Виды уравнений высших степеней презентация

Решение уравнений высших степеней
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему

В презентации рассматриваются основные способы решения уравнений высших степеней.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение уравнений высших степеней Желтова О. Н., учитель МАОУ «Лицей № 6» г. Тамбов

Уравнение Р( x)=0 , где Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , Степенью уравнения Р( х ) = 0 называется степень многочлена Р( х ) стандартного вида, т.е. наибольшая из степеней его членов .

(х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 х 5 – 2х 3 + 3 = 0 х 3 =10 – х (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63 (х 2 -2х-1) 2 + 3(х-1) 2 = 16 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0

Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Функционально-графический метод Метод замены переменн ой

Решить уравнение: x 3 -2x 2 -6x+4=0 Проблема: Возможно ли многочлен третьей степени x 3 -2x 2 -6x+4 разложить на множители ? №1

Как разложить на множители многочлен х 2 — 5х — 6? х 2 — 5х — 6 = (х – 6)(х + 1) ‏ ‏ Вывод: Корни трехчлена являются делителями свободного члена . .

. x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2

Схема Горнера . x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2 1 -2 -6 4 1 1 -4 2 0 -2 остаток умножить сложить x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2) ‏ x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=

Значения Схема многочлена Горнер а Р(х)=x 3 -2x 2 -6x+4 Гипотеза: Значение многочлена при х=а равно остатку от деления многочлена на х — а. х Р(х) ‏ 1 -3 -1 7 2 -8 -2 0 4 12 -4 -68 1 -2 -6 4 1 1 -1 -7 -3 -1 1 -3 -3 7 2 1 0 -6 -8 -2 1 -4 2 0 4 1 2 2 12 -4 1 -6 18 -68

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — а) равен Р(а ). Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 . О Безу Этьенн БЕЗУ Этьенн Безу (1730 — 1783) ‏

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 . Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В начало

Если уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена а n Теорема 1

х 4 – 4х 3 + 5х 2 -2х – 12 = 0, х = -1 — целый корень уравнения. По схеме Горнера: (х+1)(х 3 — 5х 2 + 10х — 12)=0 х 3 — 5х 2 + 10х – 12=0, х = 3 –целый корень уравнения По схеме Горнера: (х+1)(х – 3)(х 2 -2х + 4) = 0. уравнение х 2 -2х + 4 = 0 корней не имеет. 1 -5 10 -12 3 1 -2 4 0 1 -4 5 -2 -12 -1 1 -5 10 -12 0 Ответ: -1; 3. №2

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 = 0 . Ответ: -1; 3; №3

2 3 5 4 -1 Схема Горнера 2 1 4 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых число р является корнем уравнения. а= -2 а=1 Если а=-2 №4

При а=1 уравнение принимает вид: 1 -3 -5 -1 -1 1 -4 -1 0 Ответ: -1;

Для того, чтобы уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имело рациональный корень р/ q , необходимо и достаточно,чтобы p являлось делителем свободного члена а n , а q являлось делителем старшего коэффициента а 0 . Теорема 2

№5 12 х 5 — 44 x 4 +23 x 3 +4 x 2 — 3 x = 0 . Делители свободного члена: 1 ,-1,3,-3 Делители старшего коэффициента: 1,2,3,4,6,12 Ожидаемые корни: X=0 12 х 4 — 44 x 3 +23 x 2 +4 x – 3 = 0. Ответ: 0; ½, ½, -1/3, 3.

№6 12 х 4 — 44 x 3 +39 x 2 +8 x — 12 = 0 . Ответ:-1/2; 2/3; 1,5;2

№7 Метод неопределенных коэффициентов х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2 = 0 . х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2= = ( x 2 -4 x + 1) ( x 2 -6 x + 2)

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0 . Самостоятельная работа Ответ: -2; 1/2; 1/3 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0 Ответ: 1,1,

Способы решения уравнений высших степеней Разложение на множители Введение новой переменной Фукционально-графический группировка формулы сокращённого умножения понижение степени вынесение за скобки деление «уголком» схема Горнера разложение квадратного трёхчлена на множители Метод неопределенных коэффициентов

Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. Альберт Эйнштейн

Домашнее задание: §2-6, №304,305,314, 316(1,3),317,319, 321,324(1)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм.

