Волков ягола интегральные уравнения лекции

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление

Руслан Свирский 5 лет назад Просмотров:

1 Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет В Т Волков, А Г Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов курса физического факультета Москва 6

2 ЛИТЕРАТУРА Основная Ягола АГ Интегральные уравнения Вариационное исчисление (общий курс) Курс лекций опубликован в Интернет: Васильева АБ, Тихонов Н А Интегральные уравнения М: Физматлит, Эльсгольц ЛЭ Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М: УРСС, 4 Васильева АБ, Медведев ГН, Тихонов НА, Уразгильдина ТА Дифференциальные и интегральные уравнения Вариационное исчисление М: Физматлит, Дополнительная АН Колмогоров, СВ Фомин Элементы теории функций и функционального анализа М: Наука, 989 ГЕ Шилов Введение в теорию линейных пространств ВВ Городецкий, НИ Нагнибида, ПП Настасиев Методы решения задач по функциональному анализу Киев: Выща школа, 99 4 ММ Вайнберг Функциональный анализ М: Просвещение, Функциональный анализ в примерах и задачах Методическое пособие под ред ВВ Корнева Изд Саратовского ун-та, Владимиров ВС, Жаринов ВВ Уравнения математической физики М: Физматлит, 7 Владимиров ВС, Вашарин АА Сборник задач по уравнениям математической физике М: Физматлит,

4 ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов, y определен элемент + y L (называемый суммой и y), и для любого элемента L и любого (вещественного) числа α определен элемент α L, причем выполнены следующие условия: ) для любых элементов, y L + y = y+ (коммутативность сложения); ) для любых элементов, yz, L ( + y) + z = + ( y+ z) (ассоциативность сложения); ) существует элемент θ L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента L + θ = (существование нулевого элемента); 4) для любого элемента L существует элемент ( ) L (называемый обратным к ) такой, что + ( ) = θ (существование обратного элемента); 5) для любых элементов, y L и любого (вещественного) числа α α( + y) = α+ αy (дистрибутивность умножения суммы элементов на число); 6) для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента L ( α + β) = α+ β (дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент); 7) для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента L ( αβ) = α( β) (ассоциативность умножения на число); 8) для любого элемента L = (свойство единицы) Элементы. m линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие (вещественные) числа C, C,, C m, не все равные нулю, что m k = C k k = θ ; если же последнее равенство имеет место в единственном случае C = C = = C m =, то элементы. m — линейно независимы Натуральное число, называется размерностью линейного пространства, если существуют линейно независимых элементов пространства, а любые + элементов — линейно зависимы В этом случае линейное пространство называется конечномерным (мерным) Если для любого натурального можно указать линейно независимых элементов, то линейное пространство называется бесконечномерным Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов, y M определено вещественное число ρ (, y) (называемое метрикой, или расстоянием), причем выполнены следующие условия: ) для любых элементов, y M ρ( y, ), причем ρ ( y, ) = тогда и только тогда, когда элементы и y совпадают (неотрицательность метрики); ) для любых элементов, y M ρ(, y) = ρ( y, ) (симметричность метрики); ) для любых элементов, yz, M ρ(, y) ρ(, z) + ρ( y, z) (неравенство треугольника) Метрическое пространство не обязательно является линейным Последовательность элементов метрического пространства M, =,, сходится к элементу M ( при ), если ρ(, ) при

5 Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента N определено (вещественное) число (называемое нормой), причем выполнены следующие условия: ) для любого элемента N, причем = тогда и только тогда, когда = θ — нулевой элемент пространства; ) для любого элемента N и любого (вещественного) числа α α = α (неотрицательная однородность нормы); ) для любых элементов, y N + y + y (неравенство треугольника) Нормированное пространство является метрическим, если положить ρ (, y) = y Последовательность элементов нормированного пространства N, =,, сходится (по норме пространства N) к элементу при N ( при ), если Из сходимости последовательности по норме пространства следует сходимость последовательности (числовой!) норм, те если при, то при Обратное, вообще говоря, неверно Последовательность, =,, элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого ε > найдется номер K такой, что для любого K и любого натурального p выполнено неравенство + p ε Если последовательность сходится, то она фундаментальна Если же любая фундаментальная последовательность элементов сходится, то нормированное пространство называется полным Полное нормированное пространство называется банаховым Последовательность, =,, элементов нормированного пространства N называется ограниченной, если существует константа C такая, что =,, Последовательность C для всех, =,, элементов нормированного пространства N, обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной Любая компактная последовательность является ограниченной В конечномерном пространстве верно и обратное утверждение, однако, для бесконечномерных пространств это, вообще говоря, не так Линейное пространство E называется евклидовым, для любых двух элементов, y E определено вещественное число (, y ), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие условия: ) для любых элементов, y E (, y) = ( y, ) (симметричность); ) для любых элементов, yz, E ( + yz, ) = ( z, ) + ( yz, ) (аддитивность по первому аргументу); ) для любых элементов, y E и любого вещественного числа α ( α, y) = α(, y) (однородность по первому аргументу); 4) для любого E (, ), причем (, ) = тогда и только тогда, когда = θ (свойство скалярного квадрата) В евклидовом пространстве Е всегда можно ввести норму, порожденную скалярным произведением = (, ) E

