Влияние коэффициентов на график квадратного уравнения

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).

презентация «Влияние коэффициентов квадратичной функции на ее график»
консультация по алгебре (9 класс)

материал для подготовки к ГИА

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Парабола, линейная функция, вершина, дискриминант, ветви, ось симметрии, коэффициенты а, в, с. .

Составить математический рассказ на тему «Квадратичная функция и её график» Парабола, вершина параболы, дискриминант, ось симметрии, коэффициенты а, в, с; нули функции, наибольшее и наименьшее значение функции, возрастание и убывание функции, О.О.Ф и О.З.Ф., направление ветвей параболы, пересечение параболы с осью ОХ и ОУ, положительные и отрицательные значения функции …

Цель урока : повторение теоретического материала по теме: « Свойства квадратичной функции » выяснить зависимость коэффициентов a , b , c , m , n от расположения графика квадратичной функции, проверить навыки применять теоретический материал для отыскания коэффициентов.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у=ах 2 + вх + с, где а, в, с- некоторые числа, причём а не равно нулю.

. ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ а, b и с НА РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ а, b и с НА РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а Обобщающий урок по теме «Квадратичная функция и её график»

Цель: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по теме «Квадратичная функция и её график» использовать её для решения задач, входящих в раздел «Алгебра » ОГЭ .

— образовательные: Повторить определение и свойства квадратичной функции, что могут показывать коэффициенты квадратного трёхчлена; рассмотреть задачи, входящие в ОГЭ по данной теме.

-развивающие: Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать, развивать память, активность и самостоятельность, способность к самоорганизации.

-воспитательные: Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата.

• Информационно-коммуникационные технологии;
• Технология модульного обучения;
• Технология развития «критического мышления»;
• Исследование в обучении;
• Работа в парах;
• Здоровьесберегающая технология — оценивание учебных успехов (ученик самостоятельно оценивает результат своих действий, избавляется от страха перед контролем учителя, создается комфортная обстановка, сберегающая его психологическое здоровье).

Тип урока: Урок систематизации знаний и умений .

Формы работы учащихся: Фронтальная, самостоятельная, групповая.

Компьютер, мультимедиа проектор, экран, презентация в программе PowerPoint, раздаточный материал (демоверсия КИМ-ов по математике, спецификация, кодификатор требований к уровню подготовки)

1. Организационный момент. Проверка готовности учащихся.
2. Мотивация учебной деятельности. Определение темы урока.
3. Целеполагание. Работа со спецификацией и кодификатором требований к уровню подготовки обучающихся.
4. Актуализация и проверка знаний. Устная фронтальная работа с классом по графикам.
5. Дифференцированная работа с классом: Решение тестов с последующей проверкой и самооценкой учащихся / Разбор задания № 23 с «сильными» учащимися.
6. Подведение итогов урока, оценка знаний учащихся. Домашнее задание.

2. Постановка целей урока.

Список терминов: парабола, линейная функция, вершина, дискриминант, ветви, ось симметрии.

1. найти лишнее слово
2. Подумаем о какой теме будет идти речь? Тема нашего занятия ________________________
3. Повторить определение квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у=ах 2 + вх + с, где а, в, с- некоторые числа, причём а не равно нулю.

1. Дополним этот список терминов, относящихся нашей теме.
2. Составим небольшой математический рассказ по теме «Квадратичная функция». Групповая работа

Целеполагание. Работа со спецификацией и кодификатором требований к уровню подготовки обучающихся. (4 мин.)

— При решении каких заданий на экзамене нам нужны знания по этой теме? Назовите их номера. Воспользуйтесь демоверсией.

— С помощью обобщённого плана варианта КИМ определите, сколько баллов нам дают эти задания и каков уровень сложности этих заданий.

— Какова цель нашего занятия? Сформулируйте её.

Воспользуйтесь кодификатором требований к уровню подготовки и кодификатором элементов содержания.

Поставить проблемный вопрос: какую информацию можно получить о графике квадратичной функции, зная коэффициенты квадратного трёхчлена. На интерактивной доске установить соответствие между знаками коэффициентов а и с и дискриминанта с расположением графика функции на координатной плоскости.

Фронтальная работа на установление соответствия с пояснениями.

Повторить свойство квадратичной функции о наибольшем и наименьшем значении и выполнить задание.

Не выполняя построения, определите наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции. (Задание выведено на интерактивную доску)

Повторить алгоритм построения графика квадратичной функции и построить графики функций. Работа в парах с объяснением и взаимопроверкой:

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

1. – Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
2. – Перечислите свойства функции у = ах 2 + bх + с при а > 0 и при а
3. – Как влияют коэффициенты а , b и с на расположение графика квадратичной функции?

Рефлексия. Выбери утверждение, которое соответствует тому, как тебе работалось на уроке.

1. Мне было всё понятно, я смог повторить теоретический материал и могу решать задачи без посторонней помощи.
2. Я вспомнил теоретический материал, решел задачи, но некоторые задачи требуют посторонней помощи.
3. Я плохо знаю теоретический материал, не смог его вспомнить и не могу решать задачи по данной теме.

Домашнее задание. Рабочая тетрадь «Я сдам ОГЭ» стр 236 ТР 97, ДЗР 97, ТР 98

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ а, b и с НА РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

У р о к 15.
Влияние коэффициентов а, b и с на расположение
графика квадратичной функции

Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, график какой функции изображен на рисунке:

б)

у = х 2 – 2х;

у = – х 2 + 4х + 1;

у = – х 2 + 2х – 1.

III. Формирование умений и навыков.

Прямая у = 6х + b касается параболы у = х 2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6х + b = х 2 + 8 будет иметь единственное решение.

Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:

3. Выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика функции у = ах 2 + bх + с.

Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.

1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а , так как а 0.

4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а, b и с.

у = х 2 + 2х + 2;

По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:

а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;

b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;

с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).

Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х 2 – 3х – 2.

По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:

5. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

а) б)

а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.

Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с . По графику видно, что т 0. Поэтому b > 0.

б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с:

а) По теореме Виета, известно, что если х₁ и х₂ – корни уравнения х 2 +
+ рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х₁ · х₂ = q и х₁ + х₂ = –р. Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –(3 + 4) = –7.

б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q, то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х 2 + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.

в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х 2 – 12х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Постройте график функции у = 2х 2 + 4х – 6 и найдите, используя график:

б) промежутки, в которых у > 0 и y 2 + 4х, найдите:

б) промежутки возрастания и убывания функции;

в) область значения функции.

3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

В а р и а н т 2

1. Постройте график функции у = –х 2 + 2х + 3 и найдите, используя график:

б) промежутки, в которых у > 0 и y 2 + 8х, найдите:

б) промежутки возрастания и убывания функции;

в) область значения функции.

3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.

– Перечислите свойства функции у = ах 2 + bх + с при а > 0 и при а