчисления (получившего название анализа бесконечно малых величин), но и заложили основы учения о рядах и дифференциальных уравнениях.

Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия во многом были предопределены великим открытиям Ньютона и Лейбница. В XVIII веке большой вклад в развитие математического анализа внес швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783), свыше 30 лет проработавший в России. Систематизацией уже имеющихся результатов, а также дальнейшим развитием теории занимались многие французские математики: Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1818), Пьер Лаплас(1749-1827), А.Лежандр (1752-1833), Ж.Фурье (1768-1830). К концу XVIII века был накоплен огромный фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом отношении. Многие понятия ученые воспринимали интуитивно.

Очевидные противоречия привели к критическому пересмотру в XIX веке существующих методов и четкому логическому построению математического анализа. Только в XIX веке были даны строгие определения функции, непрерывности, были уточнены понятия предельного перехода и основанные на нем понятия производной и интеграла. Современное понятие функции сформировалось в первой половине XIX века благодаря исследованиям таких выдающихся математиков, как Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Петер Дирихле (1805-1859) и др. Производная была определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента (французский математик Огюстен Коши (1780-1856)), интеграл — как предельное значение интегральных сумм (немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866)). До сих пор математическое образование основывается на этих подходах, хотя в XX веке они получили значительное развитие. Тогда же вошли в употребление термины математика «элементарная» (математика, предшествовавшая рождению математического анализа) и «высшая» (начинается с понятий производной, предела и интеграла).

Одним из важнейших завоеваний математического анализа в XIX веке стало рождение теории аналитических функций и функций комплексного переменного. Следует упомянуть немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855), ставшего основателем теории функций комплексного переменного и определившего понятие предела, русских математиков Пафнутия Львовича Чебышева (1821-1866), создателя конструктивной теории функций, Софью Васильевну Ковалевскую (1850-1891), немецкого математика Давида Гильберта (1862-1943). Важнейшие труды, касающиеся стройного логического построения математического анализа, принадлежат немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815-1897), Юлиусу Дедекинду (1831-1916) и Георгу Кантору (1845-1918).

В XX веке, уже на новом уровне, происходит все большее слияние геометрии и математического анализа. Областью приложения анализа становятся кривые и поверхности, расположенные в многомерных пространствах с дополнительной алгебраической структурой. Исследования в области математического анализа продолжаются и в наши дни.

Теория пределов

Понятие предела — одно из основных понятий математического анализа, на котором базируются многие важные определения, в частности, определение производной. Истоки понятия предела следует искать в Древней Греции. Некоторым подобием предельного перехода был метод исчерпывания, изобретенный Евдоксом (ок. 408-355 до н.э.). В работах Архимеда (ок. 287-212 до н.э.) и Евклида (конец IV-III век до н.э.) этот метод дал поразительные результаты. В новое время идеи предела появляются у немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), итальянского математика Бонавентура Кавальери (1598-1647), английского математика Джона Валлиса (1616-1703).

Слово «лимит» (предел) произошло от латинского — «межа», «граница». Этим словом впервые воспользовался Исаак Ньютон. Однако исторически сложилось так, что точное определение такого ключевого понятия, как предел, и такого важного понятия, как непрерывность, вплоть до конца XVIII века отсутствовали. Соответственно, и многие математические рассуждения содержали пробелы, а иногда были даже ошибочны. Характерный пример — определение непрерывности. Эйлер, Лагранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX века) называли непрерывной функцию, заданную на области определения одним аналитическим выражением.

Тем самым бурно развивающаяся «новая» математика XVII-XVIII века не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых еще со времен древних греков. Интуиция, столь необходимая математикам, существенно опередила логику. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логические основы.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы XIX века французским математиком Огюстеном Коши (1789-1857), предложившим точное определение пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа, в частности теоремы о пределах. Несколько раньше (в 1821 году) определение предела, непрерывности и ряд других замечательных результатов получил чешский математик Бернард Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее. После лекций известного немецкого профессора Карла Вейерштрасса (1815-1897), которому принадлежит современное обозначение предела, определение предела по-Коши (на языке ) прочно вошло в обиход и используется нами по сей день.

Числовые последовательности

Числовая последовательность — это последовательность чисел. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Лекции:

Предел функции

Предел функции — это такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Лекции:

Непрерывность функции

Непрерывная функция — это функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Лекции:

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Дифференциальное исчисление — один из важнейших разделов математического анализа, в котором изучаются производные и их приложения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление было создано сравнительно недавно, в конце XVII века. К этому понятию одновременно в 70-х-80-х годах XVII века независимо друг от друга подошли два величайших человека своего времени: английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия были во многом определены великим открытием Ньютона и Лейбница.