6 Для любых двух элементов и y произвольного евклидова пространства выполняется неравенство Коши-Буняковского (, y) (, ) ( y, y) или (, y) y, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда элементы и y линейно зависимы Напомним определения основных встречающихся далее линейных пространств Нормированное пространство C [, ] Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [, ] функции Норма определяется как y C [, ] = m y( ), сходимость по норме пространства C [, ] — равномерная [, ] сходимость Пространство C [, ] — банахово (полное) ( p Нормированное пространство C ) [, ] Элементами этого пространства являются функции, непрерывные с производными до p-го порядка включительно на отрезке ( k ) [, ] Норма определяется как y ( p ) = m y ( ), сходимость по норме C [, ] [, ] k = ( p пространства C ) [, ] — равномерная со всеми производными до p-го порядка ( p Пространство C ) [, ] — банахово Евклидово (нормированное) пространство h [, ] Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [, ] функции Для любых двух непрерывных функций положим ( yz, ) = yzd ( ) ( ) — скалярное произведение, и введем норму, порожденную скалярным произведением p h [, ] ( ) y = y d; сходимость по норме пространства h [, ] — сходимость в среднем Пространство h [, ] не является полным Примеры решения задач Пример Доказать, что множество (вещественных) функций, непрерывных на отрезке [, ] образует (вещественное) линейное пространство (пространство C [, ]) Решение Так как сумма двух непрерывных функций, а также произведение непрерывной функции на вещественное число, также являются непрерывными функциями, то для решения задачи необходимо проверить аксиомы линейного пространства ) y ( ), z ( ) C [, ] y ( ) + z ( ) = z ( ) + y ( ); ) y ( ), z ( ), w ( ) C [, ] [ y ( ) + z ( )] + w ( ) = y ( ) + [ z ( ) + w ( )]; ) нулевым элементом пространства естественно считать y ( ) C [, ]; 4) y ( ) C [, ] существует противоположный элемент y ( ) C [, ] ; 5) y ( ), z ( ) C [, ], α α [ y ( ) + z ( )] = αy ( ) + αz ( ); 6) y ( ) C [, ], α, β ( α + β) y ( ) = αy ( ) + βy ( ); 7) y ( ) C [, ], α, β ( αβ) y ( ) = α [ βy ( )]; 8) y ( ) C [, ] y ( ) = y ( )

7 Пример Доказать, что пространство C [, ] является нормированным, если для y ( ) C [, ] определить y C [, ] = m y( ) [, ] Решение Для доказательства достаточно убедиться в корректности указанного определения нормы, те проверить аксиомы нормы ) y ( ) C [, ]: y C [, ] = m y( ), причем y C [, ] = y( ) = θ ; [, ] ) y ( ) C [, ], α : αy C [, ] = m αy( ) = α m y( ) = α y C [, ]; [, ] [, ] ) y ( ), z ( ) C [, ] : y+ z C [, ] = m y( ) + z( ) [, ] m( y ( ) + z ( ) ) m y ( ) + m z ( ) = y C [, ] + z C [, ] [, ] [, ] [, ] Пример Доказать неравенство Коши-Буняковского в пространстве h [, ] и проверить корректность определения нормы в этом пространстве () h [, ] y = y s ds Решение Неравенство Коши-Буняковского в пространстве h [, ] имеет вид ( ), ( ) [, ] ( y, z) y( ) z( ) d y ( ) d z ( ) d y z h Для доказательства рассмотрим следующее очевидное соотношение ( y+ λz, y+ λz) = ( y, y) + λ( y, z) + λ ( z, z), которое справедливо для любых двух элементов пространства y ( ), z ( ) h [, ] и любого вещественного числа λ Поэтому дискриминант квадратного (относительно λ ) трехчлена должен быть отрицательным, те 4( yz, ) 4( yy, )( zz, ), откуда и получаем требуемое неравенство: ( y, z) y( ) z( ) d ( y, y)( z, z) y ( ) d z ( ) d Замечание Приведенное доказательство может быть проведено в любом евклидовом пространстве Для проверки корректности определения нормы в пространстве h [, ] нужно убедиться в справедливости соответствующих аксиом в определении нормы ) y ( ) h [, ]: ) y ( ) h [, ], α : ) y ( ), z ( ) h [, ]: = ( ) h [, ] y y d, причем y h [, ] = y( ) = θ ; = ( ) = ( ) = h [, ] h [, ] h ; αy α y d α y d α y y+ z = ( y ( ) + z ( )) d= ( y( ) + z( ) + yz ( ) ( )) d [, ] (с учетом неравенства Коши-Буняковского) y ( ) d z ( ) d y ( ) d z ( ) d ( y ) h [, ] z h [, ], + + = + откуда получаем неравенство треугольника y+ z y [, ] h [, ] + z h h [, ] 4

8 Пример 4 Найти норму y ( ) = si+ cos ) в пространстве C[, ]; б) в пространстве h[, ] Решение а) si + cos C[, ] = m si + cos = ; б) [, ] si + cos h[, ] = (si + cos ) d = Пример 5 Доказать, что любая сходящаяся последовательность элементов нормированного пространства фундаментальна Решение Последовательность элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого ε > найдется номер K такой, что для любого K и любого натурального p выполнено + p ε Пусть последовательность элементов нормированного пространства сходится (по норме пространства N) к элементу N, тогда для любого ε > существует номер К такой, что при K и любом натуральном p одновременно выполнены два неравенства: ε ε и + p Пользуясь неравенством треугольника, получим при K и любом натуральном p = + + ε, что и требовалось + p + p + p Пример 6 Доказать, что пространство h [, ] не является полным Решение Для доказательства достаточно построить пример фундаментальной последовательности элементов пространства h [, ], которая не является сходящейся в этом пространстве Рассмотрим для определенности пространство h[,] и такую последовательность непрерывных функций (элементов этого пространства):, y( ) =,, а) Докажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве h[,] Зададим произвольное ε > и положим m>, тогда существует такое натуральное число N( ε ), для которого 5

