Вихревое магнитное поле уравнение максвелла

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея (см. (123.2)) следует, что любоеизменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре,

находящемся в переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхождения (см. § 97). Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре; их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаружи­вающим это поле.

Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле Е_В циркуляция которого, по (123.3),

где Е_Вl— проекция вектора Е_B на направление dl.

Подставив в формулу (137.1) выражение (см. (120.2)), получим

Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,

(137.2)

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл является функцией только от времени.

Согласно (83.3), циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его Е_Q) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

(137.3)

Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматриваемыми полями (Е_В и Е_Q) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора Е_B в отличие от

циркуляции вектора Е_Q не равна нулю. Следовательно, электрическое поле Е_B, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле (см. § 118), является вихревым.

Ток смещения

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружа­ющем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнит­ным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемыйток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 196). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, прячем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями. По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обклад­ками конденсатора существовал ток проводимости, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I)и смещения (I_см) равны: I_см=I.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

,(138.1)

(поверхностная плотность заряда s на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе (см. (92.1)). Подынтегральное выражение в (138.1) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения , когда и dS взаимно

параллельны. Поэтому для общего случая можно записать

.

Сравнивая это выражение c (см. (96.2)), имеем

. (138.2)

Выражение (138.2) и было названо Максвеллом плотностыю тока смещения.

Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводимости и смещения j и j_см. При зарядке конденсатора (рис. 197, в) через проводник, соединя­ющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой; поле в конденсаторе усиливается, следовательно, , т. е. вектор направлен в ту же сторону, что и D. Из рисунка видно, что направления векторов и j совпадают. При разрядке конденсатора (рис. 197, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой

обкладки к правой; поле в конденсаторе ослабляется; следовательно, 8 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857—1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экс­периментально подтверждена.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптические и элект­ромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е, В, D,Н в них преобразуются по определенным правилам.

Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение злектрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.

Уравнения Максвелла Вихревое электрическое поле

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея следует: любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток.

Следовательно, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Но ЭДС в любой цепи возникает только когда в ней на носители тока действуют сторонние силы – силы неэлектростатического происхождения.

Из опытов следует, что сторонние силы не связаны с тепловыми и химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они не действуют на неподвижные заряды.

Максвелл выдвинул гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

По Максвеллу, контур, в котором появляется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода «прибором» для обнаружения этого поля.

Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле, циркуляция которого:

— проекция вектора на направление .

– магнитный поток

Если поверхность и контур неподвижны, то

Из электростатики: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна 0:

Сравнивая последние формулы, получим принципиальное различие: циркуляция вектора по сравнению с циркуляцией не равна нулю. Следовательно, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Если любое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: любое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Для установления количественных отношений между ними Максвелл ввел понятие тока смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор.

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор протекают токи смещения в тех местах, где отсутствуют проводники.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. То есть токи смещения и токам проводимости:

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора:

Поверхностная плотность заряда у на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе.

Для общего случая можно записать:

Сравнивая это выражение с выражением для силы тока:

— плотность тока смещения.

Направления вектора , вектора совпадают с направлением вектора .

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых:

— плотность тока смещения

— плотность тока поляризации – тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).

Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.

Название «ток смещения» является условным (исторически сложившимся). По своей сути – это изменяющееся во времени электрическое поле. Поэтому ток смещения существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым течет переменный ток, однако он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие тока смещения подтверждено экспериментально .

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения.

Плотность полного тока:

.

Полный ток в цепи переменного тока всегда замкнут, то есть на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника есть ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции, введя в ее правую часть полный ток:

— обобщенная теорема о циркуляции вектора Н.

В основе теории Максвелла лежат 4 уравнения:

— обобщенная теорема о циркуляции вектора

Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями

– электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым. Источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. — теорема Гаусса для поля .

Источниками электрического поля являются электрические заряды. Линии напряженности направлены от положительного заряда к отрицательному.

— теорема Гаусса для поля .

природе не существуют магнитные заряды. Линии магнитной индукции замкнуты.

Третье уравнение – следствие первого, четвертое уравнение – следствие второго.

Переменный во времени электрический ток в соответствии с уравнением 1 создает переменное во времени вихревое магнитное поле. В соответствии с уравнением 2, возникающее переменное магнитное поле создает переменное вихревое электрическое поле. Возникшее переменное поле уже независимо от наличия тока создает переменное магнитное поле. И так далее до бесконечности.

Величины, входящие в уравнения Максвелла не являются независимыми. Существующую между ними связь отражают материальные уравнения.

, ,

G – удельная проводимость вещества.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей, так как в природе существуют электрические заряды, а магнитных зарядов нет.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла:

Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то интегральная и дифференциальная формы уравнений эквивалентны. Если есть поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма является более общей. Чтобы достигнуть математической эквивалентности, уравнения дополняются граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред.

, , ,

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

1. Магнитных монополей не существует.
2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.