Вольфрам альфа уравнения с параметром

Использование WolframAlpha при обучении решению задач с параметрами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Власов Дмитрий Анатольевич, Синчуков Александр Валерьевич, Качалова Галина Алексеевна

Рассмотрены особенности использования WolframAlpha — нового математического онлайн-процессора, позволяющего при условии методически целесообразного использования в учебном процессе существенно повысить качество математической и методической подготовки будущего учителя математики и информатики в системе бакалавриата и магистратуры.

WOLFRAMALPHA use when training in the solution of tasks with parameters

In the center of attention of this article WolframAlpha — quality of mathematical and methodical preparation of future mathematics teacher and informatics in bachelor degree and magistracy system is essential to raise the new mathematical online-processor allowing on condition of methodically expedient use in educational process.

Текст научной работы на тему «Использование WolframAlpha при обучении решению задач с параметрами»

ЭЛЕКТРОННЫЕ СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ОБУЧЕНИЯ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ WOLFRAMALPHA ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Д.А. Власов1, А.В. Синчуков2, Г.А. Качалова1

!Кафедра точных и естественных наук Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова Верхняя Радищевская ул., 16-18, Москва, Россия, 109240

2Кафедра высшей математики Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Краснопрудная ул., 14, Москва, Россия, 107140

Ключевые слова: WolframAlpha, задачи с параметрами, подготовка будущего учителя математики и информатики, информационные технологии, информатизация.

В условиях математизации и информатизации всех отраслей знаний и деятельности рынок труда предъявляет повышенные требования к информационной и математической подготовке выпускников (как в общекультурном, методологическом аспектах, так и в аспекте инструментальной компетентности), что должно находить отражение в системе подготовки будущих учителей математики в бакалавриате и магистратуре.

На кафедре точных и естественных наук МГГУ им. М.А. Шолохова к настоящему времени накоплен богатый педагогический опыт интеграции информационных и педагогических технологий на основе использования нового математического онлайн-процессора WolframAlpha и специально создано новое методико-технологическое обеспечение нескольких учебных дисциплин математической

и методической подготовки бакалавров (направление 050100 «Педагогическое образование», профили «Математическое образование» и «Информатика и ИКТ в образовании») и магистров (050100 «Педагогическое образование»).

В рамках данной статьи на трех конкретных примерах будут рассмотрены особенности использования «^ИтатАрЪа в учебном процессе на примере элективного курса «Задачи с параметрами», специально созданного для усиления ин-тегративной и прикладной подготовки будущего учителя математики и информатики.

Отметим, что параметр (от греч. рагаше1геб меряю, сопоставляя) — величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой задаче меняющая свое значение. Другими словами, параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи. Задачи с такими особыми величинами принято называть задачами с параметрами (параметрическими задачами). Особый класс задач — задачи с параметрами, присутствующий в ГИА и ЕГЭ, традиционно считается сложным, трудным для большинства школьников, студентов, молодых учителей. Причины этого нам представляются в разнообразии типов задач с параметрами и методов их решения, нетрадиционности формулировок самих заданий, искусственной изолированности содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в системе содержательно-методических линий школьного и вузовского курсов математики.

В связи с широким внедрением информационных технологий в учебный процесс особую актуальность приобретает вопрос: насколько они способны помочь школьнику, студенту, учителю математики? В контексте содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» вопрос звучит так: позволяют ли ИТ полностью решить задачу с параметром, более глубоко проникнуть в суть задач с параметром, интерпретировать полученный результат, делать обобщения и формулировать выводы?

Далее представим читателю и проанализируем три типовые задачи с параметром, на основе которых можно сформировать представление о дидактических и инструментальных возможностях WolframAlpha.

Задача 1. Решить уравнение a2х = a (х + 2) — 2 при всех значениях параметра а.

Решение. Обратим внимание, что данное уравнение линейно относительно переменной х. После группировки по степеням х, получим: a (а -1)х = 2a — 2 . Далее выделим 3 принципиальных случая.

1 1 , , * = -[о: Ф 1 а

2. а = 0, 0 • х = -2, х е 0.

3. а = 1, 0 • х = 0, хе Я.

Комментарий 1. Выделение WolframAlpha двух случаев решения задачи 1, представленных на рис. 1, подразумевает их несовместность. Мы видим, что значение параметра a = 1 выделено в отдельный случай, следовательно, в первом случае можно дописать a Ф 1. Обратим внимание, что некоторые значения параметра а не включены в результат выданный WolframAlpha, — это a = 0. Другими словами, при a = 0 решений нет. Последний случай имеет наглядную геометрическую интерпретацию — ветви гиперболы приближаются к оси х (рис. 1).

Рис. 1. Решение задачи 1 в WolframAlpha

Задача 2. Решить уравнение x2 — 2x — a = 0 при всех значениях параметра а.

Решение. Следуя логике решения квадратных уравнений, определим дискриминант: D = 1 + a. Рассмотрим три традиционных для решения квадратных уравнений случая.