9 m ( ) m( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) h[,] m m 4 4 y y = y y d = m d + d = + > N( ε ) = + ε, что и требовалось доказать б) Пусть последовательность y( ) сходится в пространстве h[,], те существует непрерывная функция ϕ ( ) такая, что для ε > N( ε ) и при N ( ε ) выполнено неравенство y( ) ϕ( ) ( y ( ) ( )) h[,] ϕ d ε =, N( ε ) такое, что при N ( ε ) имеем ( ( ) ψ ( )) ( ) ε y d = d = Поэтому, для ε > и m < N( ε ), N( ε )>справедливы следующие соотношения: ϕ ψ ϕ ψ получаем противоречие, а значит предположение о сходимости последовательности y( ) в пространстве h[,] неверно Итак, построенная последовательность y( ) фундаментальна в пространстве h[,], но не является сходящейся, что и требовалось доказать Пример 7 Доказать, что не всякая ограниченная последовательность в пространстве C [, ] является компактной Решение Рассмотрим пространство C [,] и последовательность элементов этого пространства y = si, =. Очевидно, y [,] = m y ( ) =, те C [,] последовательность ограничена Покажем, что никакая ее подпоследовательность не может сходиться в C [,] 6

10 Действительно, для любого номера i существует точка = [,] такая, что в i + i ней yi ( ) = si = При этом для любого k > i в этой же точке имеет место i+ k yk ( ) = si = Следовательно, y i+ i yk C[,] yi( ) yk( ) =, те никакая подпоследовательность рассматриваемой последовательности не является фундаментальной, а значит и не может сходиться 7

11 Задачи для самостоятельного решения Доказать, что пространство h [, ] является линейным ( p Доказать, что пространство C ) [, ] является линейным Доказать, что в пространстве нельзя ввести норму по формуле = rctg 4 Можно ли определить нормы следующими функциями для указанных множеств: а) y m y( ) в C [, ] ; [, + ] б) y = y( ) + m y ( ) в [, ] в) y = y( ) y( ) + m y ( ) в [, ] C () [, ]; C () [, ] 5 Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространств C [,] и C () [,] : а) y = si cos б) y = cos si в) y = г) y = 4 д) y = 6 6 Найти нормы в пространстве h [,] : а) y = si cos б) y = в) y = 7 Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта последовательность ограничена 8 Построить пример, показывающий, что из сходимости в среднем на отрезке [, ] функциональной последовательности не следует равномерная (и даже поточечная) сходимость 9 Построить пример бесконечной ортонормированной системы в пространстве h [, ] Привести пример ограниченной некомпактной последовательности в пространстве h [, ] Доказать, что последовательность y ( ) = ограничена и некомпактна в пространстве C [,] Доказать, что последовательность непрерывно дифференцируемых на [, ] функций y ( ), удовлетворяющих неравенству пространстве C[, ] h h y + y γ, γ >, является компактной в [, ] [, ] Ответы к задачам 4 а) нет; б) да; в) нет 5 а) y = C[,] 5, y = ( + ) 5 ; C () [,] y =, y = ( + ) ; C () [,] б) C[,] y =, y = 5; C () [,] в) C[,] y = 4, y = 8 ; C () [,] г) C[,] y = 9, y = 5 C () [,] д) C[,] 6 а) 5 y h[,] = ; б) y h[,] = ; в) y h[,] = 4 8

12 ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор А, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L называется линейным, если для любых элементов y и y из L и любых вещественных чисел α и α выполнено равенство A( αy+ αy) = αay+ αay Пусть DA- ( ) область определения, а R( A) — множество значений оператора А Если оператор A: y = A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, взаимно однозначный, то можно ввести обратный оператор A : A y = с областью определения DA ( ) = RA ( ) и множеством значений R( A ) = D( A) = L Нуль-пространством оператора A называется множество Ker A = < L : A = θ>Очевидно, что Ker A линейное подпространство L, причем θ Ker A Если Ker A < θ >(нуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным Определение A Оператор A называется непрерывным в точке y D( A), если для любого ε > найдется такое δ >, что для всех y D( A) и удовлетворяющих неравенству y y δ выполняется неравенство Ay Ay ε Определение Б Оператор A называется непрерывным в точке y D( A), если для любой последовательности y D( A), такой что y y, последовательность Ay сходится к Ay Определения А и Б эквивалентны Оператор A называется непрерывным на DA ( ) (на N ), если он непрерывен в каждой точке Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, если он является непрерывным в нуле Нормой линейного оператора А называется число A N sup N = Ay N Линейный оператор называется ограниченным, если существует 8 y N = sup y N = Ay N 13 Примеры решения задач Пример Докажите, что интегральный оператор Фредгольма Ay = K (, s) y( s) ds с непрерывным ядром является ограниченным при действии из C [, ] в C [, ] и найдите оценку сверху для нормы оператора Решение Пусть z ( ) = Ay K( sysds, ) ( ), где ys () — произвольная непрерывная на [, ] функция, причем y C [, ] = m y( ) = Так как ядро K(, s ) непрерывно на [, ] замкнутом ограниченном множестве (квадрате [, ] [, ]), то оно ограничено Обозначив K = m K(, s), для любого [, ] получим s, [, ] z( ) = K(, s) y( s) ds K(, s) y( s) ds m y( s) K(, s) ds y K ( ) s [, ] C [, ] Тогда Ay C [, ] = z C [, ] m z( ) y C [, ] K ( ) = K ( ), откуда следует [, ] что оператор Фредгольма с непрерывным ядром, действующий из C [, ] в C [, ], ограничен Так как доказанное выше неравенство верно для любой непрерывной функции y ( ): y =, то для нормы оператора справедлива оценка C [, ] y = = A sup Ay K ( ) Пример Докажите, что интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром является вполне непрерывным при действии из C [, ] в C [, ] Решение Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность y( ) непрерывных на [, ] функций, тогда для любого имеет место оценка y = m y ( ) M Пусть z ( ) = Ay K(, s) y ( s) ds Для решения задачи C [, ] [, ] достаточно показать, что последовательность z( ) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке [, ] а) Докажем сначала равномерную ограниченность Обозначим K = m K(, s) Тогда z ( ) K(, s) y ( s) ds K(, s) y ( s) ds M K ( ) C s, [, ] = =, что и K M требовалось доказать б) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательности z( ) Возьмем произвольные точки [, ] Имеем, z ( ) z ( ) = [ K(, s) K(, s)] y ( s) ds K(, s) K(, s) y ( s) ds M 9

