Вольфрам решение систем дифференциальных уравнений

Вольфрам решение систем дифференциальных уравнений

Достаточно войти на страницу wolframalpha набрать в текстовом поле свой запрос и нажать на кнопку «=»

(имеет всплывающую подсказку вычислить ) или просто нажать Enter .
Функционал Wolfram Alpha не ограничивается лишь поиском ответов на поставленные вопросы. С помощью этой системы можно, например, строить графики и сопоставлять различные данные, что намного наглядней и лучше воспринимается, чем просто текст. Кроме того, с помощью Wolfram Alpha можно производить математические операции, как элементарные (которые без проблем выполняет и Google), так и решать уравнения различной сложности. Также Wolfram Alpha умеет строить графики функций, вычислять значения синуса или косинуса и так далее.

Например можно решить вот такое уравнение :

а чтобы узнать, какое расстояние между Москвой и Тель-Авивом, нужно ввести в поле

и вот вам результат:

Один из минусов сервиса Wolfram Alpha – это его англоязычность…так что если хотите задать вопрос системе придется писать его на английском языке. Даже неизвестно, появится ли русскоязычная версия этой поисково-вычислительной системы.

Основные команды для Вольфрам Альфа

(Команды вводятся в строку Вольфрама — например выше. Все команды заканчиваются нажатием Enter)

1. Решение уравнений, построение графиков

• Арифметические знаки плюс, минус, умножить, поделить +, — , *, / Примеры: 3*2, x*y, (a+b)/c
• Возведение в степень «x в степени а» x^a. Примеры x^a, x**a, (a+b)^2, (a+b)**2, (a+b)^(2x+1)
• Скобки. Действия в скобках ведутся первыми
• Функции .sin(x), cos(x), tan(x)=sin(x)/cos(x), cotan(x)=cos(x)/sin(x), sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x)
• Функции log(x), exp(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), cotanh(x)
• Корень квадратный из «х» sqrt(x) или x^(1/2)

Чтобы вычислить выражение, нужно его просто ввести. Например корень из 2 будет выглядеть как sqrt(2) или же 2^(1/2).

2. Чтобы решить уравнение, нужно просто его ввести

3. Чтобы построить график, нужно использовать команду plot

Например нарисуем с помощью Вольфрама функцию 2^(-x) cos(x). Это делается командой plot (график).

Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости (например для визуализации решения систем уравнений), при значении переменной x в интервале (A,B), нужно использовать команду

4. Чтобы собрать множители из двучлена (многочлена) f, наберите factor[f]

5. Чтобы развалить произведение f на слагаемые, используйте команду expand[f]

6. Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]

Например упростить «е в степени догарифм х»:

Simplify[ exp[ log[x] ] ]

Вольфрам альфа: интегралы

Как работать с Wolfram Alpha

Основные операции

• Сложение : a+b
• Вычитание : a-b
• Умножение : a*b
• Деление : a/b
• Возведение в степень : a^b

Примеры

• 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
• (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

• Меньше : : >
• Равно : = или ==
• Меньше или равно : =

Логические символы

• И : &&
• ИЛИ : ||
• НЕ : !

Основные константы

• Число : Pi
• Число : E
• Бесконечность : Infinity, inf или oo

Основные функции

• : x^a

• : Sqrt[x]
• : x^(1/n)
• : a^x
• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]
• : sin[x] или Sin[x]
• : tan[x] или Tan[x]
• : cot[x] или Cot[x]
• : sec[x] или Sec[x]
• : csc[x] или Csc[x]
• : ArcCos[x]
• : ArcSin[x]
• : ArcTan[x]
• : ArcCot[x]
• : ArcSec[x]
• : ArcCsc[x]
• : cosh[x] или Cosh[x]
• : sinh[x] или Sinh[x]
• : tanh[x] или Tanh[x]
• : coth[x] или Coth[x]
• : sech[x] или Sech[x]
• : csch[x] или Csch[е]
• : ArcCosh[x]
• : ArcSinh[x]
• : ArcTanh[x]
• : ArcCoth[x]
• : ArcSech[x]
• : ArcCsch[x]

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Примеры

• Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
• Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
• Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
• x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
• x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа 0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/d/9/3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png» />, полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Примеры

• Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
• x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
• x^2+y^3-5 =9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например , нужно ввести: Plot[f[x],,].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],].

Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],,]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

Примеры

• Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
• Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции при можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: Integrate[f[x], ] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач [1] . К примеру, если попытаться решить неравенство , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4) Примечания

Online Systems of Equations Solver

Solve equations and systems of equations with Wolfram|Alpha

A powerful tool for finding solutions to systems of equations and constraints

Wolfram|Alpha is capable of solving a wide variety of systems of equations. It can solve systems of linear equations or systems involving nonlinear equations, and it can search specifically for integer solutions or solutions over another domain. Additionally, it can solve systems involving inequalities and more general constraints.

