Влияние параметра на число корней уравнения

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

1. Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
2. При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
3. При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
4. От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

1. При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
2. Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
3. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
4. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Если Dx – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

• Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

1. При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
2. При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

Решение уравнений с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Уравнения с параметром

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий:

Функция прямая пропорциональность :у = кх ( х и у – переменные; к- параметр, к≠0);

линейная функция: у=кх+в ( х и у – переменные; к и в — параметры);

линейное уравнение ах+в=0 ( х – переменная; а и в- параметры) ;

уравнение первой степени: ах+в=0 ( х – переменная; а и в- параметры, а0) ;

квадратное уравнение: а+вх+с=0 ( х – переменная; а,в и с- параметры, а0) ;

К задачам с параметрами, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет « общаться» с параметром как с числом, а во вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ.

Объект исследования : линейные и квадратные уравнения с параметром.

Предмет исследования : исследование влияние параметра на решение и ответ.

Цель настоящей работы: научить выделять и решать класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки : при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и др. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

изучение и анализ литературных источников;

экспериментальный – разбор предложенных задач, решение новых, создание своих задач.

❶ Линейные уравнения с параметром:

2)Если a=b=0, то х-любое число

3)а=0, а b≠0,то корней нет

❷ Решить уравнение относительно у:

p=3, то y-любое число

❸ Простейшее квадратное уравнение с параметром:

a=0, то х=0, 1 корень

a>0, то 2 различных корня

❹ Определить количество корней уравнения в зависимости от параметра а:

2 корня нет корней 1 корень

❺ Квадратные уравнения с параметром:

a 𝑥 2 +bx+c=0 X=(− 𝑏 ±√Д)/2а

Если Д>0, то 2 различных корня

Если Д=0, то 2 одинаковых корня

❻ Решить уравнение относительно х:

2 различных корня 1 корень нет корней

❼ Решение уравнений с параметром, содержащих переменную под знаком модуля:

а>0; 2 различных корня

∣ у-7 ∣ = — 8; нет корней

∣ у-7 ∣ =5; 2 различных корня

❾ Решение с геометрической точки уравнения ∣ у-7 ∣ =5:

5 единиц 5 единиц

❿ Найти значение а, при котором уравнение ∣ х-а ∣ =а+1
имеет 1 корень:

⓫ Найти значение а, при котором корнем уравнения являются противоположные числа:

x-a+2= 5 или x-a+2= — 5

⓬ Найти значение а , при котором сумма корней уравнения равна двенадцати:

⓭ Выясните , при каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение и найдите его:

𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 = 𝑎 2 -2(a-3)

𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 = 𝑎 2 -2a+6

𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 =( 𝑎 2 -2a+1)+5

𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 =( 𝑎 −1) 2 +5

При a=1 выражение принимает наименьшее значения, равное 5.

⓮ Найти наименьшее значение параметра а и значение х, при которых оно достигается:

( 𝑥 2 -7x+6) ∙( 𝑥 2 -7x+10) +9=a

𝑡 2 + 2 ∙ 8 t + 64 – 64 + 69= a

При t = — 8 выражение принимает наименьшее значение.

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.