14 Фиксируем произвольное ε > Функция K(, s ) непрерывна по совокупности аргументов, s на замкнутом ограниченном множестве [, ] [, ] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом множестве Поэтому для любого ε > найдется такое δ >, что ε K(, s) K(, s), если δ M ( ) Итак, для любого ε > существует δ >, что z ( ) z ( ) K(, s) K(, s) y ( s) ds K(, s) K(, s) y ( s) ds ε ε M M ( ) для всех =,, и всех [, ], удовлетворяющих неравенству δ, те, последовательность z ( ) равностепенно непрерывна По теореме Арцела, из последовательности непрерывных функций z () можно выделить равномерно сходящуюся (к непрерывной функции!) подпоследовательность Этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности z (), поэтому оператор А является вполне непрерывным при действии C [, ] C [, ] Пример Доказать, что если линейный оператор B : N N является ограниченным, а линейный оператор A : N N вполне непрерывным, то BA : N N вполне непрерывный оператор ( N, N, N нормированные пространства) Решение а) Оператор A: N N является вполне непрерывным, поэтому для любой ограниченной последовательности z N соответствующая ей последовательность Az N является компактной б) Докажем, что ограниченный оператор B: N N переводит компактную последовательность y N в компактную By N Так как y компактна, то из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся yk y N Рассмотрим последовательность By N и любую ее подпоследовательность By k Из соответствующей последовательности y N можно выделить подпоследовательность k ym y Ввиду непрерывности оператора B последовательность m Bym By N, а значит By является компактной By также сходится: Поэтому оператор BA : N N переводит любую ограниченную последовательность z N в компактную BAz N, те является вполне непрерывным Пример 4 Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве Доказать, что множество элементов пространства таких, что Ay = θ, образует замкнутое линейное подпространство (нуль-пространство оператора) Решение а) Рассмотрим произвольные элементы y и y такие, что Ay = θ и Ay = θ Тогда для любых α, α выполнено A( αy+ αy) = αay+ αay = θ, те множество элементов y : Ay = θ — линейное пространство б) Докажем его замкнутость, те если Ay = θ и y y, то Ay = θ

15 Так как А — ограниченный линейный оператор, то Ay = ( Ay Ay) + Ay Ay Ay + Ay A y y Поэтому Ay =, а значит Ay = θ, что и требовалось доказать = при Замечание Так как вполне непрерывный оператор является ограниченным, то доказанное утверждение справедливо и для вполне непрерывного оператора Пример 5 Доказать, что если линейный оператор А имеет обратный, то обратный оператор также является линейным A Решение Пусть A — взаимно однозначный оператор, тогда существует обратный оператор A Для решения задачи достаточно проверить при любых y, y R( A) и любых α, α справедливость равенства A ( αy+ αy) = αa y+ αa y Пусть A = y, A = y, тогда из линейности оператора А следует A( α + α ) = α A + α A = α y + α y, и по определению обратного оператора С другой стороны, α+ α= A ( αy+ αy) =, =, откуда умножая на, αa y+ αa y = α+ α A ( αy αy) α α αa y αa y A y A y Из двух последних равенств имеем требовалось доказать α α и складывая, получим + = + = +, что и Пример 6 Доказать, что если оператор А линейный, то обратный оператор существует тогда и только тогда, когда оператор A невырожденный Решение а) Достаточность Пусть оператор А невырожденный, те A = θ = θ (нульпространство оператора А тривиально) Тогда для любых двух элементов имеем A ( ) θ A A, те оператор А взаимно однозначный, а значит существует обратный оператор A б) Необходимость Пусть оператор А имеет обратный A Заметим; что A — линейный оператор (см пример 5) и докажем что А — невырожденный Пусть это не так, те существует θ такой, что A = θ Тогда θ = A A= A ( A) = A θ = θ Полученное противоречие показывает, что если A = θ = θ, то = θ, те оператор А — невырожденный A d Пример 7 Пусть оператор дифференцирования A = определен на подпространстве d () C [,] непрерывно дифференцируемых функций y, ( ) удовлетворяющих условию y () = Доказать, что оператор A имеет обратный и найти Решение Множеством значений оператора А является пространство C [,] Докажем, что d обратный оператор A существует Так как уравнение Ay = θ y( ), y() = d A

16 имеет единственное решение y ( ) = θ, те нуль-пространство оператора А тривиально, то оператор А невырожденный, и обратный оператор A существует Чтобы найти A, нужно для любой функции z ( ) C[,] решить уравнение () d Ay = z ( y( ) C [,]), или y ( ) = z ( ), y () = Решением указанной задачи Коши d является y ( ) = zsds ( ), те A z = z() s ds d Замечание Если рассматривать оператор дифференцирования A = при действии d C () [,] C[,], то он является вырожденным, так как нуль-пространство в этом случае нетривиально и состоит из функций y ( ) = c Поэтому обратный оператор не существует Вспомните, что первообразная непрерывной функции определяется с точностью до d постоянной (элемент из Ker A (нуль-пространства) оператора A = ), те отображение d C () [,] C[,], осуществляемое оператором дифференцирования, не является взаимно однозначным Пример 8 Доказать, что если оператор A, действующий в бесконечномерном нормированном пространстве является вполне непрерывным, то обратный оператор неограничен Решение Предположим, что обратный оператор A является ограниченным Так как А — вполне непрерывный оператор, а по предположению, оператор A является ограниченным, то оператор A A является вполне непрерывным (см пример ), что неверно, так тождественный оператор A A= I не является вполне непрерывным (см курс лекций) Полученное противоречие доказывает, что A — неограничен Пример 9 Рассмотрим оператор Вольтерра By = y() s ds ( [,]), действующий в пространстве C [,] а) Доказать, что В является ограниченным б) Доказать, что В имеет обратный оператор, который определен на некотором подпространстве и неограничен в) Построить оператор ( I B) Решение а) Очевидно, что оператор В является линейным и определен на всем пространстве C [,] Рассмотрим множество y = m y( ) = На этом множестве имеем C[,] [,] [,] [,] By = m ysds ( ) m ys ( ) ds рассматриваемого оператора, что и доказывает ограниченность б) Оператор В отображает все пространство C [,] на линейное подпространство непрерывно дифференцируемых функций z ( ) = By= ysds ( ), удовлетворяющих условию

