Внутренние силовые факторы уравнения равновесия

Определение внутренних силовых факторов

Тема 2.6. Изгиб.

Построение эпюр поперечных сил

И изгибающих моментов.

Основные правила построения эпюр

Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и М_х по участкам.

Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

Примеры решения задач

Пример 1.На балку действуют сосредоточенные силы и мо­мент (рис. 30.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Тема 2.6. Изгиб 247

Решение

Последовательно по участкам нагружения рассматриваем вну­тренние силовые факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия отсеченной части. Для каждого участка за­писываем уравнения внутренних силовых факторов.

Используем известные правила:

— поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Оу;

— изгибающий момент численно равен алгебраической сумме
моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох;

— принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов
(рис. 30.2):

Составим уравнения равновесия.

1. Рассмотрим участок 1 (рис. 30.3а).

Изгибающий момент меняется по линейному закону, график -прямая линия.

Поперечную силу и изгибающий момент можно определять сра­зу из зависимостей Q_y = ΣFy; М_х = Σmх, не составляя уравнения равновесия участка.

Знак каждого из слагаемых этих уравнений определяем от­дельно (участок 3).

3. Рассмотрим участок 3 (рис. 30.3в).

Qз = -10 + 20 = 10 кН — поло­жительна.

MxB справа = — 10·7+20·4+15 = 25 кН · М;

Обращаем внимание, что для точки В получено два значения изгибающих моментов: из уравнения для участка 2 левее точки В и из уравнения для участка 3 — правее точки В.

Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внеш­ний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется.

В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов по­явится скачок, равный величине приложенного момента.

Поперечная сила в точке В для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не от­ражается на эпюре поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.

График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.

Тема 2.6. Изгиб 249

4. Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается преж­ним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений мак­симальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховыва­ются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

Правила построения эпюр (рис. 30.1 и 30.4):

1. Для участка, где отсутствует распределенная нагрузка, попе­речная сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейно­му закону.

2. В частном случае, когда поперечная сила на участке равна ну­лю, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), график — пря­мая линия, параллельная продольной оси (на рис. 30.1 отсутствует).

3. В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Q возникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов — излом.

4. В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре М_и возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется.

5. В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении сосредоточенной силе или реакции в заделке.

6. На свободном конце балки или шарнирно опертом конце мо­мент равен нулю, за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний момент).

Пример 2.На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определе­ния опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относи­тельно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению

Σ Fky = 0 (см. лекцию 6).

Решение

1. Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:

Реакция в опоре направлена в обратную сторону.

Проверка: ΣFy = 0;

Реакции определены верно.

2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений.

Для этого используют известные связи между поперечной силой и изгибающим моментом и правила построения эпюр.-

Участок 1 (от точки А до точки С).

Тема 2.6. Изгиб 251

В точке А приложена реакция Ra, направленная вниз. Попереч­ная сила на участке постоянна: Q1 = Ra = — З6кН.

Момент в точке А равен нулю.

Точка С (слева). Приложена внешняя сила F1 = З5кН, напра­вленная вверх, — здесь возникнет скачок вверх на величину З5кН. Момент в точке С (слева) может быть рассчитан по известной зави­симости МС слева =-R_A · 6; МС слева =-36·6 =-216 кН· м.

Участок 2 (от точки С справа до точки В).

Поперечная сила в точке С (справа) равна Qc = -Ra + F1; Q_c = -36 + 35 = -1кН.

В точке С приложена внешняя пара сил с моментом 80кН·м, следовательно, здесь проявляется скачок на величину приложенного момента: Мc справа = МС слева + m; Мc справа = -216 + 80 = 136кН·м.

Поперечная сила на втором участке постоянна: Q2 = Qc справа .

Момент в точке В определяется по зависимости

МB = -R_A • 10 + F1 • 4 + m; M_B = -36 • 10 + 35 • 4 + 80 = -140 кН•м.

Справа и слева от точки В момент имеет одинаковые значения.

Участок 3 (от точки В (справа) до точки D).

В точке В приложена внешняя сила Rb. Здесь появляется скачок на величину 71 кН, Q_B = -1 + 71 = 70 кН.

Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке D равен нулю, т.к. здесь не приложена внешняя пара сил: M_D = 0.

Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и справа налево.

По полученным значениям сил и моментов строим эпюры (эпю­ры под схемой вала, рис. 30.4).

Контрольные вопросы и задания

1. Определите величины поперечных сил в сечении 1 и в сечении 2 (рис. 30.5).

2. Напишите формулу для расчета изгибающего момента в сечении 3 (рис. 30.6).

3. Из представленных эпюр выберете эпюру поперечной силы для изображенной балки (рис. 30.7).

A. Обратить внимание на знак силы в сечении 1 (знак +).

Б. Обратить внимание на величину скачков в местах приложе­ния внешних сил.

B. Приложение момента пары сил не должно отражаться на
эпюре Q.

4. По рис. 30.8 выбрать эпюру изгибающего момента для изображенной на рис. 30.7 балки.

A. На конце бруса приложен момент пары, следовательно, в этом
месте изгибающий момент должен быть равен этому же значению.

Б. Обратить внимание на знак момента в сечении 1.

B. В точке А приложена также и сила , поэтому линия , очертившая

Тема 2.6. Изгиб 253

эпюру, должна быть наклонной.

5. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 2.6. Изгиб.

Определение внутренних силовых факторов

iSopromat.ru

Внутренние силовые факторы (усилия) возникают в результате деформации бруса, когда под действием внешних нагрузок происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела.

По своей природе внутренние силовые факторы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность и совместность деформаций. Для определения этих усилий применяют метод сечений:

надо мысленно рассечь брус, находящийся в равновесии, на две части

и рассмотреть равновесие одной из них.