Конспект урока. Тема: «Решение уравнений высших степеней» 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.

Урок-защита проектов «Решение уравнений высших степеней» 9 класс

Конспект урока по алгебре в 9 классе «Решение уравнений высших степеней», на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, .

Методы решения уравнений высших степеней

Проект урока по алгебре в 11 классе.Составлен по УМК А.Г. Мордковича.

Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Урок математики в 9 классе на тему «Способы решения уравнений высших степеней»

Данная тема является актуальной и важной при изучении математики, так как уравнения высших степеней составляют часть выпускных экзаменов, встречаются на вступительных экзаменах в вузы и являются неотъ.

Презентация к уроку «Уравнения высших степеней» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

МБОУ «СОШ с углубленным изучением отдельных предметов №4» Тема урока: Уравнения высших степеней. Учитель математики высшей квалификационной категории Боярская Мария Николаевна

Цель и задачи урока: Цели: Образовательная: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней Развивающая: Развитие познавательных и исследовательских умений; содействовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать. Воспитательная: Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах, выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности. Задачи: познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней, научить понижать степень уравнений высших степеней, используя теорему Безу и схему Горнера, а также удачную подстановку при введении новой переменной, изучить способы возвратных и однородных уравнений

1 Этап. Организационный. Вопросы по домашнему заданию: 1 уравнение Какая замена переменных сделана в уравнении? Какое уравнение получено после замены переменных? 2 уравнение На какой многочлен делили обе части уравнения? Какая замена переменных была получена? 3 уравнение Какие многочлены необходимо перемножить для упрощения решения данного уравнения? 4 уравнение Назвать функцию f(х). Как были найдены остальные корни? 5 уравнение Сколько было получено промежутков для решения уравнения? 6 уравнение Какими способами можно было решить данное уравнение? Какой способ решения более рациональный?

Корнем уравнения называется значение переменной, при под­становке которого в уравнение получается верное равенство. Примеры х3 + х = 0 — один корень: х = 0. Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х Z. х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х R. х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество корней ø). 2 Этап. Изложение нового материала.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Примеры х2 = х + 2 и х2 – х – 2 = 0 равносильны. х4 + 2 = -16 и ЅіnЗх = 2 равносильны. х2 = 2х – 6 и х = (2х – 6)2 неравносильны. Неравносильные преобразования могут привести к: потере корней, появлению посторонних корней.

Методы решения уравнений Разложение на множители Замена переменной: Основными способами реализации этого метода являются: Использование основного свойства дроби. Выделение квадрата двучлена. Переход к системе уравнений. Раскрытие скобок парами. Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х ≠ 0. Двойная замена. Понижение степени уравнения. Использование монотонности Сравнение обеих частей по величине Использование однородности Применение схемы Горнера Возвратное уравнение Уравнение 3 степени – формула Кардано Метод Феррари См. Приложение 1. Теория

“Разобрать предложенный способ решения уравнения и объяснить его на данном примере”. Группа 1. 1. Решить уравнение по формуле Кардано: х3 + 15х2 + 48х + 44 = 0. 2. Решить уравнение выделением целых и рациональных корней х5 – 2х4 – 4х3 + 4х2 – 5х + 6 = 0; 3. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов 2х4 – 5х3 – 3х2 + 7х – 2 = 0. х4 – 2х3 – х2 – 2х + 1 = 0. Группа 2. Решить симметрические и возвратные уравнения. а) х5 – 12х4 + 31х3 + 31х2 –12х + 1 = 0; б) х4 + 4х3 – 18х2 – 12х + 9 = 0. Решить уравнение заменой переменных: (х – 1)(х + 1)(х + 2)х = 24. Решить уравнение вида f(f(х)) = х: (х2 + 2х – 5)2 + 2(х2 + 2х – 5) – 5 = х. На доске. Сколькими способами можно решить уравнение. Выберите наиболее рациональный. х4 + 2х3 + 2х2 + 2х + 1 = 0. Решить уравнение: (х – 2)2(х + 1)2 – (х – 2)(х2 – 1) – 2(х – 1)2 = 0. 3 Этап. Работа в группах.