17 z () = Так как из равенства ysds= () (верного при [,] ) следует, что y ( ), то By = θ y = θ, те нуль-пространство оператора В содержит только нулевой элемент, оператор В — невырожденный, а значит имеет обратный, который определен на указанном выше подпространстве Обозначим DA ( ) — область определения оператора A Легко видеть, что d B By = y s ds = y d () () B =, так как d d BB y = y s ds= y y = y () () () () и Докажем, что обратный оператор неограничен Рассмотрим последовательность y D( A ) C[,] : y( ) = si, ( y() =. ), y C[,] =, =,, Тогда d B y = =, те C[,] m [,] si d B оператор является неограниченным sup B y y D( A ), y = не существует и Замечание Действуя аналогично примеру, можно показать, что рассматриваемый оператор Вольтерра является вполне непрерывным, следовательно, обратный оператор неограничен (пример 8) в) Чтобы построить оператор функции z ( ) решить уравнение ( I ) B, нужно для произвольной непрерывной y ( ) ysds ( ) = z ( ) Заметим сразу, что y() = z() Так как z ( ) может не быть дифференцируемой, то ищем решение в виде y ( ) = z ( ) + w ( ), где w ( ) — новая неизвестная функция, для которой имеем Очевидно, что ( ) w( ) = z( s) ds + w( s) ds, w() = w дифференцируема; для ее определения получаем задачу Коши w ( ) = w( ) + z( ), w() =, решение которой имеет вид ( I ) s w ( ) = e zse ( ) ds Поэтому B определяется формулой Замечание Рассмотрим оператор s y ( ) = z ( ) + e zse ( ) ds, и обратный оператор s ( I B) z z( ) z( s) e ds = + t () () ( ) () Легко B y = dt y s ds= y s ds dt = s y s ds s показать, например, методом математической индукции, что t + ( t s) ( t s) ( s) B y = BB y = dt y() s ds = y() s ds dt = y() s ds ( )! ( )!! Далее, разложив функцию s s e в ряд ( s) + s ( s) e =, будем иметь! ( I B) z = z( ) + z( s) ds= z+ B z Таким образом, мы получили! представление оператора ( I B) в виде ряда Неймана I B I B ( ) = +

18 d Пример Доказать, что оператор дифференцирования A = d а) не является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] ; б) является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] Решение а) Рассмотрим в C () [,] последовательность cos y =, =. Эта последовательность ограничена в C () [,], так как для любого номера имеем y = m y ( ) m ( ) () [,] + y C = + такая, что y = m y ( ) m ( ) m ( ) () [,] + y C + y M [,] [,] [,] для любого номера Заметим, что отсюда вытекают два неравенства: m y ( ) M и m y ( ) M [,] [,] d Рассмотрим последовательность z( ) = Ay = y( ) Все функции z( ) d непрерывны, причем, ввиду сделанного замечания, последовательность z( ) = y ( ) равномерно ограничена Докажем, что последовательность z ( ) равностепенно непрерывна Действительно, ε так как m y ( ) M, то для любого ε > найдется такое δ, что 19 5 Доказать, что нелинейный интегральный оператор является непрерывным и sup Ay , что для любого элемента y выполнено неравенство Ay C y 8 Доказать, что оператор дифференцирования, действующий из C () [, ] в C [, ], является ограниченным 9 Доказать, что оператор дифференцирования, определенный на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций пространства C [, ] и действующий из C [, ] в C, [, ] не является ограниченным Доказать, что если A — линейный ограниченный оператор, действующий A: N N, где N и N нормированные пространства, причем A, то A > а) Доказать, что линейный оператор А имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, если существует число m > такое, что для всех y DA ( ) выполнено Ay m y б) Доказать, что в этом случае норма обратного оператора равна A =, где М — максимальное из M возможных значений m, найденных в п а) Доказать, что если линейный оператор B: N N является вполне непрерывным, а линейный оператор A: N N ограниченный, то BA : N N — вполне непрерывный оператор ( N, N, N нормированные пространства) Сравнить с результатом примера Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h [, ] в C [, ], является вполне непрерывным оператором 4 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h [, ] в h [, ], является вполне непрерывным оператором 5 Доказать, что интегральный оператор Вольтерра By = K(, s) y( s) ds является вполне непрерывным при действии C [, ] C [, ] 6 Доказать, что оператор умножения на : Ay = y( ), действующий C [, ] C [, ], не является вполне непрерывным 7 Доказать, что единичный оператор, действующий в пространстве C [, ], не является вполне непрерывным 8 Доказать, что интегральный оператор ys () Ay = ( s) ds действии C[,] C[,] 9 Доказать, что дифференциальный оператор d Ay= y ( ) + 4 y ( ), d действующий () () C [,] C[,] ( C [,] — подпространство непрерывно дифференцируемых на [,] функций, удовлетворяющих условию y () =, с нормой пространства C () [,] ), имеет ограниченный обратный, и найти его Ответ: 4( s) A y = e y() s ds 5