Действие усилий отброшенной части бруса заменим уравновешивающими рассматриваемую часть внутренней силой R и внутренним моментом M.

Для упрощения расчетов силу R и момент M принято раскладывать на составляющие усилия относительно осей координат x, y и z.

Таким образом, под действием внешних нагрузок в поперечном сечении бруса могут возникать следующие внутренние силовые факторы:

• N_z = N — продольная растягивающая (сжимающая) сила;
• M_z = T — крутящий (скручивающий) момент;
• Q_x (Q_y) = Q — поперечные силы;
• M_x (M_y) = M — изгибающие моменты.

Каждый внутренний силовой фактор определяется из соответствующего уравнения равновесия оставшейся после рассечения бруса части (уравнения статики):

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Правила знаков для внутренних силовых факторов

Для определения знаков внутренних усилий, возникающих в брусе при различных способах его нагружения, приняты следующие правила:

• при растяжении/сжатии — положительными являются растягивающие усилия;
• при кручении — положительны моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки;
• при изгибе — положительны моменты сжимающие верхний слой балки.

Эпюры внутренних силовых факторов

В инженерной практике особое место занимает умение ясно представить взаимодействие усилий в конструкции, а также связь между внешними и внутренними силами в элементах конструкции, для этого графически изображают внутренние силовые факторы в функции осевой координаты и называют эти графики — эпюрами.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Внутренние силовые факторы уравнения равновесия

Составители: А.С. Савинов, Журавлев В.В., Яременко В.Н.

Определение внутренних силовых факторов в стержнях, балках и рамах: Метод. указ. по дисциплине “Сопротивление материалов” для студентов всех специальностей. Магнитогорск: ГОУ ВПО МГТУ, 2008. 39 с.

Рассмотрен метод установления взаимосвязи внутренних силовых факторов с внешними. Разработаны оригинальные расчетные схемы с целью изучения напряженного состояния стержней балок и рам при деформациях кручения, растяжения-сжатия, изгиба

Рецензент Д.В. Терентьев

ВВЕДЕНИЕ

Внутренние силы (силы упругости), возникающие в теле под действием нагрузки, — силы непрерывно распределенные (в соответствии с принятым допущением о непрерывности материала тела).

Как определяются эти силы в любой точке тела, будет показано ниже.

Теперь же займемся определением тех равнодействующих уси лий (в том числе и моментов), к которым приводятся в сечении эти силы упругости. Эти равнодействующие усилия представляют собой не что иное, как составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил.

Для определения внутренних усилий (или внутренних силовых фак торов) применяется метод сечений (правило РОЗУ), заключающийся в следующем.

Для тела, находящегося в равно весии (рис. 1), в интересующем нас месте мысленно делается разрез, например по а — а.

Затем одна из частей отбрасывается (обычно та, к которой приложено больше сил). Взаимодействие частей друг на друга заменяется внутрен ними усилиями, которые уравновешивают внешние силы, действу ющие на отсеченную часть. Если внешние силы лежат в одной плоскости, то для их уравновешивания необходимо в общем случае приложить в сечении три внутренних усилия: силу N , направлен ную вдоль оси стержня и называемую продольной силой; силу Q , действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой, и момент М, плоскость действия которого перпендикулярна плоскости сечения. Этот момент возникает при изгибе стержня и называется изгибающим моментом.

После этого составляют уравнения равновесия для отсеченной части тела, из которых и определяются N , Q , М. Действительно, проецируя силы, действующие на отсеченную часть, на направле ние оси стержня и приравнивая сумму проекций нулю, найдем N ;

проецируя силы на направление, перпендикулярное оси стержня, определим Q ; приравнивая нулю сумму моментов относительно какой-либо точки, определим М.

Если же внешние силы, к которым относят ся также реакции опор, не лежат в одной плос кости (пространственная задача), то в попереч ном сечении в общем случае могут возникать шесть внутренних усилий, являющихся компо нентами главного вектора и главного момента системы внутренних сил (рис. 2); продольная сила N , поперечная сила Q_x поперечная сила Q _у М_у, М_х и М _z , причем первые два являются изгибающими, а третий M_z , действующий в плоскости сечения, называется крутящим, так как он возникает при закручи вании стержня. Для определения этих шести усилий необходимо использовать шесть уравнений равновесия: приравнять нулю сум мы проекций сил (приложенных к отсеченной части) на три оси координат и приравнять нулю суммы моментов сил относительно трех осей, имеющих начало в центре тяжести сечения.

Итак, для нахождения внутренних усилий необходимо:

1) разрезать стержень или систему стержней;

2) отбросить одну часть;

3) приложить в сечении усилия, способные уравновесить внешние силы , действующие на отсеченную часть;

4) найти значения усилий «из уравнений равновесия, составленных для отсеченной части.

В частном случае в поперечном сечении стержня могут возникать:

1. Только продольная сила N. Этот случай нагружения назы вается растяжением (если сила N направлена от сечения) или сжатием (если продольная сила направлена к сечению).

2. Только поперечная сила Q_x или Q_y . Это случай сдвига.

3. Только крутящий момент M_z . Это случай кручения.

4. Только изгибающий момент М_х или М_у. Это случай изгиба.

5. Несколько усилий, например изгибающий и крутящий момен ты. Это случаи сложных деформаций (или сложного сопротив ления) .

Если число неизвестных усилий равно числу уравнений рав новесия, задача называется статически определимой, если же число неизвестных усилий больше числа уравнений равновесия — статически неопределимой.

Для статически неопределимых задач кроме уравнений равнове сия необходимо использовать еще дополнительные уравнения при рассмотрении деформации системы.