1. D > 0; 1 + a > 0; a > -1; x12 = 1 ±у[\++

а — уравнение имеет два корня.

2. D = 0; 1 + а = 0; а = -1; х = 1 — уравнение имеет один корень (два совпадающих корня).

a=n2 + 2n, x = —л a neZ £ is Che set of integere »

Рис. 2. Решение задачи 2 в WolframAlpha

Комментарий 2. Обратимся к графику, представленному на рис. 2. 1. Учитывая область определения представленной на рис. 2 функции, видим, что при а -1, проводя перпендикулярные прямые к оси параметра а, мы получаем пары решений x12 = 1 ±V 1 + a (следствие свойства симметрии параболы).

Заметим, что именно эти пары решений аналитически представлены в WolframAlpha.

Перейдем к рассмотрению третьей задачи — линейного неравенства с параметром.

0 Л — a2x +1 a2x + 3 a + 9x

Задача 3. Решить неравенство— —1—. (2)

Если а = -3, тогда 0 • х Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[1] Власов Д.А. Информационные технологии в системе математической подготовки бакалавров: опыт МГГУ им. М.А. Шолохова // Информатика и образование. — 2012. — № 3. — С. 93—94.

[2] Качалова Г.А., Власов Д.А. Проблемы подготовки будущего учителя математики к реализации содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» // Российский научный журнал. — 2011. — № 2 (21). — С. 86—91.

[3] Качалова Г.А. Задачи с параметрами как средство развития математической культуры будущего учителя математики // Наука и школа. — 2013. — № 3. — С. 27—30.

[4] Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. — М.: Экзамен, 2009.

[5] Jesse Russell Wolfram Alpha. — M.: Print-on-Demand, 2012.

[1] Vlasov D.A. Informacionnye tehnologii v sisteme matematicheskoj podgotovki bakalavrov: opyt MGGU im. M.A. Sholohova // Informatika i obrazovanie. — 2012. — № 3. — S. 93—94.

[2] Kachalova G.A., Vlasov D.A. Problemy podgotovki budushhego uchitelja matematiki k realiza-cii soderzhatel’no-metodicheskoj linii «Zadachi s parametrami» // Rossijskij nauchnyj zhur-nal. — 2011. — № 2 (21). — S. 86—91.

[3] Kachalova G.A. Zadachi s parametrami kak sredstvo razvitija matematicheskoj kul’tury budushhego uchitelja matematiki // Nauka i shkola. — 2013. — № 3. — S. 27—30.

[4] Miroshin V. V. Reshenie zadach s parametrami. Teorija i praktika. — M.: Jekzamen, 2009.

[5] Jesse Russell Wolfram Alpha. — M.: Print-on-Demand, 2012.

WOLFRAMALPHA USE WHEN TRAINING IN THE SOLUTION OF TASKS WITH PARAMETERS

D.A. Vlasov1, A.V. Sinchukov2, G.A. Kachalova1

1Chair of exact and natural sciences The Moscow state humanitarian university named after M.A. Sholokhov

Verkhnyaya Radishchevskaya str., 16-18, Moscow, Russia, 109240

Chair of the higher mathematics Moscow state university of economy, statisticians and informatics Krasnoprudnaya str., 14, Moscow, Russia, 107140

Key words: WolframAlpha, tasks with parameters, preparation of future mathematics teacher and informatics, information technologies, informatization.

Algebra

Solve equations in one or more variables both symbolically and numerically.

Solve a polynomial equation:

Solve a system of linear equations:

Solve an equation with parameters:

Solve, plot and find alternate forms of polynomial expressions in one or more variables.

Compute properties of a polynomial in several variables:

Factor a polynomial:

Compute discontinuities and other properties of rational functions.

Compute properties of a rational function:

Compute a partial fraction decomposition:

Simplify algebraic functions and expressions.

Simplify an expression:

Find properties and perform computations on matrices.

Do basic arithmetic on matrices:

Compute eigenvalues and eigenvectors of a matrix:

Perform computations with the quaternion number system.

Get information about a quaternion:

Do calculations with quaternions:

Discover properties of groups containing a finite number of elements.

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Содержание

WolframAlpha

Wolfram Alpha — база знаний и набор вычислительных алгоритмов, вопросно-ответная система.

Вместо того, чтобы предоставлять ссылки на другие сайты, сервис собирает факты и цифры из разных источников и потом оперирует этими данными для отображения результатов поиска в виде таблиц, графиков и других иллюстраций.

Разработчик Стивен Вольфрам — британский физик, математик и бизнесмен, известный по программе компьютерной алгебры «Mathematica». Сервис запущен в мае 2009.