20 ТЕМА Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным к оператору А, если y, y E (, ) (, ) Ay y = y A y Если A = A, то оператор А называется самосопряженным Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве L Число Λ называется собственным значением оператора A, если существует элемент y θ такой, что Ay =Λ y Элемент y называется собственным вектором Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению Λ, является подпространством пространства L Число λ = ( Λ ) называется характеристическим числом оператора A Λ Теорема Самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий в бесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором, соответствующим собственному значению Λ : Λ = A Это собственное значение является максимальным по модулю среди всех собственных значений оператора А Теорема, вообще говоря, не верна, если отказаться от условий самосопряженности или вполне непрерывности оператора (см примеры в конце темы) Элемент е называется максимальным элементом (вектором) оператора A, если e = и Ae = A Самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладает максимальным вектором Если z — максимальный вектор самосопряженного оператора А, то z -собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению Λ= A = M Если оператор A обладает собственным вектором z, соответствующим собственному значению M, то оператор А имеет собственный вектор, соответствующий собственному значению M или M Теорема Пусть ядро K (, s) оператора Фредгольма Ay = K(, s) y( s) ds h[, ] h[, ] является вещественным, симметрическим, непрерывным по совокупности переменных (, s) [, ] [, ], и не равно тождественно нулю Тогда оператор Фредгольма обладает собственным значением Λ, Λ : Ay = Λy, y, y h[, ] Иногда удобнее использовать характеристические числа: λ =, Λ Тогда в Λ утверждении теоремы следует записать λ A y = y Теорема Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны 6

21 Теорема Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора A, удовлетворяющих условию: A Λ δ >, (δ — фиксированное положительное число) конечно Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению, называется кратностью собственного значения Теорема Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов Нулевому собственному значению может отвечать как конечное, так и бесконечное число линейно независимых собственных векторов Теорема а) Множество собственных значений самосопряженного вполне непрерывного оператора А, действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве, представляет собой: либо бесконечную последовательность, тогда A = Λ Λ Λ — монотонно невозрастающая и ограниченная снизу нулем; либо конечную последовательность, тогда A = Λ Λ Λ > Λ + = (каждое собственное значение повторяется в эти неравенствах столько раз, какова его кратность) б) Если ненулевых собственных значений бесконечно много, то Λ в) Каждому собственному значению отвечает хотя бы один собственный вектор, причем можно выбрать собственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему (собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям ортогональны, а собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта) Для характеристических чисел вполне непрерывного самосопряженного оператора справедливы аналогичные результаты: либо λ λ λ (конечная последовательность характеристических чисел); либо λ λ λ (бесконечная последовательность характеристических чисел) В этом случае lim λ = Каждому характеристическому числу λ можно сопоставить собственный вектор ϕ, причем векторы < ϕ >образуют ортонормированную систему Аналогичные утверждения верны для интегрального оператора с непрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром В этом случае вместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегрального оператора или собственные функции ядра K (, s) Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор со следующей последовательностью характеристических чисел (неважно, конечной или бесконечной) : λ λ λ, которым соответствует ортонормированная последовательность собственных векторов ϕ, ϕ,, ϕ, Теорема Вектор y принадлежит нуль-пространству оператора А ( y Ker A ) тогда и только тогда, когда ( y, ϕ k ) = k =,, ( ϕ k — конечная или бесконечная последовательность) Теорема Гильберта-Шмидта Функция f () называется истокопредставимой через ядро K (, s), если существует непрерывная функция g () такая, что f ( ) = K(, s) g( s) ds Если функция f () истокопредставима через симметрическое 7

22 непрерывное ядро K (, s), то она может быть разложена в ряд f ( ) = f ϕ ( ), где f = ( f, ϕ ) = f( s) ϕ ( s) ds, причем этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [, ] k k k Можно рассматривать оператор Фредгольма в пространстве непрерывных C комплекснозначных функций h [, ], состоящем из комплекснозначных функций вещественной переменной : y( ) = u( ) + i v( ) [, ], функции u(), v() непрерывные на [,] вещественные функции В этом пространстве скалярное произведение вводится так: (, y = y ) ( ) y y ( ) d (здесь * k = k — знак комплексного сопряжения) Теорема Пусть интегральный оператор с непрерывным симметрическим вещественным ядром K (, s) действует в комплексном пространстве h C [,] Тогда этот оператор может иметь только вещественные собственные значения Если ядро K(,s) является вырожденным, те представимо в виде K(, s) = ( ) ( s), где ( ),, ( ) и ( s),, ( )- линейно независимы и j= j j s непрерывны по своим аргументам на [, ], то интегральный оператор является вырожденным В этом случае и у него всегда есть нулевое собственное значение, причем кратность его равна Отыскание других собственных значений сводится к решению эквивалентной алгебраической задачи на собственные значения и собственные векторы для некоторой матрицы c Λ ci = cj j( ) i( ) d, i =. или K C = Λ C, где K = < kij>i, j=, C = j= c kij Собственные значения Λ матрицы К и, следовательно, собственные значения (и характеристические числа λ = ) интегрального оператора Фредгольма теперь можно Λ найти, решив характеристическое уравнение det( K ΛI) = Некоторые задачи на нахождение характеристических чисел и собственных функций оператора Фредгольма с непрерывным невырожденным ядром рассмотрены также в примерах к теме 7 k 8