Ньютон исходил из необходимости описывать движение тел и развитие различных процессов. Он мыслил как физик — кинематически. Для него суть дифференцирования -нахождение скорости тела в любой момент времени по известному пути. Свое открытие он сделал в 1665-1666 годах, когда Англию постигла эпидемия чумы, и Ньютон вынужден был находиться в своем поместье Вулсторп. Впоследствии он написал работу «Метод флюксий и бесконечных рядов», где метод флюксий — не что иное, как дифференцирование. Но эта работа была опубликована лишь в 1736 году. Сочинения Ньютона по математике увидели свет лишь в XVIII веке, однако кое-что было известно его коллегам из писем. Так, некоторые свои результаты в математическом анализе Ньютон сообщил Лейбницу в 1676 году, когда тот уже сам пришел к открытию дифференциального исчисления.

Подход Лейбница был геометрическим. На него большое впечатление произвели работы Паскаля, в особенности задачи о проведении касательной. В 1765 году им были сделаны первые шаги по созданию нового исчисления: в рукописях Лейбница появляются основные понятия, вводятся операции и символы. Именно Лейбниц ввел термин «дифференциальное исчисление», который с удивительной точностью описывает суть теории. по латыни — «разделение», «раздробление». Процесс дифференцирования состоит в замене функции на маленьком участке ее дифференциалом, т.е. кусочком ее касательной. Участку, на котором производится замена, Лейбниц дал название «бесконечно малый». Свои результаты Лейбниц опубликовал лишь в 1684 году в короткой статье из шести страниц «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». С этого момента начинается официальная история математического анализа.

Следует отметить, что в предыдущие полвека Блез Паскаль (1623-1662), Пьер Ферма (1601-1665) и другие ученые фактически дали правила разыскания производных многих функций. Ферма предложил правила нахождения экстремумов. Ньютон и Лейбниц завершили это развитие, они разработали аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов, применили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики.

Исследования Лейбница в значительной степени определили развитие методов анализа в Европе. Среди его последователей — братья Иоганн (1667-1748) и Якоб (1654— 1705) Бернулли, Пьер Вариньон и Гийом де Лопиталь (1661-1704). Именно Лопиталь в 1696 году стал автором первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

Производная функции, нахождение производных различных функций

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Лекции:

Геометрический смысл производной. Дифференциал функции

Геометрический смысл производной — это когда численно производная функция в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох.

Лекции:

Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя

Производные высших порядков — это если функция y=f(x)y=f(x) имеет производную в каждой точке xx своей области определения, то ее производнаяf′(x)f′(x) есть функция от xx. Функция y=f′(x)y=f′(x), в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции y=f(x)y=f(x) (или второй производной) и обозначают символом f′′(x)f′′(x).

Дифференциалы высших порядков — это если функция y=f(x) зависит от переменной x и дифференцируема в точке x. Может оказаться, что в точке xдифференциал dy=f′(x)dx, рассматриваемый как функция от x, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала d(dy) данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции y=f(x).

Лекции:

Возрастание и убывание, экстремумы функций

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Экстремум функции — это называются значения функции в точках максимума и минимума.

Лекции:

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Выпуклая функция — это функция, для которой любой отрезок между двумя любыми точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика. Эквивалентно, выпуклой является функция, на график которой является выпуклым множеством.

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Лекции:

Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Лекции:

Общая схема исследования функции и построения графика

В данной лекции мы подведем итог всему ранее изученному материалу. Конечная цель нашего долгого пути — уметь исследовать любую аналитически заданную функцию и строить ее график. Важными звеньями нашего исследования будут исследование функции на экстремумы, определение интервалов монотонности, выпуклости и вогнутости графика, поиск точек перегиба, асимптот графика функции.

Лекция:

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Интегральное исчисление — один из важнейших разделов математического анализа, тесно связанный с дифференциальным исчислением. Интегральное исчисление возникло из потребностей создать общий метод нахождения площадей фигур и объемов тел.