Вариант 1. 1. Найдите действительные корни уравнения Зх3 – 5х2 + Зх – 5 =0. 2. Найдите действительные корни уравнения 2 х4 + 3х3–8х2 – 9х+6= 0. 3. Решите уравнение (х+1)(х – 2)(х+3)(х – 4)=144. Вариант 2 1. Найдите действительные корни уравнения 4х5+8х4+5х3+10х2 – 3х – 6=0. 2. Найдите действительные корни уравнения 2х4 – 5х3 – х2 +5х+2=0. 3. Решите уравнение (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 6. Вариант 3 1. Найдите действительные корни уравнения Зх5 – 6х4 + 4х3 – 8х2 – Зх + 6 = 0. 2. Найдите действительные корни уравнения 5х4 – Зх3 – 4х2 –Зх+5= 0. 3. Решите уравнение (х – 3)(х+2)(х – 6)(х – 1)+56=0. 4 Этап. Самостоятельная работа.

Достигнуты ли цели урока? Чему Вы научились на уроке? Заполним вместе до конца Матрицу мониторинга урока. Домашнее задание. Оформить решение незаконченных уравнений. Подготовиться к контрольному срезу. 5 Этап. Рефлексия. Итог урока.

Спасибо за внимание! Недостаточно только получить знания: надо найти им приложение. И. Гете

Краткое описание документа:

Основная цель материала: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней.

Задачи:

❏познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней,

❏научить понижать степень уравнений высших степеней, используя теорему Безу и схему Горнера, а также удачную подстановку при введении новой переменной,

❏изучить способы возвратных и однородных уравнений

Уравнения высших степеней 10 класс Учитель математики Хмелевцева Л.Л. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемФаина Арбузова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Уравнения высших степеней 10 класс Учитель математики Хмелевцева Л.Л.» — Транскрипт:

1 Уравнения высших степеней 10 класс Учитель математики Хмелевцева Л.Л.

2 Содержание Уравнения высших степеней Деление многочленов столбиком Схема Горнера Возвратные уравнения Симметрические уравнения

3 Уравнения высших степеней Теорема Если несократимая дробь p/q является корнем многочлена c целыми коэффициентами, то q является делителем старшего коэффициента, а р – делителем свободного члена.

4 Уравнения высших степеней Теорема Если число α является корнем многочлена, то этот многочлен делится на двучлен (х- α) без остатка

5 Уравнения высших степеней Пример деления многочленов столбиком

6 Уравнения высших степеней Схема Горнера anan a n-1 a n-2 a1a1 a0a0 α B n-1 = a n B n-2 =α×B n-1 +a n-1 B n-3 =α ×B n-2 +a n-2 B 0 = α× B 1 +a 1 R остаток = α× B 0 + a 0 где B n-1, B n-2, B n-3,… B 0 – коэффициенты многочлена пониженной степени Замечание: 1. Если коэффициенты многочлена со старшим коэффициентом, равным 1, есть целые числа, то если многочлен имеет целый корень, он является делителем свободного члена. 2. Если корень- целое число найден подбором, то делим многочлен на многочлен (x-x 1 ).

7 Примеры решения уравнений с помощью Схема Горнера

13 Возвратные уравнения Алгебраическое уравнение Алгебраическое уравнение вида: называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если, при k = 0, 1, …, n. коэффициенты

14 Симметрические уравнения Уравнения вида называются симметрическими уравнениями n-ой степени. Теорема 1. Симметрическое уравнение нечетной 2n +1 степени имеет корень x=1 Теорема 2. Симметрическое уравнение нечетной степени делением левой части на (х+1) сводится к симметрическому уравнению четной 2n степени

15 Приемы решения симметрических уравнений Симметрические уравнения четной степени 2n решаются: 1. делением обеих частей уравнения на х n (х n не корень уравнения ), 2. последующим введением новой переменной x+ 1\x= t, 3. приведением к уравнению n-ой степени

16 Примеры решения симметрических уравнений

22 Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе. С. Ковалевская БЛАГОДАРЮ ЗА УРОК !