Построение графиков

График функции одной переменной — команда plot или синоним graph:

С указанием диапазона значений переменной:

Несколько функций в одной системе координат:

Графики действительной и мнимой частей функции:

График функции двух переменных (desmos трехмерные графики строить не умеет):

Графики комплекснозначных функций двух переменных:

Точки пересечения с осями:

Угловые точки графика функции (точки излома):

Числовые ряды — показывает решение на числовой оси в графическом виде и в виде интервалов:

Графики специальных функций:

Графики в полярной системе координат

Параметрические графики

Воспользуйтесь параметрическим графиком, если можете выразить координаты x, y или x, y, z в каждой точке кривой как функцию одного или более параметров. Например, окружность параметрически задается так: $x=sin(t), y=cos(t), t∈[0;2π]$

Графическое решение неравенств

Неравенства (desmos умеет решать неравенства, но конкретно это неравенство с кубом не смог решить):

Площади фигур

Площадь фигуры, ограниченной линиями:

Площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой:

Алгебра

Уравнения

Решить уравнение (в комплексных числах):

Решать уравнение с параметрами (выразить x через a,b,c):

Решить уравнение в целых числах (Диофантово уравнение):

Преобразовать выражение

Разложение многочлена на множители:

Выделение квадрата двучлена:

Числа

Если ввести число, например, 28, выдает всё об этом числе — простое ли оно, разложение на множители, перевод в двоичную систему, римские цифры, разложение в сумму квадратов и прочее.

Ввести число, затем нажать кнопку More digits — выдаст все числа от 01 до 99

Разложить на разряды, число прописью:

Периодическую дробь представить обычной:

Это рациональное/иррациональное число:

Последняя цифра числа:

Вычисления высокой точности:

Показать число или интервал на числовой оси:

Русские название цифр:

Название числа (число прописью):

Константы

Выдать 200 цифр константы:

Выразить число через константы:

Интервалы

Простые числа. Делители

Простые числа

Выдать все простые числа, меньшие 100:

Выдать миллионное простое число:

Простое ли число?

Таблица простых чисел с 4-го по 17-е:

Частичные суммы простых чисел

Выдать указанную пару простых чиел-близнецов:

Факторизация

Разложить на простые множители:

Показать все делители числа (не только простые):

Делится ли число на указанное число?

Наибольший общий делитель:

Все общие делители чисел:

Общее кратное чисел:

Наименьшее общее кратное чисел (least common multiple):

Можно использовать в выражениях:

Выборки

Мода, среднее выборки, медиана выборки

Функции

Область определения (и графически и как интервал):

Стационарные (критические) точки:

Уравнение касательной в точке:

Пределы

Производная

Сравнить функцию и ее производную

Интеграл

Дифференциальные уравнения

Геометрия

Угол на единичной окружности:

Правильный n-угольник (полигон):

Разное

Сгенерировать безопасный пароль:

Перевод единиц измерения:

Численные методы

Решить методом Ньютона:

Метод половинного деления (рисует диаграмму поиска корня):

Интегрирование методом трапеций:

Комбинаторика

compute binomial coefficients (combinations):

Эксперименты по теории вероятностей

Wolfram|Alpha позволяет сделать эксперименты более наглядными, заменяя монеты, карты и кубики их более абстрактными аналогами — математическими многосторонними игральными костями (dice).

двусторонняя «игральная кость» — 2-sided dice : этот эксперимент генерирует два случайных значения 1 и 2: 1 — соответствует гербу «Г», а 2 — решке «Р».

Есть кнопка «Roll again» — симулятор «бросания монеты».

Выше нее выводится график распределения вероятностей случайной величины и ее числовые характеристики: математическое ожидание (expected value), средне-квадратическое отклонение (standard deviation) и дисперсию (variance).

Эксперимент с двумя монетами имитируется с помощью следующего запроса:

Если «бросить» пять монет одновременно, то получим, кроме уже привычного результата — набора из пяти двоичных значений, еще и некоторые вероятности, в том числе, вероятности некоторых знаменитых карточных комбинаций (нажать кнопку More). Фулхауз, малый стрит, большой стрит, две пары.

Четырехсторонняя кость (4-sided dice) генерирует случайные значения 1, 2, 3 и 4. Эти значения можно интерпретировать, как четыре карточных масти.

Обычный игральный кубик:

Две шестигранные кости — считайте, что два кубика брошены одновременно.

Семь шестигранных кубиков одновременно! Здесь уже интересно посмотреть не только на результат виртуального эксперимента, но и на график статистического распределения вероятностей возможных значений суммы очков, выпавших на кубиках (в диапазоне от 7 до 42) — то, что в реальном эксперименте установить довольно…. утомительно.

Одна 9-гранная кость. «Бросить» такую кость — то же самое, что тянуть одну карту из колоды на 36 карт (четыре масти), если интересует, какая карта по рангу попадется.

Последовательности

Пытается распознавать последовательности:

Рекуррентную формулу преобразовать в обычную:

Аналитическая геометрия. Координаты

Прямая по двум точкам:

Построить прямую по точке пересечения с осью Oy и угловому коэффициенту:

источники:

http://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/algebra/

http://xlench.bget.ru/doku.php/mat/progs/wolframalpha