Истоки интегрального исчисления следует искать в Древней Греции. Евдокс Книдский (ок. 408-355 до н.э.) создал метод исчерпывания, которым пользовался при вычислении площадей криволинейных фигур. Этот метод был усовершенствован Архимедом (ок. 287-212 до н.э.) и позволил ему найти объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Архимед предвосхитил многое идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исследования.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) правильно вычислил ряд площадей (криволинейную трапецию он представлял составленной из бесконечного числа вертикальных отрезков длиной ) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования продолжили итальянские математики Бонавентура Кавальери (1598-1647) и Эванджелиста Торричелли (1608-1647). Французский математик Пьер Ферма (1601-1665) уже в 1629 году умел находить площадь под кривой , т.е. по существу вывел формулу . Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования.

Первым человеком, сумевшим обнаружить связь между вычислением площади под кривой и задачей о проведении касательной, был учитель Ньютона, английский математик Исаак Барроу (1630-1677). Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII века, исчисления еще не было. Нужно было выделить общие идеи, лежащие в основе многих частных задач, установить связь интегрирования и дифференцирования. Это сделали Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, открывшие независимо друг от друга формулу, известную нам как формула Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно сформировался общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Термин «интегральное исчисление» возник в результате переписки Лейбница и И.Бернулли. Вероятно, оно происходит от лат. — «восстановление». Действительно, при интегрировании мы «восстанавливаем» функцию по известной производной. Существует и другая точка зрения. по-латыни — «целый», интегрирование — процесс объединения в целое малых элементов, из которых составлена фигура (при нахождении площади, объема).

Методы математического анализа активно развивались в XVIII веке. В первую очередь следует назвать Леонарда Эйлера (1707-1783), завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций. Большое значение имели результаты русских ученых Пафнутия Львовича Чебышева (1828-1894), доказавшего, что существуют интегралы, невыразимые через элементарные функции, а также Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862) и В.Я.Буняковского (1804-1889).

Строгое изложение теории интегралов появилось только в XIX веке. Решение этой задачи связано с именем Огюстена Коши (1789-1857). Теорию интегралов Коши обобщил крупнейший немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены создателями теории меры (обобщение понятие площади и объема) Камилем Жорданом (1838-1922) и Анри Лебегом (1875-1941).

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Лекции:

Основные методы интегрирования неопределённых интегралов

Непосредственное интегрирование — это метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Интегралы от некоторых сложных функций — это интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Метод интегрирования подстановкой — это метод заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Метод интегрирования по частям — это нахождение данного интеграла с помощью формулы интегрирования к нахождению другого интеграла. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.

Лекции:

Интегрирование рациональных и иррациональных функций. Универсальная подстановка

Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение. , то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Иррациональная функция — это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Лекции:

Определенный интеграл

Определённый интеграл — это одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм).

Лекции:

Методы вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона – Лейбница
2. Замена переменной в определенном интеграле
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Лекции:

Приложения определенного интеграла в геометрии

Основными геометрическими приложениями определенного интеграла являются: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат и вычисление длины дуги плоской кривой.

Лекции:

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл — это определённый интеграл, если при решении выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком [a,+ ∞ ). Функция f(x) является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Лекции:

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Функции нескольких действительных переменных. Предел и непрерывность

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.

Лекции:

Частные производные. Дифференциал функции нескольких действительных переменных

Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю. В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Дифференциалом функции — это сумму произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных.

Лекции:

Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно запомнить, что величина dx не зависит от x , то есть относительно переменной дифференцирования является константой, поэтому при дифференцировании по x величину dx следует рассматривать как постоянный множитель.

Лекции:

Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных

Интегральное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений.

Двойные интегралы и их свойства

Двойные интегралы — это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y).

Лекции:

Сведение двойных интегралов к повторным в случае областей i и ii типа

Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам.

Лекции:

Приложение двойного интеграла к вычислению объемов геометрических тел

• Геометрический смысл двойного интеграла
• Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла

Лекции:

Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

• Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции.
• Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Лекции:

Теория рядов

Ряд — это называемый также бесконечная сумма, одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел.

Определение числового ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Лекции:

Признаки сравнения, Даламбера, Коши и интегральных положительных рядов

Признак д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Признак Коши — признак сходимости числового ряда.

Лекции:

Рассмотренные достаточные признаки позволяют исследовать на сходимость фактически любой положительный числовой ряд. Только практика поможет приобрести необходимые навыки исследования и довести их до совершенства.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Знакочередующийся ряд — это математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков.

Признак Лейбница — это признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем.