23 Примеры решения задач Пример Пусть M — подпространство евклидова пространства, инвариантное относительно самосопряженного оператора А Доказать, что ортогональное дополнение M подпространства М также инвариантно относительно оператора А Решение Рассмотрим любые элементы y M, z M, те ( yz, ) = Подпространство М инвариантно относительно оператора А, что означает Ay M для любого y M, те ( Ay, z ) = Нужно доказать, что Az M Оператор А — самосопряженный, поэтому ( Ay, z) = ( y, Az) =, те элемент Az ортогонален любому y M, следовательно Az M, что и требовалось доказать Пример Доказать, что норма вполне непрерывного самосопряженного оператора может быть найдена по формуле A = sup ( Ay, y) y = y = Решение Обозначим µ = sup ( Ay, y) и докажем, что указанная точная верхняя грань существует Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, получим ( Ay, y) Ay y A y = A, откуда следует существование sup ( Ay, y) и = = оценка µ = sup ( Ay, y) A y y = Докажем теперь, что справедливо неравенство µ A Для любого элемента у y = имеет норму, равную единице, поэтому ( Ay, y) sup ( Ay, y ) = µ, откуда y y = получаем ( Ay, y) µ y Пользуясь линейностью оператора А, свойствами скалярного произведения и равенством ( Ay, z) = ( y, Az) (определение самосопряженного оператора), нетрудно получить 4( Ay, z) = ( A( y + z), y + z) ( A( y z), y z) Из этого равенства с учетом полученной выше оценки, имеем 4 ( Ay, z) = ( A( y+ z), y+ z) ( A( y z), y z) ( A( y+ z), y+ z) + ( A( y z), y z) µ y+ z + µ y z = µ ( y + z ) Поэтому для произвольных элементов Ay пространства таких, что y =, z =, верно ( Ay, z ) µ Полагая z =, Ay получим ( Ay, Ay ) = Ay µ для любых у, таких что y =, откуда следует A µ Ay Итак, µ A µ, поэтому A = µ = sup ( Ay, y), что и требовалось y = Замечание Обратившись к теореме о существовании собственного вектора вполне непрерывного самосопряженного оператора, можно заключить, что если в рассмотренной задаче оператор А — вполне непрерывный, то максимальное по модулю собственное значение его удовлетворяет соотношению Λ = A = sup ( Ay, y) y = y = 9

24 Пример Рассмотрим оператор умножения Ay = ( ) y( ), действующий в пространстве h [,] а) Доказать, что указанный оператор является ограниченным и найти его норму б) Доказать, что у него нет максимального вектора Решение а) Напомним, что нормой линейного оператора называется число Рассмотрим в пространстве h [,] множество функций Тогда h[,] Ay = ( ) y( d ) y( d ) = A = sup Ay y = ( ): h[,] = ( ) = y y y d, поэтому оператор ограничен и для нормы оператора получаем оценку A Докажем, что норма рассматриваемого оператора равна Для этого достаточно построить последовательность y( ) непрерывных функций такую, что Ay h[,] ( ), Пусть y( ) =, Непосредственным вычислением легко проверить, что y h [,] = и h[,] Ay = ( ) ( ) d = Поэтому A = б) Докажем, что у рассматриваемого оператора в пространстве [,] h нет максимального вектора Напомним, что элемент y: y = называется максимальным вектором ограниченного оператора, если Ay = A Предположим, что y ( ): y = является максимальным вектором рассматриваемого оператора, тогда y = y ( ) d=, равенства, получим > Ay = ( ) y ( ) d = A = Вычитая последние два [ ( ) ] y ( ) d=, что невозможно Таким образом, сделанное предположение неверно, те максимального вектора у оператора нет Замечание Рассмотренный оператор умножения в пространстве h [,] является самосопряженным, но не вполне непрерывным, поэтому теорема о существовании максимального вектора в данном случае неприменима Пример 4 Пусть K ϕ ϕ (, s) = K(, s), где ϕ — нормированная собственная λ ( ) ( ) ( s) функция оператора Фредгольма Ay = K(, s) y( s) ds с непрерывным симметрическим

25 ядром, отвечающая характеристическому числу λ Рассмотрим интегральный оператор () A с ядром K () (, s ): () A y = K () (, s) y( s) ds Доказать, что: а) все собственные функции ϕ,, ϕ, оператора А, отвечающие характеристическим () числам λ λ, являются также собственными функциями оператора A, соответствующими тем же характеристическим числам λ λ ; б) оператор λ = ; () A не имеет других характеристических чисел, отличных от k, k,,4, в) функция ϕ также является собственной функцией оператора A (), соответствующей () нулевому собственному значению ядра K (, s) () Решение Так как ядро оператора А непрерывно и симметрично, то и ядро K (, s) () удовлетворяет тем же условиям, те оператор A является вполне непрерывным и () самосопряженным Заметим также, что действие оператора A можно представить в () ( ) ( s) следующем виде: A y = [ K(, s) ϕ ϕ ] y( s) ds= Ay ϕ ( ϕ, y) λ λ Напомним, что собственные функции самосопряженного оператора образуют ортогональную систему, и Aϕ k = K(, s) ϕk( s) ds = ϕk Будем считать также, что λ ϕk = ϕk( ) d = а) Для любой собственной функции ϕ k, k =,,4, оператора A имеем () () ϕ( ) ϕ( s) A ϕk = K (, s) ϕk( s) ds = K(, s) ϕk( s) ds ϕk( s) ds = ϕk( ) = ϕk( ) λ λ λ, те ϕ k является собственной функцией оператора характеристическому числу λ k k k () A, соответствующей б) Пусть () λ — характеристическое число оператора A, а ϕ — отвечающая ему () собственная функция, те A ϕ = ϕ Докажем, что λ является также λ характеристическим числом оператора A, те совпадает с одним из λ k, k =,,4, Действительно () () ϕ( ) ϕ( s) ϕ = λa ϕ = λk (,) s ϕ() s ds = λk(,) s ϕ() s ds λ ϕ() s ds = λa ϕ = λa, ϕ λ те λ является характеристическим числом оператора A, что и требовалось Здесь было использовано неочевидное (так как ϕ k и ϕ — собственные функции различных операторов. ) соотношение ϕ () s ϕ() s ds = ( ϕ, ϕ) = ( ϕ, λa ϕ) = λ( ϕ, A ϕ) = ( A cамосопряженный) = λ( A ϕ, ϕ) = () () () () ( ϕ, ϕ) ϕ ( ϕ, ϕ) = λ ( Aϕ, ϕ) ( ϕ, ϕ) = λ, ϕ = λ λ λ = k