Learn more about:

Tips for entering queries

Enter your queries using plain English. To avoid ambiguous queries, make sure to use parentheses where necessary. Here are some examples illustrating how to ask about solving systems of equations.

Access instant learning tools

Get immediate feedback and guidance with step-by-step solutions and Wolfram Problem Generator

Learn more about:

What are systems of equations?

A system of equations is a set of one or more equations involving a number of variables.

The solutions to systems of equations are the variable mappings such that all component equations are satisfied—in other words, the locations at which all of these equations intersect. To solve a system is to find all such common solutions or points of intersection.

Systems of linear equations are a common and applicable subset of systems of equations. In the case of two variables, these systems can be thought of as lines drawn in two-dimensional space. If all lines converge to a common point, the system is said to be consistent and has a solution at this point of intersection. The system is said to be inconsistent otherwise, having no solutions. Systems of linear equations involving more than two variables work similarly, having either one solution, no solutions or infinite solutions (the latter in the case that all component equations are equivalent).

More general systems involving nonlinear functions are possible as well. These possess more complicated solution sets involving one, zero, infinite or any number of solutions, but work similarly to linear systems in that their solutions are the points satisfying all equations involved. Going further, more general systems of constraints are possible, such as ones that involve inequalities or have requirements that certain variables be integers.

Solving systems of equations is a very general and important idea, and one that is fundamental in many areas of mathematics, engineering and science.

Вольфрам решение систем дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений в символьном виде

Дифференциальными принято называть уравнения, в состав которых входят производные функции у(х), представляющей решение уравнения. Дифференциальные уравнения могут быть представлены в различной форме, например в общеизвестной форме Коши:

Несколько дифференциальных уравнений образуют систему дифференциальных уравнений. Решение таких систем также возможно средствами Mathematica и подробно описано в ряде книг по использованию системы 70. Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений могут быть линейными и нелинейными. Для линейных уравнений обычно существуют решения в аналитическом виде. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае аналитических решений не имеют, но могут решаться приближенными численными методами.

Дифференциальные уравнения широко используются в практике математических вычислений. Они являются основой при решении задач моделирования — особенно в динамике. Немногие математические системы имеют реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений. Но система Mathematica имеет средства как для символьного, так и для численного решения дифференциальных уравнений и их систем.

Для решения дифференциальных уравнений в символьном виде используются следующие средства:

• DSolve[eqn, y[x], х] — решает дифференциальное уравнение относительно функций у [ х ] с независимой переменной х;
• DSolve[, , ]-решает систему дифференциальных уравнений.

У функции DSolve и ее численного варианта NDSolve есть пара опций, на которые следует обратить внимание:

• DSolveConstants — опция к DSolve, определяющая постоянные интегрирования, которые будут использованы в результате;
• StartingStepSize — опция к NDSolve, определяющая величину начального шага.

В решении дифференциальных уравнений встречаются постоянные интегрирования. По умолчанию они обозначаются как С [ i ].

Приведем примеры решения дифференциальных уравнений:

DSolve [у» [х] — у’ [х] — 6 у [х] == 0, у [х] , х] <<У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]>>

DSolve [у» [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]

DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]

DSolvefz2 w»[z] +zw'[z] — (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]

Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.

Решение дифференциальных уравнений в численном виде

Многие дифференциальные уравнения не имеют аналитических решений — например, нелинейные. Однако они могут с приемлемой точностью решаться численными методами. Для численного решения систем дифференциальных уравнений используется функция NDSolve:

• NDSolve [eqns, у, ]— ищет численное решение дифференциальных уравнений .eqns относительно функции у независимой переменной х в интервале от xmin до xmax;
• NDSolve [eqns, , ]— ищет численные решения относительно функций yi.

MaxSteps — опция к NDSolve, которая определяет максимальное количество шагов.

Часто весьма желательно выводить результаты решения дифференциальных уравнений в графической форме. Рисунок 4.25 поясняет, как это делается при решении системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих достаточно сложный колебательный процесс.

Нередко решение предпочитают представить на фазовой плоскости. Рисунок 4.26 иллюстрирует такую возможность. Более того, поскольку решается система из трех дифференциальных уравнений, фазовая траектория решения находится в трехмерном пространстве.

Простота задания решения и вывода его результатов в графической форме открывает широкие возможности применения системы для математического моделирования сложных явлений. При этом, в отличие от такого решения с помощью обычных языков высокого уровня (например, Фортран, Бейсик, Паскаль или С), не требуется составления каких-либо программ по реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений, таких как, скажем, метод Рунге— Кутта. Они представлены в виде уже готовых функций.

Рис. 4.25. Решение системы дифференциальных уравнений с выводом решения в виде графиков временных зависимостей

Рис. 4.26. Решение системы дифференциальных уравнений с выводом решения в форме кривых на фазовых плоскостях