Абсолютная и условная сходимость — это ряд с действительными или комплексными членами ∞∑n=1an, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∞∑n=1|an|,

Лекции:

Функциональные и степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

Функциональный ряд — это ряд, члены которого являются функциями одной или нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.

Степенной ряд — это функциональный ряд вида:

в котором коэффициенты a_n берутся из некоторого кольца R.

Лекции:

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд

Ряд Тейлора — это разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Маклорена — это степенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.

Лекции:

Ряды Фурье

Ряд Фурье — это представление функции f с периодом τ в виде ряда:

Лекции:

Дифференциальные уравнения

Различные проблемы, занимавшие математиков в конце XVII и начале XVIII столетий, привели к необходимости введения такого понятия как дифференциальные уравнения. Поскольку в дифференциальных уравнениях присутствуют производные или дифференциалы функций, то первые дифференциальные уравнения появились в работах создателей интегрального и дифференциального исчисления Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Именно Ньютон в 1687 году в своих «Началах» решил дифференциальное уравнение первого порядка.

Проблемой решения дифференциальных уравнений были заняты многие математики того времени. Особо следует отметить Иоганна (1667-1748) и Якоба (1654-1705) Бернулли, предложивших решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородных и линейных. Но все применявшиеся ими методы по большинству были разрозненными, единой стройной теории дифференциальных уравнений не существовало.

Методическая разработка теории дифференциальных уравнений была начата известным математиком Леонардом Эйлером (1707-1783). Вместе с ним большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли французские математики Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1813), Пьер Лаплас (1749-1827), немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Самое главное заключается в том, что решение подобных уравнений было необходимо для практических нужд, поскольку именно присутствующая в дифференциальных уравнениях производная описывает скорость изменения различных процессов. Некоторые виды дифференциальных уравнений появились при решении задач о колеблющихся струне и колеблющейся мембране. Даламбер сформулировал правила составления дифференциальных уравнений при движении материальных систем. Дифференциальные уравнения стали основой работ Леонарда Эйлера «Физическое исследование причины морских приливов и отливов», «Исследования по вопросу о неравенствах в движении Сатурна и Юпитера», «Исследование возмущений, которые испытывает движение планет от их взаимодействия».

Нельзя не сказать о вкладе французского математика Огюстена Коши (1789-1857) в теорию дифференциальных уравнений. Он впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

Известными авторами фундаментальных трудов по дифференциальным уравнениям являются французкий математик Жак Адамар (1865-1963), российские математики Владимир Игоревич Арнольд (род. 1937 г.), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).

Кстати тут дополнительная теория из учебников по высшей математике

Дифференциальные уравнения, основные понятия

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Лекции:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка — это дифференциальное уравнение вида:

называют обыкновенным дифференциальным уравнением. Оно содержит известную функцию F, независимую переменную x, её функцию y и производные (или дифференциалы) функции y(x).

Лекции:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнения первого порядка — это дифференциальное уравнение, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Лекции:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка — это уравнение вида F (x; y ; y’ ; y») =0

Лекции:

Основы теории комплексных чисел

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения. В середине XVI века итальянские математики Никколо Тарталья (1499-1557) и Джероламо Кардано (1501-1576) представили миру способ решения уравнения третьей степени. Но один из возможных случаев так и остался для них загадкой. Оказалось, что при выполнении вспомогательных действий рассматриваемая система нс имела решений, а исходное уравнение имело действительный корень. На это загадочное явление впервые пролил свет другой итальянский математик Рафаэле Бомбелли (1526-1572).

Бомбелли первым ввел в алгебру мнимые величины. Квадратный корень из отрицательного числа, как заметил Бомбелли, нс может быть ни положительным, ни отрицательным числом. Он предложил назвать эти новые «софистические» числа «плюсом из минуса» , когда их нужно складывать, и «минусом из минуса » . когда их нужно вычитать. И тогда у любого кубического уравнения прекрасно отыскивались корни! С этого момента комплексные числа уже нельзя было игнорировать. Бомбелли в своей «Алгебре» (1560, издана 1572) дал первое формальное обоснование действию над комплексными числами. Определение мнимой единицы, данное Бомбелли, за прошедшие 400 лет по свой сути нс изменилось, а арифметические действия с ней производятся именно так, как это делала Бомбелли в XVI веке.

Мнимые числа, введенные Бомбелли, более двух столетий воспринимались лишь как удобные символы. Математики применяли их только в промежуточных выкладках, но для результата использовали лишь «настоящие» — действительные числа. Лейбниц в 1702 году писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием». Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине XVIII века русский математик Леонард Эйлер (1707-1783) — один из величайших математиков всех времен и народов. Именно он предложил современное обозначение мнимой единицы — .