26 ϕ A ϕ = Aϕ ( ϕ, ϕ ) = ϕ ( ) ϕ ( ) = ϕ ( ), следовательно ϕ — собственная () в) λ λk λk () функция оператора A, отвечающая собственному значению Λ = Пример 5 Доказать, что оператор умножения на : Ay = y( ), действующий в пространстве h [,] а) является самосопряженным; б) не имеет собственных значений Решение ), те А — самосопряженный ( Ay, z) = [ y( )] z( ) d = y( ) [ z( )] d = ( y, Az) б) Рассмотрим уравнение Ay y( ) = λ y( ) ( λ) y( ) =, откуда получаем y ( ) Итак, при любом λ уравнение Ay = λ y имеет только тривиальное решение, что и означает отсутствие собственных значений у оператора А Замечание Рассматриваемый оператор не является вполне непрерывным (см задачу 6), поэтому теорема о существовании собственного вектора в данном случае неприменима Пример 6 Доказать, что оператор Вольтерра пространстве h [,] : а) является вполне непрерывным; б) не имеет собственных значений Ay = y() s ds ( [,]), действующий в Решение а) Докажем сначала, что А — вполне непрерывный оператор при действии h[,] C[,] Рассмотрим ограниченную последовательность y h[,] : y = y ( ) d M, =. и последовательность h[,] z ( ) Ay y ( s) ds = = Докажем равномерную ограниченность z( ) в пространстве C [,] Действительно, z( ) = y( s) ds = y( s) ds ds y( s) ds ds y( s) ds M сразу для всех [,] и всех =. откуда следует z C[,] = sup z( ) M, что и [,] требовалось Докажем равностепенную непрерывность последовательности () Возьмем произвольные точки, [,] Имеем = = z ( ) z ( ) y () s ds y () s ds y () s ds ds y () s ds ( ) y () s ds M z M

27 Фиксируем произвольное ε > и возьмем ε 28 Пример 8 Найти характеристические числа и построить ортонормированные собственные функции однородного уравнения Фредгольма с непрерывным вырожденным симметрическим ядром y ( ) = λ si( + s) ysds ( ) Решение Ядро исследуемого оператора симметрическое и непрерывное, следовательно, оператор Фредгольма в данной задаче является вполне непрерывным и самосопряженным Представим ядро виде K(, s) = si( + s) = si cos s+ cos si s и обозначим cos sy ( s ) ds =, si sy ( s ) ds = Тогда y ( ) = λsi+ λcos, где = cos s y( s) ds = λ cos s( si s+ cos s) ds = λ, = si s y( s) ds = λ si s( si s+ cos s) ds= λ λ = Однородная система имеет нетривиальные решения при условии λ = λ ( ) λ λ = = λ =, откуда определяем характеристические числа λ = и λ = При λ = имеем =, те собственная функция ( ) (si cos ) y = C + ; при λ = получаем =, и собственная функция ( ) (si cos ) y = C Так как собственные функции, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то искомая ортонормированная система есть ϕ( ) = (si+ cos ), ϕ( ) = (si cos ) Пример 9 Если для любых, s [, ] имеет место равенство K(, s) = K( s, ), то ядро K(, s ) называется кососимметрическим Показать, что все отличные от нуля собственные значения оператора Фредгольма Ay = K(, s) y( s) ds, [, ] с вещественным кососимметрическим ядром — чисто мнимые числа Решение Пусть Λ — одно из собственных значений, те K(, s) y( s) ds =Λy( ), где y ( ) / — соответствующая собственная функция (возможно, комплекснозначная) Так 4

29 как ядро вещественно, то имеет место также K(, s) y ( s) ds =Λ y ( ), где знак * означает комплексное сопряжение Умножим второе уравнение на y, ( ) а первое — на комплексно сопряженную функцию y ( ), и проинтегрируем по отрезку [, ] Получим: ( ) ( ) (, ) ( ) Λ y d = y d K s y s ds, ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) Λ y d = y d K s y s ds = y s ds K s y d Меняя обозначения переменных интегрирования в последнем интеграле и учитывая, что K(, s) = K( s, ) приходим к соотношению ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) Λ y d = y d K s y s ds = y d K s y s ds Складывая первое и последнее равенства, найдем y ( ) /, то Λ = Λ, те либо Λ=, либо является чисто мнимым ( Λ +Λ ) y ( ) d= Так как Замечание Напомним, что все собственные значения самосопряженного оператора — вещественные числа В рассмотренном случае интегральный оператор Фредгольма не является самосопряженным, поэтому собственные значения могут не быть вещественными (в данном примере все ненулевые собственные значения оказались чисто мнимыми) Пример Найти характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с вырожденным кососимметрическим ядром Решение уравнения Ay = ( s) y( s) ds, [,] Требуется найти такие λ, при которых существуют нетривиальные решения y ( ) = λ ( sysds ) ( ) Обозначим y( s), C = ysds (), C = sysds () тогда y ( ) = λ( C C), и для определения C, C получим соотношения λ λ λ C = λ ( Cs C) ds= C λc, C = λ s ( Cs C ) ds C C =, y( s) откуда λ C+ λc = λ λ C + + C = Нетривиальные решения системы существуют при условии λ λ det = λ + = λ =+ i, λ = i λ λ + 5

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.