Комплексные числа не были в достаточной мере востребованы математиками еще и потому, что очень трудно было их представить. Наглядно представить мнимые числа попытался еще в XVII веке английский ученый Джон Валлис (1616-1703), но эти попытки были нс слишком удачные. В 1799 году датский математик — землемер Каспар Вессель (1745-1818) предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной, поскольку Вессель не имел контактов с научными кругами своего времени. Лишь через три десятка лет немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выпустил в свет свой труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление комплексных чисел, как и Вессель. Именно после опубликования этой работы в 1831 году геометрическое изображение комплексных чисел получило широкую известность и признание. Идея Веселя и Гаусса настолько прозрачна, что остается только удивляться, почему никто из ученых не додумался до нее раньше.

Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа — это запись комплексного числа z в виде z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^<2>=-1 . Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = z. Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = z .

Геометрическая интерпретация комплексных чисел — это kюбое комплексное число которое можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей: действительная ось (соответствует оси абсцисс); мнимая ось (соответствует оси ординат).

Лекции:

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа — это запись z = r (cos φ + i sin φ) где r=√(x²+y²) — модуль комплексного числа z.

Показательная форма комплексного числа — это выражение z=re ^ i φ где r=|z|=√(x²+y²) — модуль комплексного числа, e^i φ — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Лекции:

Переход между различными формами комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения задач, поэтому вы можете перевести комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от поставленной задачи.

Лекции:

Численные методы

Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, матриц, числовых таблиц. Их значение возрастает параллельно с развитием вычислительной техники.

Приближенные величины. Действия с приближенными числами

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

• Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.
• Приближенные– которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решения уравнений находится приближённо в следующей последовательности:

• отделение (локализация) корня;
• приближённое вычисление корня до заданной точности.

Лекции:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).

Лекции:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера

Метод Эйлера — это простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Лекции:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Виды уравнений и методы их решения

В разработке рассматриваются виды алгебраических уравнений и методы их решения.

Просмотр содержимого документа
«Виды уравнений и методы их решения»

Виды уравнений и методы их решения

Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.

В курсе математики основной школы рассматриваются только алгебраические уравнения. Рассмотрим более подробно их виды и алгоритм решения.

Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений как:

целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;

дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;

иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.

Дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.

Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями первой степени, квадратные — второй, а кубические, соответственно, третьей.

Рассмотрим особенности решения алгебраических уравнений

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Остановимся на основных понятиях.

Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв. Для записи тождества наряду со знаком (равно) также используется знак (равносильности).

Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:a, b, c. – или теми же буквами, снабженными индексами:, . или , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: или теми же буквами, снабженными индексами, например ….

В общем виде уравнение может быть записано так:

F ()=0.

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество (верное равенство), называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют эквивалентными.

Рассмотрим некоторые эквивалентные уравнения:

Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

Уравнение =0 эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

эквивалентно двум уравнениям и.

Уравнение эквивалентно уравнению .

Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида , где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида:

,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена называются , ……коэффициентами (или параметрами), называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного , обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (решениями) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка (и) пересечения двух графиков даст решение (я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Рассмотрим методы решения уравнений.

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число -b, получаем уравнение

, (2) эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

Алгебраическое уравнение второй степени (3),

где a, b, с– некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением.

Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

Заметим, что , поэтому

но , из формулы (7) поэтому окончательно

Если положить, что + , то

Заметим, что , поэтому

но , поэтому окончательно

Уравнения n-й степени вида

называется двучленным уравнением. При и заменой (2))

где — арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):

Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле

Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).

Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

Уравнение имеет два действительных корня .

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

оказались «крепким орешком». В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и — корни уравнения

Выпишем эти корни:

Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

Эта формула известная как формула Кардано.

подстановкой приводится к «неполному» виду

Корни , , «неполного» кубичного уравнения (14) равны

Пусть «неполное» кубичное уравнение (14) действительно.

а) Если («неприводимый» случай), то и

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и — корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

Если , (3)), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

а само уравнение сводится к двум квадратным:

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

или, после упрощения,

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

подстановкой приводится к «неполному» виду

Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

причем , и — корни кубичного уравнения

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени ( ) можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и — взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для уравнения

старший коэффициент которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если — корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где — многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление «уголком»: