Волков ягола интегральные уравнения методы решения задач

«Физический факультет В. Т. Волков, А. Г. Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов 2 курса физического факультета . »

Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

Методы решения задач

Учебное пособие для студентов 2 курса

ЛИТЕРАТУРА

Основная 1. Ягола А.Г. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. (общий курс).

Курс лекций опубликован в Интернет:

2. Васильева А.Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

4. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А.

Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление.

М.: Физматлит, 2003.

Дополнительная 1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

2. Г.Е. Шилов. Введение в теорию линейных пространств.

3. В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. Методы решения задач по функциональному анализу. Киев: Выща школа, 1991.

4. М.М. Вайнберг. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

5. Функциональный анализ в примерах и задачах. Методическое пособие под ред.

В.В. Корнева. Изд. Саратовского ун-та, 1998.

6. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики.

М.: Физматлит, 2001.

7. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физике. М.: Физматлит, 2001.

ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент x + y L (называемый суммой x и y), и для любого элемента x L и любого (вещественного) числа определен элемент x L, причем выполнены следующие условия:

1) для любых элементов x, y L x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) для любых элементов x, y, z L ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (ассоциативность сложения);

3) существует элемент L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента x L x + = x (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента x L существует элемент ( x) L (называемый обратным к x) такой, что x + ( x) = (существование обратного элемента);

5) для любых элементов x, y L и любого (вещественного) числа ( x + y ) = x + y (дистрибутивность умножения суммы элементов на число);

6) для любых (вещественных) чисел и и любого элемента x L ( + )x = x + x (дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент);

7) для любых (вещественных) чисел, и любого элемента x L ( ) x = ( x) (ассоциативность умножения на число);

8) для любого элемента x L 1 x = x (свойство единицы).

Элементы x1, x2. xm линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие (вещественные) числа C1, C2. Cm, не все равные нулю, что m C x = ; если же последнее равенство имеет место в единственном случае k k k = C1 = C2 =. = Cm = 0, то элементы x1, x2. xm — линейно независимы.

Натуральное число n, называется размерностью линейного пространства, если существуют n линейно независимых элементов пространства, а любые n + 1 элементов линейно зависимы. В этом случае линейное пространство называется конечномерным (nмерным).

Если для любого натурального n можно указать n линейно независимых элементов, то линейное пространство называется бесконечномерным.

Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов x, y M определено вещественное число ( x, y ) (называемое метрикой, или расстоянием), причем выполнены следующие условия:

( x, y ) 0, причем ( x, y ) = 0 тогда и только 1) для любых элементов x, y M тогда, когда элементы x и y совпадают (неотрицательность метрики);

( x, y ) = ( y, x) (симметричность метрики);

2) для любых элементов x, y M 3) для любых элементов x, y, z M ( x, y ) ( x, z ) + ( y, z ) (неравенство треугольника).

Метрическое пространство не обязательно является линейным.

Последовательность элементов метрического пространства xn M, n = 1, 2.

Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента x N определено (вещественное) число || x || (называемое нормой), причем выполнены следующие условия:

1) для любого элемента x N x = — нулевой элемент пространства;

2) для любого элемента x N и любого (вещественного) числа || x || = | | || x || (неотрицательная однородность нормы);

3) для любых элементов x, y N || x + y || || x || + || y || (неравенство треугольника).

Последовательность элементов нормированного пространства xn N, n = 1, 2.

сходится (по норме пространства N) к элементу x0 N ( xn x0 при n ), если Из сходимости последовательности xn по норме пространства следует сходимость последовательности (числовой!) норм, т.е. если xn x0 при n, то || xn || || x0 || при n. Обратное, вообще говоря, неверно.

Последовательность xn, n = 1, 2. элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого 0 найдется номер K такой, что для любого n K и любого натурального p выполнено неравенство || xn + p xn ||.

Если последовательность сходится, то она фундаментальна. Если же любая фундаментальная последовательность элементов сходится, то нормированное пространство называется полным.

Полное нормированное пространство называется банаховым.

Последовательность xn, n = 1, 2. элементов нормированного пространства N называется ограниченной, если существует константа C такая, что || xn || C для всех n = 1, 2.

Последовательность xn, n = 1, 2. элементов нормированного пространства N, обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной.

Любая компактная последовательность является ограниченной. В конечномерном пространстве верно и обратное утверждение, однако, для бесконечномерных пространств это, вообще говоря, не так.

Линейное пространство E называется евклидовым, для любых двух элементов x, y E определено вещественное число ( x, y ), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие условия:

3) для любых элементов x, y E и любого вещественного числа ( x, y ) = ( x, y ) (однородность по первому аргументу);

4) для любого x E ( x, x) 0, причем ( x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = (свойство скалярного квадрата).

В евклидовом пространстве Е всегда можно ввести норму, порожденную скалярным произведением || x ||E = ( x, x).

Для любых двух элементов x и y произвольного евклидова пространства выполняется неравенство Коши-Буняковского ( x, y ) 2 ( x, x) ( y, y ) или | ( x, y ) | || x || || y ||, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.

Напомним определения основных встречающихся далее линейных пространств.

1. Нормированное пространство C[a, b]. Элементами этого пространства являются y C [ a,b ] = max | y ( x) |, сходимость по норме пространства C[a, b] — равномерная сходимость. Пространство C[a, b] — банахово (полное).

Нормированное пространство C ( p ) [a, b]. Элементами этого пространства являются функции, непрерывные с производными до p-го порядка включительно на отрезке пространства C ( p ) [a, b] — равномерная со всеми производными до p-го порядка.

Пространство C ( p ) [a, b] — банахово.

3. Евклидово (нормированное) пространство h[a, b]. Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [a, b] функции. Для любых двух непрерывных функций положим ( y, z ) = y ( x) z ( x)dx — скалярное произведение, и введем норму, пространства h[a, b] — сходимость в среднем. Пространство h[a, b] не является Пример 1.1. Доказать, что множество (вещественных) функций, непрерывных на отрезке [a, b] образует (вещественное) линейное пространство (пространство C[a, b] ).

Решение. Так как сумма двух непрерывных функций, а также произведение непрерывной функции на вещественное число, также являются непрерывными функциями, то для решения задачи необходимо проверить аксиомы линейного пространства.

3) нулевым элементом пространства естественно считать Пример 1.2. Доказать, что пространство C[a, b] является нормированным, если для y ( x) C[a, b] определить y C [ a,b ] = max | y ( x) |.

Решение. Для доказательства достаточно убедиться в корректности указанного определения нормы, т.е. проверить аксиомы нормы.

Пример 1.3. Доказать неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] и проверить Решение. Неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] имеет вид элементов пространства y ( x), z ( x) h[a, b] и любого вещественного числа. Поэтому дискриминант квадратного (относительно ) трехчлена должен быть отрицательным, т.е.

4( y, z ) 2 4( y, y )( z, z ) 0, откуда и получаем требуемое неравенство:

Замечание. Приведенное доказательство может быть проведено в любом евклидовом пространстве.

Для проверки корректности определения нормы в пространстве h[a, b] нужно убедиться в справедливости соответствующих аксиом в определении нормы.

Пример 1.4. Найти норму y ( x) = sin x + cos x a) в пространстве C[0, 2 ] ;

б) в пространстве h[0, 2 ].

Пример 1.5. Доказать, что любая сходящаяся последовательность элементов нормированного пространства фундаментальна.

Решение. Последовательность xn элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого 0 найдется номер K такой, что для любого n K и любого натурального p выполнено || xn + p xn ||.

Пусть последовательность xn элементов нормированного пространства сходится (по норме пространства N) к элементу x0 N, тогда для любого 0 существует номер К такой, что при n K и любом натуральном p одновременно выполнены два неравенства:

Пользуясь неравенством треугольника, получим при n K и любом натуральном p || xn + p xn ||=|| xn + p x0 + x0 xn || || xn + p x0 || + || xn x0 ||, что и требовалось.

Пример 1.6. Доказать, что пространство h[a, b] не является полным.

Решение. Для доказательства достаточно построить пример фундаментальной последовательности элементов пространства h[a, b], которая не является сходящейся в этом пространстве.

Рассмотрим для определенности пространство h[1,1] и такую последовательность непрерывных функций (элементов этого пространства):

Докажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве h[1,1].

Зададим произвольное 0 и положим m n, тогда существует такое натуральное число N ( ), для которого при m n N ( ) = + 1, что и требовалось доказать.

б) Пусть последовательность yn ( x) сходится в пространстве h[1,1], т.е. существует непрерывная функция ( x) такая, что для 0 N1 ( ) и при n N1 ( ) выполнено неравенство Рассмотрим разрывную функцию соотношения:

(здесь использовано неравенство Коши-Буняковского) Ввиду произвольности выбора 0 получаем противоречие, а значит предположение о сходимости последовательности yn ( x) в пространстве h[1,1] неверно.

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Сборник лабораторных работ по дисциплинам: Геофизические исследования скважин и Промысловая геофизика Часть I Методические указания для студентов специальностей 130201 Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых, 130304 Геология нефти и газа, 130503 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра физического материаловедения и лазерных технологий УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Основы кристаллографии и физики кристаллов Основной образовательной программы по специальности 010701.65 – Физика (Специализация Физическое материаловедение, Информационные технологии в образовании и. »

«Учреждение образования Белорусский государственный медицинский университет Кафедра поликлинической терапии ТЕМА: Дифференциальная диагностика болей в грудной клетке. Некоронарогенные заболевания сердца: амбулаторная диагностика, принципы лечения, врачебная тактика, медикосоциальная экспертиза, диспансеризация, профилактика МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для студентов 5 курса лечебного факультета и МФИУ Утверждено на методическом совещании кафедры _ 2012 г. Протокол № Общие требования к проведению. »

«Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет Кафедра физической химии А.А. Кубасов Химическая кинетика и катализ. Часть 2. Теоретические основы химической кинетики Допущено Советом по химии УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов химических факультетов университетов, обучающихся по специальности 011000 – Химия и направлению 510500 — Химия Москва 2005 г. Рецензент: доктор химических наук, ведущий научный. »

«Владимирский государственный университет ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ Методические указания в двух частях Часть 1 Владимир 2004 Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра технологии переработки пластмасс ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ Методические указания в двух частях Часть 1 Составитель Н.А. КОЗЛОВ Владимир УДК 678.64 (076.5) Рецензент Кандидат химических наук, доцент. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра радиофизики ПРАКТИКУМ ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА АВТОМАТИЗАЦИИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ УСТАНОВОК Методические указания к вводной лабораторной работе Новосибирск 2010 Работа является введением в практикум и даёт общее представление об автоматизации экспериментов, формулирует и описывает основные понятия, применяемые в данной области. Составитель А. М. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Нойкин Ю.М., Нойкина Т.К., Прищенко А.М., Синявский Г.П. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению специального лабораторного практикума Радиофизика и электроника (специальность 013800, радиофизика и электроника) Часть 13 МИКРОПОЛОСКОВАЯ ЛИНИЯ Ростов-на-Дону 2005 Кафедра прикладной электродинамики и компьютерного моделирования. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров Ю.Г. Пастушенков 30 апреля 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Специальный физический практикум — 2 для студентов 1 и 2 курса очной формы обучения Направление подготовки магистров 011200.68 – Физика Специализированная программа подготовки магистров Физика. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Уральский Государственный Экономический университет ФИЗИЧЕСКАЯ и КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ и ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА Задания для самостоятельной работы студентов специальностей ТНТ и ТЭТД Екатеринбург 2006 Составитель: Г.М.Белышева Рецензент: Л.Г.Протасова 2 Введение Контрольные задания для самостоятельной работы по курсу Физическая, коллоидная химия и физико-химические методы контроля качества составлены в соответствии с программой курса. »

«Международный университет природы, общества и человека Дубна Кафедра Ядерной физики ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ОПТИКА Дубна, 2006 Лабораторный практикум по общей физике. Оптика. / А.В. Карпов, Н.И. Ескин, И.С. Петрухин, под редакцией Г.Р. Лошкина. Технический редактор А.С. Деникин. В учебное пособие включены описания 11 лабораторных работ по общей физике (раздел Оптика). Работы и методические указания к ним разработаны сотрудниками университета Дубна и МФТИ под редакцией профессора. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

«В. Т. Волков, А. Г. Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. (курс лекций) Предисловие Учебное пособие Интегральные уравнения. Вариационное . »

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Учебное пособие «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление (курс

лекций).» написано на основе опыта чтения авторами одноименного курса для студентов

физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Лекционный курс «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление.» включает

14 лекций и разбит на 3 части: интегральные уравнения, вариационное исчисление и введение в методы решения некорректно поставленных задач. Первые две лекции носят вводный характер и содержат изложение ряда вопросов функционального анализа, необходимых для понимания последующего лекционного материала. Затем (6 лекций) подробно рассмотрены линейные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра и некоторые связанные с ними вопросы, например, задача Штурма-Лиувилля и основы вариационного исчисления (4 лекции). Две заключительные лекции посвящены изучению основ методов регуляризации некорректно поставленных задач на примере интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. По каждой теме приведено подробное изложение теоретического материала, сопровождаемое примерами с подробными решениями и упражнениями для самостоятельной работы. В конце каждой лекции приводится список вопросов и теоретических задач, разъясняющих и углубляющих некоторые аспекты читаемого курса и включенных в экзаменационные билеты.

Курс «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление.» является достаточно сложным и включает ряд вопросов, трудных для понимания студентами. Главной проблемой является то, что к началу чтения курса студенты еще не знакомы с основами функционального анализа в объеме, который требуется для понимания теорем, доказываемых на лекциях. Чтобы помочь студентам максимально быстро освоить необходимый материал, две первые лекции посвящены изучению ряда вопросов теории линейных операторов в бесконечномерных нормированных пространствах. Обращаем внимание читателя на то, что в книге рассмотрены лишь некоторые вопросы функционального анализа, а желающие получить более основательную и глубокую подготовку по этому предмету могут обратиться к хорошо известным учебникам и задачникам, например, изданиям 3 из списка дополнительной литературы.

Лекционный курс «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление.» читается на физическом факультете МГУ в 4-ом семестре и сопровождается практическими занятиями. Материал для решения задач можно найти, например, в учебном пособии тех же авторов (Волков В.Т., Ягола А.Г. «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление (методы решения задач)». М.: КДУ, 2007), изданном одновременно с настоящей книгой.

Авторы выражают глубокую благодарность А.Б. Васильевой, Н.А. Тихонову, Г.Н. Медведеву и другим преподавателям кафедры математики физического факультета МГУ за полезные обсуждения и замечания.

1. Классификация линейных интегральных уравнений.

Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.

2. Линейные пространства. Линейные операторы в бесконечномерных нормированных пространствах. Вполне непрерывный оператор.

3. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у вполне непрерывного самосопряженного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов.

4. Однородное уравнение Фредгольма второго рода.

Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.

5. Принцип сжимающих отображений. Уравнение Фредгольма с “малым ”. Метод последовательных приближений.

6. Линейное уравнение Вольтерра. Метод последовательных приближений.

7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода.

Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Уравнение Фредгольма с произвольным непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма.

8. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача ШтурмаЛиувилля).

Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.

9. Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума.

10. Вариационная задача с закрепленными концами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера, необходимое условие экстремума..

11. Поле экстремалей, функция Вейерштрасса, достаточные условия экстремума.

12. Задачи на условный экстремум. Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановки задач, необходимое условие экстремума).

13. Задачи с подвижными границами. Постановки задач, условие трансверсальности, необходимое условие экстремума.

14. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.

Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи.

Метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.

где K ( x, s ) – заданная непрерывная по совокупности аргументов функция, называемая ядром интегрального уравнения; f ( x) – заданная непрерывная функция, называемая неоднородностью уравнения (если f 0, то уравнение называется однородным); – вещественный параметр; y ( x) – неизвестная функция, которую мы будем считать непрерывной.

Если это специально не оговаривается, все входящие в интегральные уравнения функции предполагаются вещественными. Кроме того, будет кратко рассмотрено обобщение на многомерный случай (важное для курса методов математической физики, который будет читаться в следующем семестре).

2) Уравнение Фредгольма 1-го рода:

Здесь использованы те же обозначения, что и для уравнения Фредгольма 2-го рода, K ( x, s ) – функция, непрерывная по совокупности аргументов в треугольной области = ( x, s : a s x b). Если доопределить нулем K ( x, s ) вне указанной треугольной области, то можно рассматривать уравнение Вольтерра 2-го рода как частный случай уравнения Фредгольма 2-го рода (возможно с ядром, терпящим разрыв в точках отрезка прямой x = s, x, s [a, b] ). Тем не менее, уравнение Вольтерра обладает рядом интересных свойств, благодаря которым мы будем его изучать специально.

4) Уравнение Вольтерра 1-го рода:

x K ( x, s) y(s)ds = f ( x), x, s [ a, b ], a где использованы те же обозначения, что и выше.

Примеры интегральных уравнений, возникающих при исследовании дифференциальных уравнений, будут приведены позже после введения понятий функции Коши и функции Грина в параллельно читаемом курсе обыкновенных дифференциальных уравнений. Очень большое количество интегральных уравнений 1-го рода появляется при рассмотрении так называемых обратных задач, возникающих в физике в тех случаях, когда непосредственное измерение физических характеристик невозможно или, по крайней мере, затруднительно. Например, все суждения об удаленных астрофизических объектах делаются на основании измерений на поверхности Земли или на искусственных спутниках. Аналогично, при геофизических исследованиях проще и дешевле проводить измерения на земной поверхности, чем непосредственное исследование глубоко залегающих объектов. Еще один пример – компьютерная томография, позволяющая производить «неразрушающий контроль» состояния мозга человека.

Некоторые примеры интегральных уравнений встречались в математических курсах и ранее. Например, интегральное уравнение +

§2. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент x+yL (называемый суммой x и y), и для любого элемента xL и любого (вещественного) числа определен элемент xL, причем выполнены следующие условия:

1) для любых элементов x, yL x+y=y+x (коммутативность сложения);

2) для любых элементов x, y, zL (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения);

3) существует элемент 0L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента xL x+0=x (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента xL существует элемент (-x)L (называемый обратным к x) такой, что x+(-x)=0 (существование обратного элемента);

5) для любых элементов x,yL и любого (вещественного) числа (x+y)=x+y (дистрибутивность умножения суммы элементов на число);

6) для любых (вещественных) чисел и и любого элемента xL (+)x=x+x (дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент);

7) для любых (вещественных) чисел, и любого элемента xL ()x=(x) (ассоциативность умножения на число);

8) для любого элемента xL 1x=x (свойство единицы).

Элементы линейного пространства называются векторами, поэтому линейное пространство иногда называется векторным.

Элементы линейного пространства L (векторы) y1, …, yn называются линейно независимыми, если их линейная комбинация 1 y1+…+n yn0 для любых чисел 1, …, n, кроме 1=…=n=0. Векторы y1, …, yn линейно зависимы в том и только в том случае, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных. Если максимальное число линейно независимых векторов пространства L конечно, то это число называется размерностью пространства L, а само линейное пространство называется конечномерным. В противном случае пространство L бесконечномерно.

В качестве примера линейного пространства можно привести изучаемое в курсе линейной алгебры конечномерное векторное пространство Rn. Еще один пример – пространство (вещественных) функций, определенных на отрезке [a,b]. Очевидно, что это пространство можно рассматривать как линейное, если определить сумму элементов и умножение на вещественное число обычным образом (как сумму функций и умножение функции на число). Нулевым элементом этого пространства является функция, тождественно равная нулю.

Подмножество L1 линейного пространства L называется (линейным) подпространством L, если любая линейная комбинация элементов L1 принадлежит L1 (т.е. L1 само является линейным пространством).

Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов x, y M определено вещественное число (x,y) (называемое метрикой, или расстоянием), причем выполнены следующие условия:

1) для любых элементов x, yM (x,y)0, и (x,y)=0 тогда и только тогда, когда элементы x и y совпадают (x=y) (неотрицательность метрики);

2) для любых элементов x, yM (x,y)=(y,x) (симметричность метрики);

3) для любых элементов x, y, zM (x,y) (x,z)+ (y,z) (неравенство треугольника).

В метрическом пространстве можно определить понятие сходимости последовательности элементов. А именно, последовательность элементов xnM, n=1, 2, …, сходится к элементу x0M (обозначается xn x0 при n), если (xn, x0)0 при n.

Заметим, что метрическое пространство не обязательно является линейным.

Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента x N определено вещественное число || x || (называемое нормой), причем выполнены следующие условия:

1) для любого элемента x N || x || 0, причем || x || = 0 тогда и только тогда, если x =0;

2) для любого элемента x N и любого (вещественного) числа имеет место || x || =| | || x || (неотрицательная однородность нормы);

x, y N верно || x + y || || x || + || y || (неравенство

3) для любых элементов треугольника).

Нормированное пространство является метрическим, если положить ( x, y ) = || x y ||.

В нормированном и метрическом пространствах можно ввести понятия открытого и замкнутого множества. В качестве упражнения предлагаем читателю сформулировать эти определения самостоятельно, аналогично тому, как это было сделано в курсе математического анализа.

Введем понятие сходимости последовательности в нормированном пространстве.

Последовательность элементов xn N, n = 1, 2,3. сходится (по норме пространства N ) к элементу x0 N (обозначается xn x0 при n ), если || xn x0 || 0 при n.

Докажем теперь, что из сходимости по норме следует сходимость норм элементов последовательности к норме предельного элемента. Заметим сразу, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно (приведите пример).

Лемма. Если xn x0 при n, то || xn || || x0 ||.

Доказательство. Докажем сначала, что для любых элементов x, y N справедливо || x || || y || || x y ||.

неравенство Действительно, из неравенства треугольника следует || x || = || x y + y || || x y || + || y ||, откуда || x || || y || || x y ||. Меняя местами x и y, получаем || y || = || y x + x || || y x || + || x ||, или || y || || x || || x y ||. Из этих двух неравенств вытекает, что || x || || y || || x y ||.

Пусть теперь xn x0 при n. Тогда || xn || || x0 || || xn x0 || 0, из чего и следует утверждение леммы.

Примеры нормированных пространств.

1) Конечномерное евклидово пространство R n, изучавшееся в курсе линейной алгебры.

2) Пространство C[a, b] функций, непрерывных на отрезке [a, b]. Норма в пространстве C[a, b] определяется так: || y ||C [ a,b ] = max | y ( s ) |. В качестве упражнения предлагаем s[ a,b ] читателю самостоятельно проверить выполнение аксиом линейного пространства и доказать корректность указанного определения нормы в C[a, b].

Сходимость по норме пространства C[a, b] называется равномерной сходимостью.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей непрерывных функций изучались в курсе математического анализа. В частности, был доказан критерий Коши равномерной сходимости, а именно, необходимым и достаточным условие равномерной сходимости функциональной последовательности является ее фундаментальность.

Определение. Последовательность xn, n = 1, 2,3. элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого 0 найдется номер K такой, что для любого n K и любого натурального p выполнено || xn + p xn ||.

Если последовательность сходится, то она фундаментальна. Доказательство этого факта практически дословно повторяет доказательство аналогичного факта из курса математического анализа и предоставляется читателю.

Если же любая фундаментальная последовательность сходится, то нормированное пространство называется полным.

Определение. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Поскольку в курсе математического анализа было доказано, что критерий Коши является не только необходимым, но и достаточным условием равномерной сходимости, то, тем самым, было доказано, что пространство C[a, b] является банаховым. Очевидно, свойством полноты обладает и пространство R n (докажите это самостоятельно).

Сходимость по норме h[a, b] называется сходимостью в среднем. В курсе математического анализа было доказано, что из равномерной сходимости следует сходимость в среднем. Из сходимости же в среднем не следует не только равномерная, но даже поточечная сходимость (рекомендуем построить соответствующий пример).

Очевидно, что евклидово пространство h[a, b] является бесконечномерным (приведите пример бесконечной последовательности линейно независимых непрерывных на [a, b] функций). К сожалению, это пространство не является полным. На самом деле, легко построить последовательность функций, непрерывных на отрезке [a, b] (например, кусочно-линейных), которая сходится в среднем к разрывной функции a+b 0, при x a, 2 y ( x) =.

a +b 1, при x, b 2 В качестве упражнения докажите, что такая функциональная последовательность является фундаментальной в h[a, b], но не имеет предела в h[a, b].

В курсе функционального анализа доказывается, что любое неполное нормированное пространство можно пополнить. Полное бесконечномерное евклидово пространство называется гильбертовым. Если пополнить пространство h[a, b], то мы получим гильбертово пространство L2 [a, b]. Однако для того, чтобы описать, из каких элементов состоит это пространство, нужно знать не только интеграл Римана (который изучался в курсе математического анализа), но и интеграл Лебега. При изложении курса интегральных уравнений мы будем рассматривать пространство h[a, b], понимая, что это пространство неполно. Но в этом пространстве легко определить, что такое ортогональность, поскольку в этом пространстве задано скалярное произведение.

Если же нам потребуется свойство полноты пространства, то будем рассматривать пространство C[a, b]. К сожалению, (и это доказывается в курсе функционального анализа) в пространстве C[a, b] нельзя ввести эквивалентную норму, порожденную скалярным произведением, превратив таким образом это пространство в гильбертово, но сохранив в качестве сходимости по норме равномерную сходимость.

1) Определения и формулировки теорем.

1. Записать уравнение Фредгольма 2-го рода. Какое уравнение называется однородным?

2. Записать уравнение Вольтерра 2-го рода. Какое уравнение называется однородным?

3. Записать уравнение Фредгольма 1-го рода. Какое уравнение называется однородным?

4. Записать уравнение Вольтерра 1-го рода. Какое уравнение называется однородным?

5. Сформулировать определение линейного пространства.

6. Сформулировать определение метрического пространства.

7. Сформулировать определение нормированного пространства.

8. Сформулировать определение евклидова пространства.

9. Сформулировать определение сходимости последовательности элементов метрического пространства.

10. Сформулировать определение сходимости последовательности элементов нормированного пространства.

11. Сформулировать определение фундаментальной последовательности элементов нормированного пространства.

12. Сформулировать определение банахова пространства.

Сформулировать определение пространства C[a, b]. Как называется сходимость по норме 13.

Сформулировать определение пространства C ( p ) [a, b]. Как называется сходимость по 14.

норме этого пространства?

Как определяется скалярное произведение в пространстве h[a, b] ? Почему это 15.

пространство является бесконечномерным евклидовым пространством? Как называется сходимость по норме этого пространства?

16. Записать неравенство Коши-Буняковского.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Доказать, что для любых двух элементов x, y нормированного пространства N || x || || y || || x y ||.

2. Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта последовательность является фундаментальной. В каких нормированных пространствах справедливо и обратное утверждение.

3. Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта последовательность ограничена.

4. Построить пример, показывающий, что из сходимости в среднем на отрезке [a,b] функциональной последовательности не следует равномерная (и даже поточечная) сходимость.

5. Доказать, что пространство C[a, b] является линейным.

6. Записать определение нормы в пространстве C[a, b]. Доказать корректность этого определения.

7. Доказать, что пространство C ( p ) [a, b] является линейным.

8. Записать определение нормы в пространстве C ( p ) [a, b]. Доказать корректность этого определения.

9. Доказать, что пространство h[a, b] является линейным.

10. Записать определение нормы в пространстве h[a, b]. Доказать корректность этого определения.

11. Доказать, что пространство h[a, b] не является полным.

12. Доказать неравенство Коши-Буняковского для пространства h[a, b].

Если ядро K ( x, s ) непрерывно по совокупности аргументов, что мы будем предполагать в течение всего курса, то в соответствии с теоремой о непрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, доказанной в курсе математического анализа, оператор A действует в линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке [a, b] и, очевидно, является линейным.

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные операторы, действующие в нормированных пространствах. Пусть оператор A отображает нормированное пространство N1 в нормированное пространство N 2 (для простоты будем считать, что D( A) = N1 ).

Определение А. Оператор A называется непрерывным в точке y0 D( A), если для любого 0 найдется такое 0, что для всех y D( A) и удовлетворяющих неравенству || y y0 || выполняется неравенство || Ay Ay0 ||.

Как и в курсе математического анализа можно сформулировать второе определение непрерывности оператора в точке.

Определение Б. Оператор A называется непрерывным в точке y0 D( A), если для любой последовательности yn D( A), n = 1, 2,3. yn y0, последовательность Ayn сходится к Ay0.

Доказательство эквивалентности этих определений практически дословно повторяет аналогичное из курса математического анализа и предоставляется читателю.

Оператор A называется непрерывным на множестве D( A) (на пространстве N1 ), если он непрерывен в каждой точке этого множества. Оказывается, что линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле. В самом деле, если yn y0, то yn y0 0, а из линейности оператора вытекает, что Ayn Ay0 тогда и только тогда, когда A( yn y0 ) 0.

Определение. Нормой оператора A называется A N1 N2 = sup Ay N2 N1 =1 y Если это не будет вызывать разночтений, то для сокращения записи будем обозначать A N N = A.

что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно, что интегральный оператор Фредгольма является ограниченным также и при действии из C[a, b] в C[a, b], из h[a, b] в C[a, b] и из C[a, b] в h[a, b]. Найдите оценки сверху для нормы оператора в каждом из этих случаев.

В дальнейшем нам потребуется следующая Лемма. Пусть линейный ограниченный оператор A действует из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N 2, а линейный ограниченный оператор B действует из нормированного пространства N 2 в нормированное пространство N 3.

Тогда || BA || || B || || A ||.

Доказательство. Для любого элемента y N1 такого, что || y || = 1, имеет место || BAy || || B || || Ay || || B || || A || || y || = || B || || A ||. Отсюда, с учетом неравенство определения нормы линейного оператора следует утверждение леммы.

Определение. Последовательность yn, n = 1, 2,3. элементов нормированного пространства N называется ограниченной, если существует константа C такая, что || yn || C для всех n = 1, 2,3.

Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что любая сходящаяся последовательность является ограниченной, и любая фундаментальная последовательность также является ограниченной.

Определение. Последовательность yn, n = 1, 2,3. элементов нормированного пространства N, обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной.

Легко доказать, что любая компактная последовательность является ограниченной.

На самом деле, если последовательность yn, n = 1, 2,3. не является ограниченной, то ynk k, k = 1, 2. из которой нельзя найдется подпоследовательность ynk такая, что выделить сходящуюся подпоследовательность.

Замечание. В пространстве R1 критерий компактности последовательности определяется теоремой Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности вещественных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Аналогичное утверждение имеет место и в пространстве R n. Для бесконечномерных пространств это не так.

Примеры некомпактных последовательностей.

1) Последовательности вещественных чисел является некомпактной, так как ясно, что из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

2) Числовая последовательность 1, 1, 2, 1, 3, 1, … также некомпактна. Несмотря на то, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, однако нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность из любой ее подпоследовательности.

Примеры ограниченных некомпактных последовательностей в бесконечномерном пространстве.

3) Рассмотрим пространство h[a, b]. В курсе математического анализа было доказано существование в h[a, b] ортонормированной системы, состоящей из бесконечного числа элементов (например, тригонометрической системы функций):

0, i j en, n = 1,2. e j = 1, (ei, e j ) = ij =.

1, i = j Покажем, что из последовательности членов ортонормированной системы (эта последовательность, очевидно, является ограниченной) нельзя выделить сходящуюся ei e j 2 = (ei e j, ei e j ) = 2, i j подпоследовательность. В самом деле, ei e j = 2, если ij. Поэтому никакая подпоследовательность этой последовательности не может быть фундаментальной, а, следовательно, и сходящейся.

4) Рассмотрим теперь последовательность e1, c, e2, c, e3, c. ( c – фиксированный вектор из h[a, b] ). Эта последовательность также некомпактна – из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность из любой ее подпоследовательности.

В качестве упражнения постройте самостоятельно пример ограниченной, но некомпактной последовательности элементов пространства C[a, b].

Сформулируем теперь определение вполне непрерывного линейного оператора, действующего из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N 2.

Определение. Линейный оператор A называется вполне непрерывным, если для любой ограниченной последовательности элементов y n из N1 последовательность zn = Ayn элементов N 2 такова, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Таким образом, вполне непрерывный оператор преобразует любую ограниченную последовательность в компактную.

Теорема. Вполне непрерывный оператор является ограниченным (а, следовательно, непрерывным).

Доказательство. Предположим, что вполне непрерывный оператор A не является ограниченным. Тогда найдется последовательность yn N1, n = 1, 2,3. yn = 1, такая, Ayn n. Но тогда из последовательности zn = Ayn нельзя выделить сходящуюся что подпоследовательность, что противоречит тому, что A – вполне непрерывный оператор.

Заметим, что не любой непрерывный линейный оператор является вполне непрерывным.

Пример. Рассмотрим единичный оператор I : h[a, b] h[a, b], т.е. такой, что Iy = y для любого y h[a, b]. Очевидно, указанный оператор является ограниченным.

Докажем, что он не является вполне непрерывным. Для этого достаточно рассмотреть последовательность членов ортонормированной системы из разобранного выше примера 3) и заметить, что последовательность Ien = en некомпактна.

Теорема. Пусть A — оператор Фредгольма, действующий из h[a, b] в h[a, b]. Тогда А — вполне непрерывный оператор.

Доказательство. Докажем сначала, что A — вполне непрерывный оператор при действии h[a, b] C[a, b].

Критерий компактности последовательности элементов пространства C[a, b] определяется теоремой Арцела, доказанной в курсе математического анализа: если последовательность элементов C[a, b] равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, то из нее можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Рассмотрим последовательность y n h[a, b] такую, что y n M, n = 1, 2,3. и b последовательность zn ( x) = Ayn = K ( x, s ) yn ( s ) ds. Доказательство сформулированной a

Поскольку функция K ( x, s ) непрерывна по совокупности аргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве (квадрате) [a, b] [a, b], то K 0 +. Более того, K 0 = max K ( x, s ). Тогда x, s[ a,b ]

1) Определения и формулировки теорем.

Сформулировать определение линейного оператора.

2. Сформулировать два определения непрерывности в точке оператора, действующего в нормированных пространствах.

3. Сформулировать определение нормы линейного оператора, действующего в нормированных пространствах.

4. Сформулировать определение ограниченного линейного оператора.

5. Сформулировать определение ограниченной последовательности элементов нормированного пространства.

6. Сформулировать определение компактной последовательности элементов нормированного пространства.

7. Сформулировать определение вполне непрерывного оператора.

8. Сформулировать необходимое и достаточное условие компактности последовательности векторов конечномерного евклидового пространства R n.

9. Сформулировать теорему Арцела.

10. Сформулировать определение оператора, сопряженного к линейному оператору, действующему в евклидовом пространстве.

11. Сформулировать определение самосопряженного (симметрического) оператора, действующего в евклидовом пространстве.

12. Сформулировать определение интегрального оператора Фредгольма с симметрическим ядром.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Доказать, что оператор, обратный к линейному оператору, является линейным оператором.

2. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма отображает линейное пространство h[a, b] в себя и является линейным оператором.

3. Доказать, что интегральный оператор Вольтерра отображает линейное пространство h[a, b] в себя и является линейным оператором.

4. Доказать, что линейный оператор, действующий в нормированных пространствах, непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле.

5. Доказать, что линейный оператор, действующий в нормированных пространствах, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

6. Доказать эквивалентность двух определений непрерывности в точке оператора, действующего в нормированных пространствах.

Доказать, что оператор дифференцирования, действующий из C (1) [a, b] в C[a, b], является 7.

8. Доказать, что оператор дифференцирования, определенный на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций пространства C[a, b] и действующий из C[a, b] в C[a, b], является неограниченным.

Доказать, что если A — линейный ограниченный оператор, A: N 1 N 2, N1 и N2 – 9.

нормированные пространства, A 0, то A 0.

10. Доказать, что для любого y N 1 Ay A y, где А – выполнено неравенство линейный ограниченный оператор, действующий из нормированного пространства N 1 в нормированное пространство N 2.

B : N 2 N 3 является непрерывным оператором, а оператор

11. Доказать, что если A : N1 N 2 – вполне непрерывный, то BA : N1 N 3 – вполне непрерывный оператор ( N1 1, N 2, N 3 – нормированные пространства).

12. Доказать следующее утверждение: пусть линейный ограниченный оператор A действует из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N 2, линейный ограниченный оператор B действует из нормированного пространства N 2 в нормированное пространство N 3. Тогда || BA || || B || || A ||.

13. Построить пример бесконечной ортонормированной системы в пространстве h[a, b].

14. Доказать существование ограниченных некомпактных последовательностей в пространстве h[a, b].

15. Доказать, что если взаимно однозначный оператор, действующий в бесконечномерном евклидовом пространстве, является вполне непрерывным, то обратный оператор неограничен.

16. Доказать, что единичный оператор, действующий в пространстве h[a, b], не является вполне непрерывным.

17. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из C[a, b] в C[a, b], ограничен, и найти оценку сверху нормы оператора.

18. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h[a, b] в h[a, b], ограничен, и найти оценку сверху нормы оператора.

19. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h[a, b] в C[a, b], является вполне непрерывным оператором.

20. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h[a, b] в h[a, b], является вполне непрерывным оператором.

21. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма с симметрическим ядром, действующий из h[a, b] в h[a, b], является самосопряженным оператором.

Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве L. Число называется собственным значением оператора A, если существует элемент y 0 такой, что Ay = y. Элемент y называется собственным вектором. Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению, является подпространством пространства L (докажите это самостоятельно).

Если 0, то число = называется характеристическим числом оператора A.

Пусть выполнены следующие условия для оператора A :

A : E E ( E – бесконечномерное евклидово пространство, например, h[a, b] );

3) A – вполне непрерывный оператор.

Далее будет показано, что при этих условиях оператор A имеет по крайней мере одно собственное значение.

Предварительно сформулируем и докажем ряд утверждений, из которых и будет следовать этот важный результат.

Лемма 1. Пусть A — самосопряженный оператор, и e – произвольный элемент пространства E такой, что e = 1.

Тогда справедливо неравенство A2e, Ae причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда e является собственным вектором оператора A 2, отвечающим собственному значению = Ae.

Доказательство. Из неравенства Коши-Буняковского легко получить Ae = ( Ae, Ae ) = (A2e, e ) A2e e = A2e,

h[a, b] h[a, b]. Пусть ядро K ( x, s ) оператора удовлетворяет следующим условиям:

2) непрерывное по совокупности переменных ( x, s ),

3) не равное тождественно нулю,

Теорема. Пусть выполнены условия 1)-4) для ядра интегрального оператора Фредгольма A : h[a, b] h[a, b]. Тогда этот оператор обладает собственным значением, 0 : Ay = y, y 0, y h[a, b].

Замечание. В теории интегральных уравнений удобнее использовать характеристические числа, а именно =, 0. Тогда в утверждении теоремы следует записать A y = y.

Доказательство. Ранее было доказано, что оператор Фредгольма является вполне непрерывным, а при условии симметричности ядра и самосопряженным. Тем самым, по доказанной выше теореме оператор Фредгольма имеет хотя бы одно собственное значение.

Для того, чтобы проверить, что указанное собственное значение не равно нулю, достаточно доказать следующее утверждение, что рекомендуем проделать читателю самостоятельно:

Утверждение. Пусть A — линейный ограниченный оператор, A: N 1 N 2, где N1 и N 2 – нормированные пространства, и A 0. Тогда A 0.

§5. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора.

сужение оператора A на пространство H n +1 станет нулевым оператором. Тогда n +1 = 0 и процесс построения прекращается.

Замечание. Очевидно, что 3 2 1.

Замечание. Для оператора Фредгольма важна последовательность 1 2.

Тогда следует рассматривать следующие два характеристических чисел варианта:

1) бесконечное число n ;

2) конечное число n.

Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть A 1 = 1 1, A 2 = 2 2, 1 и 2 – 1 2, соответствующие собственные векторы. Тогда 0 = ( A 1, 2 ) ( A 2, 1 ) = ( 1 2 )( 1, 2 ), из чего следует ( 1, 2 ) = 0.

Теорема. Число различных собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора A, удовлетворяющих условию || A || 0, где фиксированное положительное число, конечно.

Доказательство. Предположим, что собственных значений бесконечно много.

Выберем последовательность (различных) собственных значений 1, 2. n. и для каждого собственного значения выберем собственные вектора 1, 2. n.

( n = 1 n = 1,2. ), по предыдущей лемме они образуют ортонормированную систему.

Оператор A — вполне непрерывный. Следовательно, из последовательности A n = n n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Покажем, что это не так. Возьмем произвольные натуральные числа i и j, ij. Тогда A i A j = i i j j = ( i i j j, i i j j ) = 2i + 2j 2 2 0, т.е. никакая подпоследовательность последовательности A n = n n не является фундаментальной, а, следовательно, никакая подпоследовательность не может сходиться.

Число линейно независимых собственных векторов, Определение.

соответствующих собственному значению, называется кратностью собственного значения.

Теорема. Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть 0, и соответствует бесконечно много линейно независимых собственных векторов 1, 2. n. Применив процедуру ГрамаШмидта, хорошо известную из курса линейной алгебры, мы можем преобразовать 1, 2. n. в ортонормированную систему. А тогда доказательство этой теоремы дословно повторяет доказательство предыдущей теоремы, если мы обозначим = 0. А именно, поскольку n = 1, ( i, j ) = 0, i j, а A n = n, из последовательности A n нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность,

Теперь сформулируем основные результаты о построении последовательности собственных значений, упорядоченных в порядке невозрастания модуля:

1 2. n. Каждое собственное значение повторяется в этой последовательности столько раз, какова его кратность.

Каждому собственному значению соответствует собственный вектор, причем можно выбрать собственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему. На самом деле, собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям ортогональны, а собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта.

Если ненулевых собственных значений бесконечно много, то n 0.

n n Действительно, последовательность является монотонно невозрастающей и ограниченной снизу (нулем). Поэтому эта последовательность имеет предел. Если этот предел больше нуля, то мы получаем противоречие с доказанным выше утверждением о том, что число собственных значений, модули которых превышают любое фиксированное положительное число, конечно.

Экзаменационные вопросы

1) Определения и формулировки теорем.

1. Сформулировать определение собственного значения линейного оператора.

2. Сформулировать определение собственного вектора линейного оператора.

3. Сформулировать определение максимального вектора линейного оператора.

4. Сформулировать определение инвариантного подпространства линейного оператора.

5. Сформулировать определение кратности собственного значения линейного оператора.

6. Сформулировать определение собственной функции ядра интегрального оператора Фредгольма.

7. Сформулировать определение вырожденного линейного оператора.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

Доказать следующее утверждение: пусть A — самосопряженный оператор, действующий в 1.

евклидовом пространстве E, и e – произвольный вектор из E, e = 1. Тогда справедливо Ae A2 e, неравенство причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда e является собственным вектором оператора A 2, соответствующим собственному значению = Ae.

2. Доказать следующее утверждение: самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий в евклидовом пространстве E, обладает максимальным вектором.

3. Доказать следующее утверждение: если z — максимальный вектор самосопряженного оператора А, действующего в евклидовом пространстве E, то z -собственный вектор оператора A 2, соответствующий собственному значению = A =M2.

4. Доказать следующее утверждение: пусть оператор A действует в евклидовом пространстве E, и оператор A 2 обладает собственным вектором z, соответствующим собственному значению M 2. Тогда оператор A имеет собственный вектор, соответствующий собственному значению M или M.

5. Сформулируйте последовательность утверждений, из которых следует теорема:

самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий в бесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором, соответствующим собственному значению : = A.

6. Доказать теорему: оператор Фредгольма с вещественным, непрерывным по совокупности аргументов, не равным тождественно нулю, симметрическим ядром обладает собственным значением, 0 : Ay = y, y 0, y h[a, b].

Доказать, что собственное значение линейного оператора A такое, что = A, 7.

является максимальным по модулю.

8. Доказать, что число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного A, действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве, оператора удовлетворяющих условию 0, конечно.

Доказать, что ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A, 9.

действующему в бесконечномерном евклидовом пространстве, может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов.

Доказать, что если самосопряженный вполне непрерывный оператор A, действующий в 10.

бесконечномерном евклидовом пространстве, имеет бесконечную последовательность собственных значений n, n = 1, 2,3. то n 0 при n.

11. Описать процесс построения собственных значений и собственных функций вполне непрерывного самосопряженного оператора A, действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве.

Пусть — собственный вектор самосопряженного оператора A, действующего в 12.

евклидовом пространстве. Доказать, что множество векторов, ортогональных, образуют замкнутое линейное подпространство, инвариантное относительно A.

13. Доказать, что если интегральный оператор Фредгольма с непрерывным симметрическим вещественным ядром K ( x, s ) действует в комплексном пространстве hC [a, b] (комплексном расширении пространства h[a, b] ), то этот оператор может иметь только вещественные собственные значения.

Приведите пример самосопряженного оператора, действующего в пространстве h[a, b] и 14.

не имеющего собственных значений.

Приведите пример вполне непрерывного оператора, действующего в пространстве h[a, b] 15.

и не имеющего собственных значений.

Доказать, что собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие 16.

различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие 17.

различным собственным значениям, линейно независимы.

Лекция №4 §6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

Подытожим результаты, полученные в предыдущем параграфе, в следующей теореме.

Теорема. Пусть оператор A действует из h[a, b] в h[a, b] и является вполне непрерывным и самосопряженным.

Рассмотрим следующий процесс построения последовательности собственных значений и собственных векторов оператора A :

…, причем можно считать, что собственные векторы 1, 2. n. образуют ортонормированную систему.

Эта процедура приводит к двум возможным результатам (критерий остановки процесса A H H = 0 ):

n +1 n +1 1 2. n n+1 = 0 — конечная последовательность собственных значений;

1) 1 2. n. — бесконечная последовательность собственных значений, 2) n 0.

n При этом в последовательности собственных значений каждое собственное значение будет повторяться столько раз, какова его кратность. Процесс позволяет найти все собственные значения кроме, быть может, нулевого собственного значения (в случае 2).

1) Характеристические числа вполне непрерывного самосопряженного оператора могут образовывать:

а) 1 2. n — конечную последовательность;

б) 1 2. n. — бесконечную последовательность, тогда lim n =.

n Каждому характеристическому числу n можно сопоставить собственный вектор n, причем векторы образуют ортонормированную систему.

2) Все полученные результаты верны для интегрального оператора с непрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром. В этом случае вместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегрального оператора или собственные функции ядра K ( x, s ).

Рассмотрим множество векторов y h[a, b] таких, что Ay = 0. Докажите самостоятельно, что указанное множество образует замкнутое линейное пространство в h[a, b]. Напомним, что это множество называется (см. §2) нуль-пространством оператора A и обозначается Ker A = < y : Ay = 0>. Очевидно, что нуль-пространство нетривиально (т.е. содержит ненулевые элементы) тогда и только тогда, если оператор A имеет нулевое собственное значение. В этом случае (см. §2) оператор A называется вырожденным).

1) Определения и формулировки теорем.

1. Сформулировать определение замкнутого ядра интегрального оператора Фредгольма.

2. Сформулировать определение вырожденного ядра интегрального оператора Фредгольма.

3. Сформулировать определение скалярного произведения в комплексном расширении пространства h[a, b].

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать. Теоретические задачи.

Изменение порядка интегрирования и суммирования возможно в силу доказанной выше равномерной сходимости ряда Фурье. Так как (x) – непрерывная функция, то ( x) 0.

В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства некоторые обобщения полученных результатов.

Можно рассматривать задачу в многомерном случае. Пусть — замкнутая ограниченная область R n, для которой можно определить указанные ниже интегралы.

Введем пространство h[], состоящее из функций, непрерывных в, со скалярным

где cn. cn + r 1 — произвольные константы. Ряд, записанный в данном представлении, сходится абсолютно и равномерно.

В результате проведенного исследования мы доказали две теоремы.

Если однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывным симметрическим ядром имеет только тривиальное решение (т.е. k, k = 1,2. ), то неоднородное уравнение имеет, и притом, единственное, решение для любой непрерывной функции f (x).

Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение, т.е. = k при некотором k, то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, если неоднородность – непрерывная функция f (x) – ортогональна всем собственным функциям, соответствующим данному (т.е. всем решениям однородного уравнения). В последнем случае, если решение существует, то оно не единственно.

Теорема. (Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода с симметрическими ядрами).

Либо неоднородное уравнение имеет решение для любой непрерывной функции f (x), либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение.

1) Определения и формулировки теорем.

1. Сформулировать определение функции, истокопредставимой с помощью ядра интегрального оператора.

2. Сформулировать теорему Гильберта-Шмидта.

3. Сформулировать определение интегрального оператора с полярным ядром.

4. Сформулировать определение интегрального оператора со слабо полярным ядром.

5. Сформулировать определение резольвенты интегрального оператора.

6. Сформулировать альтернативу Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода с непрерывным симметрическим ядром.

7. При каком условии неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром имеет и притом единственное решение для любой непрерывной функции f (x) — неоднородности уравнения?

8. Сформулировать условие разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром в случае, когда однородное уравнение имеет нетривиальное решение. Сколько решений имеет неоднородное уравнение, если оно разрешимо?

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Доказать теорему Гильберта-Шмидта.

2. Построить решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром с помощью разложения в ряд Фурье по собственным функциям ядра и доказать альтернативу Фредгольма.

сходимости ряда в банаховом пространстве B.

Теорема (о неподвижной точке). Пусть D – сжимающий оператор. Тогда существует, и притом единственная, точка y B такая, что Dy = y.

Эта точка может быть найдена методом последовательных приближений (простой итерации):

yn +1 = Dyn, n = 0,1, 2. где y0 B — произвольная фиксированная точка пространства B (начальное приближение), причем y n y : Dy = y.

1) Единственность. Пусть существуют две неподвижные точки y1 и y 2 :

Dy1 = y1, Dy 2 = y 2, y1 y 2. Тогда 0 y1 y 2 = Dy1 Dy 2 q y1 y 2 y1 y 2, и мы приходим к противоречию. Единственность доказана.

2) Существование докажем методом последовательных приближений. Зададим произвольное начальное приближение y0 B и рассмотрим последовательность yn +1 = Dyn, n = 0,1, 2. Докажем ее сходимость.

Заметим, что сходимость последовательности yn равносильна сходимости ряда y n +1 = ( y n +1 y n ) + ( y n y n 1 ) +. + ( y1 y 0 ) + y 0.

общий член ряда

n = 2,3. а K1 ( x, s ) K ( x, s ).

Мы уже доказали, что последовательность yn имеет предел y, являющийся решением интегрального уравнения, причем y представляется рядом Неймана:

y = f + A f + 2 A 2 f +. + n A n f +.

Полученный результат можно представить в операторной форме. При «малых»

решение интегрального уравнения существует и единственно. Если мы перепишем уравнение y = A y + f в виде ( I A) y = f, то из доказанного следует существование обратного оператора, определенного на всем пространстве C[a, b] : y = ( I A) 1 f.

Покажем, что это выражение можно записать как y = f + R f, где R — интегральный оператор с непрерывным по переменным x, s ядром R( x, s, ) (резольвентой), т.е.

b y = f + R( x, s, ) f ( s ) ds, или ( I A) 1 = I + R.

решения от неоднородности в норме пространства C[a, b]. Более того, полученное неравенство позволяет получить оценку погрешности решения, если известна оценка погрешности неоднородности.

Следовательно, все три требования к корректности решения данного уравнения выполнены, и задача решения уравнения Фредгольма 2-го рода с “малым ” в пространстве C[a, b] корректна (корректно поставлена).

Докажите самостоятельно, что при тех же условиях эта задача корректна и в пространстве h[a, b].

непрерывная на [a, b] функция, т.е. можно рассматривать оператор A как действующий в пространствах C[a, b] C[a, b] или h[a, b] h[a, b].

2) Интегральный оператор Вольтерра является вполне непрерывным при действии:

h[a, b] C[a, b], h[a, b] h[a, b].

1) Определения и формулировки теорем.

1. Сформулировать определение сжимающего оператора.

2. Сформулировать определение неподвижной точки оператора.

3. Сформулировать теорему о существовании неподвижной точки у сжимающего оператора.

Как можно найти неподвижную точку?

4. Записать метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с «малым».

5. Сформулировать определение повторного (итерированного) ядра интегрального оператора Фредгольма. Ядром какого интегрального оператора оно является?

6. Сформулировать теорему о разрешимости интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Доказать теорему о существовании неподвижной точки у сжимающего оператора.

2. Доказать теорему о существовании неподвижной точки у оператора, натуральная степень которого является сжимающим оператором.

3. Доказать, что сжимающий оператор является непрерывным.

4. Доказать, что если «мало», то неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и притом единственное, решение для любой непрерывной функции f ( x) C[a, b], причем это решение может быть найдено методом последовательных приближений.

5. Доказать, что если «мало», то однородное уравнение Фредгольма 2 рода имеет только тривиальное решение.

6. Доказать сходимость ряда Неймана для решения интегрального уравнения Фредгольма 2го рода с «малым» и получить выражение для резольвенты.

7. Доказать, что интегральное уравнение типа Вольтерра имеет и притом единственное решение для любой непрерывной функции f ( x).

8. Доказать, что однородное интегральное уравнение типа Вольтерра имеет только тривиальное решение.

9. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, умноженный на «малое», является сжимающим при действии в C[a, b].

10. Определим оператор D: C[a, b] C[a, b] следующим образом: для любого y C[a, b] Dy Ay + f, где A – интегральный оператор Вольтерра с непрерывным ядром, f ( x) – непрерывная на [a, b] функция. Доказать, что для любого существует натуральноe число k такое, что D k — сжимающий оператор.

11. Доказать, что если оператор D действует в полном нормированном пространстве, а оператор D k (k – натуральное число) сжимающий, то неподвижные точки операторов D и D k совпадают, из чего следует, что оператор D имеет единственную неподвижную точку.

12. Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий в C[a, b], не имеет характеристических чисел на интервале (0, 1/(M(b-a)), где M = max K ( x, s ).

16. Доказать, что интегральный оператор Вольтерра, действующий в пространстве C[a, b], не имеет характеристических чисел.

17. Доказать, что интегральный оператор Вольтерра, действующий в пространстве h[a, b], не имеет характеристических чисел.

Лекция №7 §12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

В качестве упражнения, докажите сами, что задача решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и задача решения неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром эквивалентны.

Таким образом, справедлива следующая Теорема. Для любого число линейно независимых решений однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода и союзного с ним однородного уравнения одинаково.

Теорема. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность f (x) ортогональна всем линейно независимым решениям однородного союзного уравнения.

Теорема. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром разрешимо для любой неоднородности f (x) тогда и только тогда, когда однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

интегральный оператор с ядром R ( x, s, ). Введем новую функцию: (I S ) y = Y.

В силу обратимости оператора (I S ) имеет место взаимно однозначное соответствие:

y Y. Отсюда Y = (T + T R ) Y + f.

Покажем, что уравнение для Y является уравнением с вырожденным ядром. Ядро интегрального оператора T + T R вырождено так как ядро оператора T вырождено, и

Тем самым, мы показали, что любому интегральному уравнению с невырожденным ядром эквивалентно некоторое интегральное уравнение с вырожденным ядром. На основании этого можно получить результаты, аналогичные полученным выше для уравнений с вырожденными ядрами.

Сформулируем теперь 4 теоремы Фредгольма.

необходимо и достаточно, чтобы неоднородность f (x ) была ортогональна всем линейно независимым решениям однородного союзного уравнения (2) ( f ( x) 1, 2. p, если

Теорема была доказана для случаев симметрических и вырожденных ядер. В общем случае она доказывается путем сведения интегрального уравнения с невырожденным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.

Теорема 3 (Альтернатива Фредгольма).

Либо неоднородное уравнение (3) разрешимо для любой неоднородности f (x ) либо однородное уравнение (1) имеет нетривиальное решение.

Теорема 4. Множество характеристических чисел однородного уравнения (1) не более, чем счетно, с единственной возможной предельной точкой.

Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора. Нами он был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов и, тем самым, доказан для случая симметрических ядер. Для интегральных операторов с вырожденными ядрами результат тривиален.

Замечание. Все эти теоремы мы доказали для случая, когда K ( x, s ) непрерывная функция по совокупности переменных на [a, b] [ a, b] ; f (x ), y (x) непрерывные на [a, b] функции; K ( x, s ), f (x ), y (x) — вещественные функции.

1) Определения и формулировки теорем.

1. Записать интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.

2. Сформулировать определение союзного интегрального уравнения.

3. Сформулировать условие разрешимости неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

4. Сформулировать теорему о числе линейно независимых решений однородного уравнения Фредгольма 2-го рода и союзного с ним (1-я теорема Фредгольма). При каких условиях на ядра интегральных операторов эта теорема была доказана в лекционном курсе?

5. Сформулировать теорему о необходимом и достаточном условии разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода (2-я теорема Фредгольма). При каких условиях на ядра интегральных операторов эта теорема была доказана в лекционном курсе?

6. Сформулировать альтернативу Фредгольма (3-я теорема Фредгольма). При каких условиях на ядра интегральных операторов эта теорема была доказана в лекционном курсе?

7. Сформулировать теорему о характеристических числах интегрального оператора Фредгольма (4-я теорема Фредгольма). При каких условиях на ядра интегральных операторов эта теорема была доказана в лекционном курсе?

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

Доказать, что если не является характеристическим числом, то интегральное уравнение 1.

Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром имеет и притом единственное решение для любой непрерывной функции f (x).

Доказать, что для любого число линейно независимых решений однородного 2.

интегрального уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром и союзного с ним однородного уравнения одинаково.

3. Доказать, что неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность f (x) ортогональна всем линейно независимым решениям однородного союзного уравнения.

4. Доказать, что неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром разрешимо для любой неоднородности — непрерывной функции f (x) — тогда и только тогда, когда однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

5. Доказать эквивалентность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и задачи решения неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.

6. Получить уравнение для отыскания характеристических чисел интегрального оператора Фредгольма с вырожденным ядром.

7. Получить интегральное представление решения неоднородного уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденным ядром через определители Фредгольма при условии, что не является характеристическим числом.

Доказать, что любое интегральное уравнение Фредгольма 2 рода y = A y + f с 8.

невырожденным ядром при фиксированном можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром.

Действуя оператором L на левую и правую часть этого равенства, получим, что для всех x имеет место ( x) z ( x) = 0, что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Задача Штурма-Лиувилля эквивалентна задаче на характеристические числа и собственные функции для интегрального оператора с непрерывным симметрическим замкнутым ядром.

Используя эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля задаче на характеристические числа и собственные значения для интегрального оператора с симметрическим непрерывным и не равным тождественно нулю ядром, докажем следующие теоремы.

Теорема. Существует бесконечно много собственных значений n.

Доказательство. Существование хотя бы одного характеристического числа n для интегрального оператора с симметрическим непрерывным и не равным тождественно нулю ядром следует из результатов §4. Предположим, что характеристических чисел конечное число. Тогда, как было доказано в §6, ядро можно представить в виде n ( x) n ( s ) N K ( x, s ) =, где n ( x) — ортонормированные собственные функции. Таким n n =1 образом, ядро вырождено, а поэтому не может быть замкнутым. Теорема доказана.

Теорема. Каждое собственное значение задачи Штурма-Лиувилля имеет кратность единица.

Доказательство. Заметим, что собственное значение кратности единица называется простым собственным значением. Докажем, что каждое собственное значение является простым. Предположим, что это не так. Тогда некоторому собственному значению соответствуют две линейно независимые собственные функции y1 ( x) и y2 ( x). Поскольку дифференциальное уравнение в задаче Штурма-Лиувилля является линейным уравнением второго порядка, то y1 ( x) и y2 ( x) образуют фундаментальную систему решений. Поэтому любое решение дифференциального уравнения Ly + ( x) y = 0 представимо в виде y ( x) = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x). Поскольку функции y1 ( x) и y2 ( x) обращаются в нуль в точках a и b, то этим же свойством обладает и любое другое решение. Но это противоречит теореме существования решения задачи Коши для уравнения Ly + ( x) y = 0 с условиями Коши, имеющими, например, вид y (a) = 1, y(a) = 0. Теорема доказана.

Теорема. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля ортогональны с весом ( x).

Доказательство. По доказанному в § 5 собственные функции n ( x) ортогональны.

Более того, что их можно выбрать так, что они образуют ортонормированную систему, т.е.

что и требовалось доказать.

Теорема. Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля положительны.

Доказательство. Запишем уравнение в задаче Штурма-Лиувилля, которому удовлетворяет собственная функция yn ( x), считая, что yn ( x) нормирована с весом ( x), b

В заключение параграфа заметим, что все полученные в данном параграфе результаты остаются справедливыми для второй краевой задачи (граничные условия имеют вид y(a ) = 0, y(b) = 0 ), третьей краевой задачи (граничные условия имеют вид y(a ) h1 y (a ) = 0, y(b) + h2 y (b) = 0, h1, h2 – положительные постоянные), а также для смешанных краевых задач, когда левом конце задается условие одного рода, а на правом другого. Необходимо помнить только, что у второй краевой задачи в случае q( x) 0, существует нулевое собственное значение.

1) Определения и формулировки теорем.

1. Записать оператор Штурма-Лиувилля.

2. Сформулировать задачу Штурма-Лиувилля в случае однородных граничных условий первого рода.

3. Описать свойства собственных значений и собственных функций задачи ШтурмаЛиувилля в случае однородных граничных условий первого рода.

4. Сформулировать теорему Стеклова.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Доказать, что оператор Штурма-Лиувилля является симметрическим в пространстве h[a, b], если в качестве области его определения рассматривать подпространство дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на концах отрезка [a, b].

2. Доказать, что задача Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода эквивалентна задаче на характеристические числа и собственные функции для интегрального оператора с непрерывным симметрическим и замкнутым ядром.

3. Доказать, что задача Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода имеет бесконечно много собственных значений.

4. Доказать, что собственные значения задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода простые (имеют кратность единица).

5. Доказать, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода ортогональны с весом ( x)

6. Доказать, что собственные значения задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода положительны.

7. Доказать теорему Стеклова.

Доказать, что для минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля 8.

с однородными граничными условиями первого рода имеет место неравенство q ( x) 1 min 0.

интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], сопоставляется число – значение интеграла.

Типичной задачей вариационного исчисления является задача Дидоны: среди всех замкнутых плоских кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Хорошо известно, что это окружность.

В первом случае требуется, чтобы функции y ( x) были равномерно «близки» к функции y0 ( x), а во втором случае дополнительно требуется равномерная «близость» и

Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными концами).

1) Пусть y (x) осуществляет экстремум (сильный или слабый) в задаче с закреплёнными концами и дважды непрерывно дифференцируема.

2) Функция F ( x, y, y) непрерывна с частными производными до второго порядка включительно.

Тогда y (x) является решением краевой задачи для уравнения Эйлера

В отличие от задачи с неголономной связью, теперь z 0. Поэтому предположим, что z 0.

Система уравнений Эйлера в данном случае имеет вид:

Доказательство. Прежде всего, докажем, что выполняется уравнение Эйлера. В самом деле, если y ( x) такова, что на ней реализуется экстремум функционала V [ y ] в классе функций, у которых один конец закреплен, а другой подвижен, то на ней реализуется экстремум и в классе функций, когда оба конца закреплены (т.е. задано граничное условие на правом конце y ( x1 ) = ( x1 ), где x1 – абсцисса точки пересечения функции, на которой достигается экстремум, с кривой y = ( x) ). Как доказано в параграфе 3 для задачи с закрепленными концами, в этом случае выполняется уравнение Эйлера.

Вычислим теперь вариацию функционала V [ y ].

Зададим приращение h( x) и рассмотрим функцию переменной t :

Теперь рассмотрим задачу, в которой оба конца являются подвижными: пусть левый конец функции, на которой осуществляется экстремум функционал V [ y ], может перемещаться вдоль кривой y = 1 ( x), а правый конец вдоль кривой y = 2 ( x) (см.

рисунок). В этом случае должны выполнятся условия трансверсальности на правом и на левом концах.

Действительно, если функция y ( x) такова, что на ней реализуется экстремум в классе функций, когда оба конца подвижны, то на ней реализуется экстремум и в классе функций, когда левый конец «правильно» закреплен, а правый подвижен. Из этого следует, что выполняется условие трансверсальности на правом конце (аналогичное утверждение справедливо и для левого конца). Очевидно (см. доказательство теоремы), что функция, на которой достигается экстремум, удовлетворяет уравнению Эйлера.

В заключение параграфа рассмотрим пример. Пусть требуется найти экстремум функционала 1 + ( y) 2 x1

Исключая параметр t, получаем (x C1 ) + y 2 = C 2 — уравнение окружности с центром в точке (C1, 0) и радиусом C 2, а условие на левом конце y (0 ) = 0 дает ( x C )2 + y 2 = C 2.

Чтобы найти константу C заметим, что для данного функционала условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности кривых y = y ( x) к y = ( x).

Окружность ортогональна прямой лишь в том случае, когда диаметр окружности лежит на этой прямой. Отсюда получаем, что C = 5, т.е. (x 5) + y 2 = 25, или y = ± 10 x x 2.

1) Определения и формулировки теорем.

1. Записать условие трансверсальности.

2. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что левый конец закреплен, а правый подвижен, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче.

3. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что левый конец свободен, а правый подвижен, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче.

4. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что оба конца подвижны, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче.

5. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что оба конца свободны, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

точнее получить условия, при которых это выражение неотрицательно. Для этой цели преобразуем разность интегралов по двум, вообще говоря, различным кривым в интеграл по одной кривой.

Будем считать, что функция y = y ( x ) содержится в центральном или собственном поле экстремалей. Напомним, что экстремалью называется решение уравнения Эйлера.

Пусть область G на плоскости ( x, y ) содержит кривую, заданную функцией y ( x). Если через каждую точку области G проходит и при том единственная кривая, являющаяся решением уравнения Эйлера, то говорят, что множество таких экстремалей образует собственное поле.

Поле экстремалей называется центральным, если выполнены те же условия, но все экстремали пересекаются в одной точке ( (a, A) или (b, B) ).

В обоих случаях можно однозначно определить функцию p ( x, y ) :

p ( x, y ) — производная в точке x той экстремали y ( x), которая проходит через точку ( x, y ). В случае центрального поля функция p ( x, y ) определена везде в области G, кроме одной из точек пересечения экстремалей (a, A) или (b, B).

минимума (или максимума) функции N переменных. Очевидно, что max V [ y ] max (1. n ) min (1. n ) min V [ y ].

Можно применять и другие подходы. Из-за недостатка времени мы не можем рассмотреть их подробно. Эти методы изучаются в курсе “Численные методы”, а также в специальных курсах, посвященных численным методам решения экстремальных задач.

1) Определения и формулировки теорем.

1. Сформулировать определение центрального поля экстремалей.

2. Сформулировать определение собственного поля экстремалей.

3. Сформулировать достаточные условия сильного минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

4. Сформулировать достаточные условия слабого минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

5. Сформулировать достаточные условия Лежандра сильного минимума в задаче с закрепленными концами.

6. Сформулировать достаточные условия Лежандра слабого минимума в задаче с закрепленными концами.

7. Сформулировать достаточные условия сильного максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

8. Сформулировать достаточные условия слабого максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

9. Сформулировать достаточные условия Лежандра сильного максимума в задаче с закрепленными концами.

10. Сформулировать достаточные условия Лежандра слабого максимума в задаче с закрепленными концами.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Обосновать достаточные условия сильного минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

2. Обосновать достаточные условия слабого минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

3. Обосновать достаточные условия Лежандра сильного минимума в задаче с закрепленными концами.

4. Обосновать достаточные условия Лежандра слабого минимума в задаче с закрепленными концами.

5. Обосновать достаточные условия сильного максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

6. Обосновать достаточные условия слабого максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

7. Обосновать достаточные условия Лежандра сильного максимума в задаче с закрепленными концами.

8. Обосновать достаточные условия Лежандра слабого максимума в задаче с закрепленными концами.

Эта тема по предмету рассмотрения примыкает к первой главе, однако, помещена в конец курса, поскольку существенно использует методы вариационного исчисления.

Как и ранее, будем предполагать, что ядро K ( x, s ) — функция, непрерывная по совокупности аргументов x [c, d ], s [a, b], а решение y ( s ) — непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Тем самым, мы можем рассматривать оператор A как действующий в следующих пространствах:

A : C[a, b] h[c, d ] A : h[a, b] h[c, d ].

Остановимся подробнее на первом случае и покажем, что задача решения уравнения Фредгольма первого рода при условии A : C[a, b] h[c, d ] является некорректно поставленной.

Напомним определение корректной постановки задачи.

1) Решение существует для любой непрерывной на [c, d ] функции f (x).

На самом же деле, это не так: существует бесконечно много непрерывных функций, для которых решения нет. Мы не можем доказать это утверждение в общем виде. Для доказательства необходимо использовать некоторые сведения из функционального анализа, знание которых выходит за рамки данного курса. Поэтому поясним это утверждение только на примере.

Пусть ядро K ( x, s ) таково, что существует K x ( x0, s ), x0 (c, d ), для любого

функции y ( s ). А теперь в качестве f (x) возьмём непрерывную функцию такую, что f ( x) x = x не существует. Тогда очевидно, что решение интегрального уравнения также не существует.

2) Единственность решения.

Будем требовать, чтобы ядро было замкнуто. Тогда, если решение есть, то оно единственно.

Первые два условия корректности эквивалентны условию существования обратного оператора A 1 с областью определения D( A1 ) = h[c, d ]. Если ядро замкнуто, то обратный оператор существует, однако область его определения не совпадает с h[c, d ].

3) Устойчивость решения.

Точно также можно определить регуляризирующий алгоритм решения Ay = f, A : N1 N 2, где N1 и N 2 – нормированные операторного уравнения пространства.

Некорректно поставленная задача называется регуляризируемой, если существует хотя бы один регуляризирующий алгоритм ее решения.

Все математические задачи, сводящиеся к решению операторного уравнения Ay = f, могут быть классифицированы следующим образом:

1) корректно поставленные;

2) некорректно поставленные, регуляризируемые;

3) некорректно поставленные, нерегуляризируемые.

Понятно, что корректно поставленные задачи являются регуляризируемыми, поскольку в качестве регуляризирующего алгоритма можно выбрать обратный оператор.

Рассмотрим регуляризирующий алгоритм решения интегрального уравнения первого рода, предложенный А. Н. Тихоновым.

Введем функционал Тихонова M [ y ] = Ay f h[ c, d ] + (|| y ||h[ a,b ] + || y ||2[ a,b ] ), h

Из этого неравенства следует, что множество функций является равностепенно непрерывным.

Докажем теперь равномерную ограниченность.

1. Сформулировать определение корректно и некорректно поставленной задачи.

2. Сформулировать определение регуляризируемой некорректно поставленной задачи.

3. Сформулировать регуляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова.

4. Записать функционал А. Н. Тихонова.

5. Сформулировать теорему о существовании и единственности минимума функционала А.Н.Тихонова.

6. Сформулировать теорему о согласовании параметра регуляризации в функционале А.Н.Тихонова с погрешностью входных данных для построения регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

2) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать.

1. Доказать, что задача решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с «малым»

корректно поставлена в C[a, b].

2. Доказать, что задача решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с «малым»

корректно поставлена в h[a, b].

3. Доказать, что задача решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода при интегральный оператор действует A : C[a, b] h[a, b], является условии, что некорректно поставленной.

4. Доказать, что если взаимно однозначный оператор A является вполне непрерывным при действии из h[a, b] в h[c, d ], то обратный оператор не является ограниченным.

5. Доказать теорему о существовании и единственности минимума функционала А.Н.Тихонова.

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ» РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е.Н. ЛАТУШКИНА, С.Н. СИДОРЕНКО ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ КАК ОСНОВЫ КОМПЛЕКСНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ Учебное пособие Москва Инновационная о. »

«Общественное здоровье и здравоохранение: практикум : [учебное пособие для среднего профессионального образования по специальностям 060101.52 Лечебное дело, 060102.51 и 060102.52 Акушерское дело, 060109.51 Сестринское дело, для вузов по специаль. »

«БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ С. Н. Вангородский, С. К. Миронов МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ к учебнику В. Н. Латчука, В. В. Маркова, С. К. Миронова, С. Н. Вангородского ОСНОВЫ класс БЕЗОПАСНОСТИ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ УДК 372.861.4 ББК 74.266.8 В17 Вангородский, С. Н. Методическое пособие к учебнику В. Н. Латчука, В17 В. »

«Е.А. ТЮГАШЕВ СЕМЬЕВЕДЕНИЕ НОВОСИБИРСК 2006 ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ Е.А. Тюгашев СЕМЬЕВЕДЕНИЕ Учебное пособие для студентов с. »

«ВЛАДОВ М.Л., СТАРОВОЙТОВ А.В. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОРАДИОЛОКАЦИЮ М Издательство Московского университета УДК 550.837.2:621.396.6 ББК 26.2 В 57 Рецензент доктор геол.мин. наук, профессор В.К. Хмелевской Владов М.Л., Старовойтов А.В. В 57 Введение в георадиолокацию. Учебное пособие – М.: Издательство МГУ, 2004. – 153. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Улан-Удэнский колледж железнодорожного транспорта Улан-Удэнского института железнодорожного транспорта филиала федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Иркутский госуд. »

«СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Раздел 1. ОБЩАЯ ЧАСТЬ (В.И, Гузеев, В.А. Батуев) Раздел 2. НОРМАТИВЫ РЕЖИМОВ РЕЗАНИЯ 2.1. ТОЧЕНИЕ И РАСТАЧИВАНИЕ (В.И. Гузеев, КВ. Сурков) 2.1.1. Методические указания 2.1.2. Примеры расчета режимов резания Карта 1. Число стадий обработки. Точение, растачивание Карта. »

«Министерство образования Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра «Технология продуктов общественного питания» Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине сп. »

«МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ АВТОМОБИПЬНО ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ Е.М.Солодников УГВЕР1ДАЮ’ З а в. кафедрой ГП и ГПА д. т. н., профессор 5 0 октября 1961 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ДЯСЦШ1ТЛНЕ •ТадРОПНЕВМОАВТОМАТИКА /ЭЛЖГРО. »

«U Утверждены Постановлением Госгортехнадзора России от 20 декабря 2001 г. N 61 K.R Введены в действие с 1 апреля 2002 года МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ЭКСПЕРТНЫХ ОБСЛЕДОВАНИЙ ВЕНТИЛЯТОРНЫХ УСТАНОВОК ГЛАВНОГО ПРОВЕТРИВАНИЯ T-N РД 03-427-01 Норма. »

«Технологии PDF от Adobe на сегодняшний день считаются стандартом при производстве полиграфической продукции. Практически все современные программные продукты, используемые в допечатной подготовке, поддерживают этот формат. Данное методическое пособие предназначено для тех, кто выпол. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Улан-Удэнский колледж железнодорожного транспорта Улан-Удэнского института железнодорожного транспорта филиала Федерального государственного бюджетного образовательног. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОЕКТИРОВАНИЕ ШВЕЙНЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов. »

«Ю.П. Анисимов Ю.В. Журавлёв С.В. Шапошникова ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Учебное пособие Воронежская государственная технологическая академия Ю.П. Анисимов, Ю.В. Журавлёв, С.В. Шапошникова ТЕОРИЯ И ПРАК. »

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА КАФЕДРА ЗАЩИТЫ И ДЕЙСТВИЙ НАСЕЛЕНИЯ В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ ЗАЩИТА И ДЕЙСТВИЯ НАСЕЛЕНИЯ В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ Учебное пособие Москва. 2014 г. УДК 614 ББК 51.1; 38.96 Е 60 Рецензенты: Защита и действия населения в чрезвы. »

«Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра безопасности жизнедеятельности МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению раздела Безопасность жизнедеятельности в дипломных проектах для выпу. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ О.А. Гнездилова, О.В. Подвербная, В.А. Подвербный, Е.В. Филатов РАЗМЕЩЕНИЕ РАЗДЕЛЬНЫХ ПУНКТОВ И ИСКУССТВЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ НА. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Иркутский государственный университет» Карнаков В.А. »

«Къуныжъ МыхьаМэт АДЫГЭ ЛИТЕРАТУР я 7-рэ класс Адыгэ Республикэм гъэсэныгъэмрэ шIэныгъэмрэкIэ и Министерствэ ыштагъ ЗэхъокIыныгъэхэмрэ хэгъэхъоныгъэхэмрэ зиIэ ящэнэрэ тедзэгъу Мыекъуапэ ООО-у «Качествэр» УДК 373.167.1:811.352.3+811.352.3(075. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» НЕВИННОМЫССКИЙ Т. »

2017 www.kn.lib-i.ru — «Бесплатная электронная библиотека — различные ресурсы»

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление

Руслан Свирский 5 лет назад Просмотров:

1 Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет В Т Волков, А Г Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов курса физического факультета Москва 6

2 ЛИТЕРАТУРА Основная Ягола АГ Интегральные уравнения Вариационное исчисление (общий курс) Курс лекций опубликован в Интернет: Васильева АБ, Тихонов Н А Интегральные уравнения М: Физматлит, Эльсгольц ЛЭ Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М: УРСС, 4 Васильева АБ, Медведев ГН, Тихонов НА, Уразгильдина ТА Дифференциальные и интегральные уравнения Вариационное исчисление М: Физматлит, Дополнительная АН Колмогоров, СВ Фомин Элементы теории функций и функционального анализа М: Наука, 989 ГЕ Шилов Введение в теорию линейных пространств ВВ Городецкий, НИ Нагнибида, ПП Настасиев Методы решения задач по функциональному анализу Киев: Выща школа, 99 4 ММ Вайнберг Функциональный анализ М: Просвещение, Функциональный анализ в примерах и задачах Методическое пособие под ред ВВ Корнева Изд Саратовского ун-та, Владимиров ВС, Жаринов ВВ Уравнения математической физики М: Физматлит, 7 Владимиров ВС, Вашарин АА Сборник задач по уравнениям математической физике М: Физматлит,

4 ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов, y определен элемент + y L (называемый суммой и y), и для любого элемента L и любого (вещественного) числа α определен элемент α L, причем выполнены следующие условия: ) для любых элементов, y L + y = y+ (коммутативность сложения); ) для любых элементов, yz, L ( + y) + z = + ( y+ z) (ассоциативность сложения); ) существует элемент θ L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента L + θ = (существование нулевого элемента); 4) для любого элемента L существует элемент ( ) L (называемый обратным к ) такой, что + ( ) = θ (существование обратного элемента); 5) для любых элементов, y L и любого (вещественного) числа α α( + y) = α+ αy (дистрибутивность умножения суммы элементов на число); 6) для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента L ( α + β) = α+ β (дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент); 7) для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента L ( αβ) = α( β) (ассоциативность умножения на число); 8) для любого элемента L = (свойство единицы) Элементы. m линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие (вещественные) числа C, C,, C m, не все равные нулю, что m k = C k k = θ ; если же последнее равенство имеет место в единственном случае C = C = = C m =, то элементы. m — линейно независимы Натуральное число, называется размерностью линейного пространства, если существуют линейно независимых элементов пространства, а любые + элементов — линейно зависимы В этом случае линейное пространство называется конечномерным (мерным) Если для любого натурального можно указать линейно независимых элементов, то линейное пространство называется бесконечномерным Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов, y M определено вещественное число ρ (, y) (называемое метрикой, или расстоянием), причем выполнены следующие условия: ) для любых элементов, y M ρ( y, ), причем ρ ( y, ) = тогда и только тогда, когда элементы и y совпадают (неотрицательность метрики); ) для любых элементов, y M ρ(, y) = ρ( y, ) (симметричность метрики); ) для любых элементов, yz, M ρ(, y) ρ(, z) + ρ( y, z) (неравенство треугольника) Метрическое пространство не обязательно является линейным Последовательность элементов метрического пространства M, =,, сходится к элементу M ( при ), если ρ(, ) при

5 Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента N определено (вещественное) число (называемое нормой), причем выполнены следующие условия: ) для любого элемента N, причем = тогда и только тогда, когда = θ — нулевой элемент пространства; ) для любого элемента N и любого (вещественного) числа α α = α (неотрицательная однородность нормы); ) для любых элементов, y N + y + y (неравенство треугольника) Нормированное пространство является метрическим, если положить ρ (, y) = y Последовательность элементов нормированного пространства N, =,, сходится (по норме пространства N) к элементу при N ( при ), если Из сходимости последовательности по норме пространства следует сходимость последовательности (числовой!) норм, те если при, то при Обратное, вообще говоря, неверно Последовательность, =,, элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого ε > найдется номер K такой, что для любого K и любого натурального p выполнено неравенство + p ε Если последовательность сходится, то она фундаментальна Если же любая фундаментальная последовательность элементов сходится, то нормированное пространство называется полным Полное нормированное пространство называется банаховым Последовательность, =,, элементов нормированного пространства N называется ограниченной, если существует константа C такая, что =,, Последовательность C для всех, =,, элементов нормированного пространства N, обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной Любая компактная последовательность является ограниченной В конечномерном пространстве верно и обратное утверждение, однако, для бесконечномерных пространств это, вообще говоря, не так Линейное пространство E называется евклидовым, для любых двух элементов, y E определено вещественное число (, y ), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие условия: ) для любых элементов, y E (, y) = ( y, ) (симметричность); ) для любых элементов, yz, E ( + yz, ) = ( z, ) + ( yz, ) (аддитивность по первому аргументу); ) для любых элементов, y E и любого вещественного числа α ( α, y) = α(, y) (однородность по первому аргументу); 4) для любого E (, ), причем (, ) = тогда и только тогда, когда = θ (свойство скалярного квадрата) В евклидовом пространстве Е всегда можно ввести норму, порожденную скалярным произведением = (, ) E

6 Для любых двух элементов и y произвольного евклидова пространства выполняется неравенство Коши-Буняковского (, y) (, ) ( y, y) или (, y) y, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда элементы и y линейно зависимы Напомним определения основных встречающихся далее линейных пространств Нормированное пространство C [, ] Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [, ] функции Норма определяется как y C [, ] = m y( ), сходимость по норме пространства C [, ] — равномерная [, ] сходимость Пространство C [, ] — банахово (полное) ( p Нормированное пространство C ) [, ] Элементами этого пространства являются функции, непрерывные с производными до p-го порядка включительно на отрезке ( k ) [, ] Норма определяется как y ( p ) = m y ( ), сходимость по норме C [, ] [, ] k = ( p пространства C ) [, ] — равномерная со всеми производными до p-го порядка ( p Пространство C ) [, ] — банахово Евклидово (нормированное) пространство h [, ] Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [, ] функции Для любых двух непрерывных функций положим ( yz, ) = yzd ( ) ( ) — скалярное произведение, и введем норму, порожденную скалярным произведением p h [, ] ( ) y = y d; сходимость по норме пространства h [, ] — сходимость в среднем Пространство h [, ] не является полным Примеры решения задач Пример Доказать, что множество (вещественных) функций, непрерывных на отрезке [, ] образует (вещественное) линейное пространство (пространство C [, ]) Решение Так как сумма двух непрерывных функций, а также произведение непрерывной функции на вещественное число, также являются непрерывными функциями, то для решения задачи необходимо проверить аксиомы линейного пространства ) y ( ), z ( ) C [, ] y ( ) + z ( ) = z ( ) + y ( ); ) y ( ), z ( ), w ( ) C [, ] [ y ( ) + z ( )] + w ( ) = y ( ) + [ z ( ) + w ( )]; ) нулевым элементом пространства естественно считать y ( ) C [, ]; 4) y ( ) C [, ] существует противоположный элемент y ( ) C [, ] ; 5) y ( ), z ( ) C [, ], α α [ y ( ) + z ( )] = αy ( ) + αz ( ); 6) y ( ) C [, ], α, β ( α + β) y ( ) = αy ( ) + βy ( ); 7) y ( ) C [, ], α, β ( αβ) y ( ) = α [ βy ( )]; 8) y ( ) C [, ] y ( ) = y ( )

7 Пример Доказать, что пространство C [, ] является нормированным, если для y ( ) C [, ] определить y C [, ] = m y( ) [, ] Решение Для доказательства достаточно убедиться в корректности указанного определения нормы, те проверить аксиомы нормы ) y ( ) C [, ]: y C [, ] = m y( ), причем y C [, ] = y( ) = θ ; [, ] ) y ( ) C [, ], α : αy C [, ] = m αy( ) = α m y( ) = α y C [, ]; [, ] [, ] ) y ( ), z ( ) C [, ] : y+ z C [, ] = m y( ) + z( ) [, ] m( y ( ) + z ( ) ) m y ( ) + m z ( ) = y C [, ] + z C [, ] [, ] [, ] [, ] Пример Доказать неравенство Коши-Буняковского в пространстве h [, ] и проверить корректность определения нормы в этом пространстве () h [, ] y = y s ds Решение Неравенство Коши-Буняковского в пространстве h [, ] имеет вид ( ), ( ) [, ] ( y, z) y( ) z( ) d y ( ) d z ( ) d y z h Для доказательства рассмотрим следующее очевидное соотношение ( y+ λz, y+ λz) = ( y, y) + λ( y, z) + λ ( z, z), которое справедливо для любых двух элементов пространства y ( ), z ( ) h [, ] и любого вещественного числа λ Поэтому дискриминант квадратного (относительно λ ) трехчлена должен быть отрицательным, те 4( yz, ) 4( yy, )( zz, ), откуда и получаем требуемое неравенство: ( y, z) y( ) z( ) d ( y, y)( z, z) y ( ) d z ( ) d Замечание Приведенное доказательство может быть проведено в любом евклидовом пространстве Для проверки корректности определения нормы в пространстве h [, ] нужно убедиться в справедливости соответствующих аксиом в определении нормы ) y ( ) h [, ]: ) y ( ) h [, ], α : ) y ( ), z ( ) h [, ]: = ( ) h [, ] y y d, причем y h [, ] = y( ) = θ ; = ( ) = ( ) = h [, ] h [, ] h ; αy α y d α y d α y y+ z = ( y ( ) + z ( )) d= ( y( ) + z( ) + yz ( ) ( )) d [, ] (с учетом неравенства Коши-Буняковского) y ( ) d z ( ) d y ( ) d z ( ) d ( y ) h [, ] z h [, ], + + = + откуда получаем неравенство треугольника y+ z y [, ] h [, ] + z h h [, ] 4

8 Пример 4 Найти норму y ( ) = si+ cos ) в пространстве C[, ]; б) в пространстве h[, ] Решение а) si + cos C[, ] = m si + cos = ; б) [, ] si + cos h[, ] = (si + cos ) d = Пример 5 Доказать, что любая сходящаяся последовательность элементов нормированного пространства фундаментальна Решение Последовательность элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого ε > найдется номер K такой, что для любого K и любого натурального p выполнено + p ε Пусть последовательность элементов нормированного пространства сходится (по норме пространства N) к элементу N, тогда для любого ε > существует номер К такой, что при K и любом натуральном p одновременно выполнены два неравенства: ε ε и + p Пользуясь неравенством треугольника, получим при K и любом натуральном p = + + ε, что и требовалось + p + p + p Пример 6 Доказать, что пространство h [, ] не является полным Решение Для доказательства достаточно построить пример фундаментальной последовательности элементов пространства h [, ], которая не является сходящейся в этом пространстве Рассмотрим для определенности пространство h[,] и такую последовательность непрерывных функций (элементов этого пространства):, y( ) =,, а) Докажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве h[,] Зададим произвольное ε > и положим m>, тогда существует такое натуральное число N( ε ), для которого 5

9 m ( ) m( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) h[,] m m 4 4 y y = y y d = m d + d = + > N( ε ) = + ε, что и требовалось доказать б) Пусть последовательность y( ) сходится в пространстве h[,], те существует непрерывная функция ϕ ( ) такая, что для ε > N( ε ) и при N ( ε ) выполнено неравенство y( ) ϕ( ) ( y ( ) ( )) h[,] ϕ d ε =, N( ε ) такое, что при N ( ε ) имеем ( ( ) ψ ( )) ( ) ε y d = d = Поэтому, для ε > и m < N( ε ), N( ε )>справедливы следующие соотношения: ϕ ψ ϕ ψ получаем противоречие, а значит предположение о сходимости последовательности y( ) в пространстве h[,] неверно Итак, построенная последовательность y( ) фундаментальна в пространстве h[,], но не является сходящейся, что и требовалось доказать Пример 7 Доказать, что не всякая ограниченная последовательность в пространстве C [, ] является компактной Решение Рассмотрим пространство C [,] и последовательность элементов этого пространства y = si, =. Очевидно, y [,] = m y ( ) =, те C [,] последовательность ограничена Покажем, что никакая ее подпоследовательность не может сходиться в C [,] 6

10 Действительно, для любого номера i существует точка = [,] такая, что в i + i ней yi ( ) = si = При этом для любого k > i в этой же точке имеет место i+ k yk ( ) = si = Следовательно, y i+ i yk C[,] yi( ) yk( ) =, те никакая подпоследовательность рассматриваемой последовательности не является фундаментальной, а значит и не может сходиться 7

11 Задачи для самостоятельного решения Доказать, что пространство h [, ] является линейным ( p Доказать, что пространство C ) [, ] является линейным Доказать, что в пространстве нельзя ввести норму по формуле = rctg 4 Можно ли определить нормы следующими функциями для указанных множеств: а) y m y( ) в C [, ] ; [, + ] б) y = y( ) + m y ( ) в [, ] в) y = y( ) y( ) + m y ( ) в [, ] C () [, ]; C () [, ] 5 Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространств C [,] и C () [,] : а) y = si cos б) y = cos si в) y = г) y = 4 д) y = 6 6 Найти нормы в пространстве h [,] : а) y = si cos б) y = в) y = 7 Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта последовательность ограничена 8 Построить пример, показывающий, что из сходимости в среднем на отрезке [, ] функциональной последовательности не следует равномерная (и даже поточечная) сходимость 9 Построить пример бесконечной ортонормированной системы в пространстве h [, ] Привести пример ограниченной некомпактной последовательности в пространстве h [, ] Доказать, что последовательность y ( ) = ограничена и некомпактна в пространстве C [,] Доказать, что последовательность непрерывно дифференцируемых на [, ] функций y ( ), удовлетворяющих неравенству пространстве C[, ] h h y + y γ, γ >, является компактной в [, ] [, ] Ответы к задачам 4 а) нет; б) да; в) нет 5 а) y = C[,] 5, y = ( + ) 5 ; C () [,] y =, y = ( + ) ; C () [,] б) C[,] y =, y = 5; C () [,] в) C[,] y = 4, y = 8 ; C () [,] г) C[,] y = 9, y = 5 C () [,] д) C[,] 6 а) 5 y h[,] = ; б) y h[,] = ; в) y h[,] = 4 8

12 ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор А, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L называется линейным, если для любых элементов y и y из L и любых вещественных чисел α и α выполнено равенство A( αy+ αy) = αay+ αay Пусть DA- ( ) область определения, а R( A) — множество значений оператора А Если оператор A: y = A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, взаимно однозначный, то можно ввести обратный оператор A : A y = с областью определения DA ( ) = RA ( ) и множеством значений R( A ) = D( A) = L Нуль-пространством оператора A называется множество Ker A = < L : A = θ>Очевидно, что Ker A линейное подпространство L, причем θ Ker A Если Ker A < θ >(нуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным Определение A Оператор A называется непрерывным в точке y D( A), если для любого ε > найдется такое δ >, что для всех y D( A) и удовлетворяющих неравенству y y δ выполняется неравенство Ay Ay ε Определение Б Оператор A называется непрерывным в точке y D( A), если для любой последовательности y D( A), такой что y y, последовательность Ay сходится к Ay Определения А и Б эквивалентны Оператор A называется непрерывным на DA ( ) (на N ), если он непрерывен в каждой точке Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, если он является непрерывным в нуле Нормой линейного оператора А называется число A N sup N = Ay N Линейный оператор называется ограниченным, если существует 8 y N = sup y N = Ay N 13 Примеры решения задач Пример Докажите, что интегральный оператор Фредгольма Ay = K (, s) y( s) ds с непрерывным ядром является ограниченным при действии из C [, ] в C [, ] и найдите оценку сверху для нормы оператора Решение Пусть z ( ) = Ay K( sysds, ) ( ), где ys () — произвольная непрерывная на [, ] функция, причем y C [, ] = m y( ) = Так как ядро K(, s ) непрерывно на [, ] замкнутом ограниченном множестве (квадрате [, ] [, ]), то оно ограничено Обозначив K = m K(, s), для любого [, ] получим s, [, ] z( ) = K(, s) y( s) ds K(, s) y( s) ds m y( s) K(, s) ds y K ( ) s [, ] C [, ] Тогда Ay C [, ] = z C [, ] m z( ) y C [, ] K ( ) = K ( ), откуда следует [, ] что оператор Фредгольма с непрерывным ядром, действующий из C [, ] в C [, ], ограничен Так как доказанное выше неравенство верно для любой непрерывной функции y ( ): y =, то для нормы оператора справедлива оценка C [, ] y = = A sup Ay K ( ) Пример Докажите, что интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром является вполне непрерывным при действии из C [, ] в C [, ] Решение Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность y( ) непрерывных на [, ] функций, тогда для любого имеет место оценка y = m y ( ) M Пусть z ( ) = Ay K(, s) y ( s) ds Для решения задачи C [, ] [, ] достаточно показать, что последовательность z( ) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке [, ] а) Докажем сначала равномерную ограниченность Обозначим K = m K(, s) Тогда z ( ) K(, s) y ( s) ds K(, s) y ( s) ds M K ( ) C s, [, ] = =, что и K M требовалось доказать б) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательности z( ) Возьмем произвольные точки [, ] Имеем, z ( ) z ( ) = [ K(, s) K(, s)] y ( s) ds K(, s) K(, s) y ( s) ds M 9

14 Фиксируем произвольное ε > Функция K(, s ) непрерывна по совокупности аргументов, s на замкнутом ограниченном множестве [, ] [, ] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом множестве Поэтому для любого ε > найдется такое δ >, что ε K(, s) K(, s), если δ M ( ) Итак, для любого ε > существует δ >, что z ( ) z ( ) K(, s) K(, s) y ( s) ds K(, s) K(, s) y ( s) ds ε ε M M ( ) для всех =,, и всех [, ], удовлетворяющих неравенству δ, те, последовательность z ( ) равностепенно непрерывна По теореме Арцела, из последовательности непрерывных функций z () можно выделить равномерно сходящуюся (к непрерывной функции!) подпоследовательность Этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности z (), поэтому оператор А является вполне непрерывным при действии C [, ] C [, ] Пример Доказать, что если линейный оператор B : N N является ограниченным, а линейный оператор A : N N вполне непрерывным, то BA : N N вполне непрерывный оператор ( N, N, N нормированные пространства) Решение а) Оператор A: N N является вполне непрерывным, поэтому для любой ограниченной последовательности z N соответствующая ей последовательность Az N является компактной б) Докажем, что ограниченный оператор B: N N переводит компактную последовательность y N в компактную By N Так как y компактна, то из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся yk y N Рассмотрим последовательность By N и любую ее подпоследовательность By k Из соответствующей последовательности y N можно выделить подпоследовательность k ym y Ввиду непрерывности оператора B последовательность m Bym By N, а значит By является компактной By также сходится: Поэтому оператор BA : N N переводит любую ограниченную последовательность z N в компактную BAz N, те является вполне непрерывным Пример 4 Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве Доказать, что множество элементов пространства таких, что Ay = θ, образует замкнутое линейное подпространство (нуль-пространство оператора) Решение а) Рассмотрим произвольные элементы y и y такие, что Ay = θ и Ay = θ Тогда для любых α, α выполнено A( αy+ αy) = αay+ αay = θ, те множество элементов y : Ay = θ — линейное пространство б) Докажем его замкнутость, те если Ay = θ и y y, то Ay = θ

15 Так как А — ограниченный линейный оператор, то Ay = ( Ay Ay) + Ay Ay Ay + Ay A y y Поэтому Ay =, а значит Ay = θ, что и требовалось доказать = при Замечание Так как вполне непрерывный оператор является ограниченным, то доказанное утверждение справедливо и для вполне непрерывного оператора Пример 5 Доказать, что если линейный оператор А имеет обратный, то обратный оператор также является линейным A Решение Пусть A — взаимно однозначный оператор, тогда существует обратный оператор A Для решения задачи достаточно проверить при любых y, y R( A) и любых α, α справедливость равенства A ( αy+ αy) = αa y+ αa y Пусть A = y, A = y, тогда из линейности оператора А следует A( α + α ) = α A + α A = α y + α y, и по определению обратного оператора С другой стороны, α+ α= A ( αy+ αy) =, =, откуда умножая на, αa y+ αa y = α+ α A ( αy αy) α α αa y αa y A y A y Из двух последних равенств имеем требовалось доказать α α и складывая, получим + = + = +, что и Пример 6 Доказать, что если оператор А линейный, то обратный оператор существует тогда и только тогда, когда оператор A невырожденный Решение а) Достаточность Пусть оператор А невырожденный, те A = θ = θ (нульпространство оператора А тривиально) Тогда для любых двух элементов имеем A ( ) θ A A, те оператор А взаимно однозначный, а значит существует обратный оператор A б) Необходимость Пусть оператор А имеет обратный A Заметим; что A — линейный оператор (см пример 5) и докажем что А — невырожденный Пусть это не так, те существует θ такой, что A = θ Тогда θ = A A= A ( A) = A θ = θ Полученное противоречие показывает, что если A = θ = θ, то = θ, те оператор А — невырожденный A d Пример 7 Пусть оператор дифференцирования A = определен на подпространстве d () C [,] непрерывно дифференцируемых функций y, ( ) удовлетворяющих условию y () = Доказать, что оператор A имеет обратный и найти Решение Множеством значений оператора А является пространство C [,] Докажем, что d обратный оператор A существует Так как уравнение Ay = θ y( ), y() = d A

16 имеет единственное решение y ( ) = θ, те нуль-пространство оператора А тривиально, то оператор А невырожденный, и обратный оператор A существует Чтобы найти A, нужно для любой функции z ( ) C[,] решить уравнение () d Ay = z ( y( ) C [,]), или y ( ) = z ( ), y () = Решением указанной задачи Коши d является y ( ) = zsds ( ), те A z = z() s ds d Замечание Если рассматривать оператор дифференцирования A = при действии d C () [,] C[,], то он является вырожденным, так как нуль-пространство в этом случае нетривиально и состоит из функций y ( ) = c Поэтому обратный оператор не существует Вспомните, что первообразная непрерывной функции определяется с точностью до d постоянной (элемент из Ker A (нуль-пространства) оператора A = ), те отображение d C () [,] C[,], осуществляемое оператором дифференцирования, не является взаимно однозначным Пример 8 Доказать, что если оператор A, действующий в бесконечномерном нормированном пространстве является вполне непрерывным, то обратный оператор неограничен Решение Предположим, что обратный оператор A является ограниченным Так как А — вполне непрерывный оператор, а по предположению, оператор A является ограниченным, то оператор A A является вполне непрерывным (см пример ), что неверно, так тождественный оператор A A= I не является вполне непрерывным (см курс лекций) Полученное противоречие доказывает, что A — неограничен Пример 9 Рассмотрим оператор Вольтерра By = y() s ds ( [,]), действующий в пространстве C [,] а) Доказать, что В является ограниченным б) Доказать, что В имеет обратный оператор, который определен на некотором подпространстве и неограничен в) Построить оператор ( I B) Решение а) Очевидно, что оператор В является линейным и определен на всем пространстве C [,] Рассмотрим множество y = m y( ) = На этом множестве имеем C[,] [,] [,] [,] By = m ysds ( ) m ys ( ) ds рассматриваемого оператора, что и доказывает ограниченность б) Оператор В отображает все пространство C [,] на линейное подпространство непрерывно дифференцируемых функций z ( ) = By= ysds ( ), удовлетворяющих условию

17 z () = Так как из равенства ysds= () (верного при [,] ) следует, что y ( ), то By = θ y = θ, те нуль-пространство оператора В содержит только нулевой элемент, оператор В — невырожденный, а значит имеет обратный, который определен на указанном выше подпространстве Обозначим DA ( ) — область определения оператора A Легко видеть, что d B By = y s ds = y d () () B =, так как d d BB y = y s ds= y y = y () () () () и Докажем, что обратный оператор неограничен Рассмотрим последовательность y D( A ) C[,] : y( ) = si, ( y() =. ), y C[,] =, =,, Тогда d B y = =, те C[,] m [,] si d B оператор является неограниченным sup B y y D( A ), y = не существует и Замечание Действуя аналогично примеру, можно показать, что рассматриваемый оператор Вольтерра является вполне непрерывным, следовательно, обратный оператор неограничен (пример 8) в) Чтобы построить оператор функции z ( ) решить уравнение ( I ) B, нужно для произвольной непрерывной y ( ) ysds ( ) = z ( ) Заметим сразу, что y() = z() Так как z ( ) может не быть дифференцируемой, то ищем решение в виде y ( ) = z ( ) + w ( ), где w ( ) — новая неизвестная функция, для которой имеем Очевидно, что ( ) w( ) = z( s) ds + w( s) ds, w() = w дифференцируема; для ее определения получаем задачу Коши w ( ) = w( ) + z( ), w() =, решение которой имеет вид ( I ) s w ( ) = e zse ( ) ds Поэтому B определяется формулой Замечание Рассмотрим оператор s y ( ) = z ( ) + e zse ( ) ds, и обратный оператор s ( I B) z z( ) z( s) e ds = + t () () ( ) () Легко B y = dt y s ds= y s ds dt = s y s ds s показать, например, методом математической индукции, что t + ( t s) ( t s) ( s) B y = BB y = dt y() s ds = y() s ds dt = y() s ds ( )! ( )!! Далее, разложив функцию s s e в ряд ( s) + s ( s) e =, будем иметь! ( I B) z = z( ) + z( s) ds= z+ B z Таким образом, мы получили! представление оператора ( I B) в виде ряда Неймана I B I B ( ) = +

18 d Пример Доказать, что оператор дифференцирования A = d а) не является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] ; б) является вполне непрерывным при действии C () [,] C[,] Решение а) Рассмотрим в C () [,] последовательность cos y =, =. Эта последовательность ограничена в C () [,], так как для любого номера имеем y = m y ( ) m ( ) () [,] + y C = + такая, что y = m y ( ) m ( ) m ( ) () [,] + y C + y M [,] [,] [,] для любого номера Заметим, что отсюда вытекают два неравенства: m y ( ) M и m y ( ) M [,] [,] d Рассмотрим последовательность z( ) = Ay = y( ) Все функции z( ) d непрерывны, причем, ввиду сделанного замечания, последовательность z( ) = y ( ) равномерно ограничена Докажем, что последовательность z ( ) равностепенно непрерывна Действительно, ε так как m y ( ) M, то для любого ε > найдется такое δ, что 19 5 Доказать, что нелинейный интегральный оператор является непрерывным и sup Ay , что для любого элемента y выполнено неравенство Ay C y 8 Доказать, что оператор дифференцирования, действующий из C () [, ] в C [, ], является ограниченным 9 Доказать, что оператор дифференцирования, определенный на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций пространства C [, ] и действующий из C [, ] в C, [, ] не является ограниченным Доказать, что если A — линейный ограниченный оператор, действующий A: N N, где N и N нормированные пространства, причем A, то A > а) Доказать, что линейный оператор А имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, если существует число m > такое, что для всех y DA ( ) выполнено Ay m y б) Доказать, что в этом случае норма обратного оператора равна A =, где М — максимальное из M возможных значений m, найденных в п а) Доказать, что если линейный оператор B: N N является вполне непрерывным, а линейный оператор A: N N ограниченный, то BA : N N — вполне непрерывный оператор ( N, N, N нормированные пространства) Сравнить с результатом примера Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h [, ] в C [, ], является вполне непрерывным оператором 4 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h [, ] в h [, ], является вполне непрерывным оператором 5 Доказать, что интегральный оператор Вольтерра By = K(, s) y( s) ds является вполне непрерывным при действии C [, ] C [, ] 6 Доказать, что оператор умножения на : Ay = y( ), действующий C [, ] C [, ], не является вполне непрерывным 7 Доказать, что единичный оператор, действующий в пространстве C [, ], не является вполне непрерывным 8 Доказать, что интегральный оператор ys () Ay = ( s) ds действии C[,] C[,] 9 Доказать, что дифференциальный оператор d Ay= y ( ) + 4 y ( ), d действующий () () C [,] C[,] ( C [,] — подпространство непрерывно дифференцируемых на [,] функций, удовлетворяющих условию y () =, с нормой пространства C () [,] ), имеет ограниченный обратный, и найти его Ответ: 4( s) A y = e y() s ds 5

20 ТЕМА Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным к оператору А, если y, y E (, ) (, ) Ay y = y A y Если A = A, то оператор А называется самосопряженным Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве L Число Λ называется собственным значением оператора A, если существует элемент y θ такой, что Ay =Λ y Элемент y называется собственным вектором Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению Λ, является подпространством пространства L Число λ = ( Λ ) называется характеристическим числом оператора A Λ Теорема Самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий в бесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором, соответствующим собственному значению Λ : Λ = A Это собственное значение является максимальным по модулю среди всех собственных значений оператора А Теорема, вообще говоря, не верна, если отказаться от условий самосопряженности или вполне непрерывности оператора (см примеры в конце темы) Элемент е называется максимальным элементом (вектором) оператора A, если e = и Ae = A Самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладает максимальным вектором Если z — максимальный вектор самосопряженного оператора А, то z -собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению Λ= A = M Если оператор A обладает собственным вектором z, соответствующим собственному значению M, то оператор А имеет собственный вектор, соответствующий собственному значению M или M Теорема Пусть ядро K (, s) оператора Фредгольма Ay = K(, s) y( s) ds h[, ] h[, ] является вещественным, симметрическим, непрерывным по совокупности переменных (, s) [, ] [, ], и не равно тождественно нулю Тогда оператор Фредгольма обладает собственным значением Λ, Λ : Ay = Λy, y, y h[, ] Иногда удобнее использовать характеристические числа: λ =, Λ Тогда в Λ утверждении теоремы следует записать λ A y = y Теорема Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны 6

21 Теорема Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора A, удовлетворяющих условию: A Λ δ >, (δ — фиксированное положительное число) конечно Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению, называется кратностью собственного значения Теорема Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов Нулевому собственному значению может отвечать как конечное, так и бесконечное число линейно независимых собственных векторов Теорема а) Множество собственных значений самосопряженного вполне непрерывного оператора А, действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве, представляет собой: либо бесконечную последовательность, тогда A = Λ Λ Λ — монотонно невозрастающая и ограниченная снизу нулем; либо конечную последовательность, тогда A = Λ Λ Λ > Λ + = (каждое собственное значение повторяется в эти неравенствах столько раз, какова его кратность) б) Если ненулевых собственных значений бесконечно много, то Λ в) Каждому собственному значению отвечает хотя бы один собственный вектор, причем можно выбрать собственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему (собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям ортогональны, а собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта) Для характеристических чисел вполне непрерывного самосопряженного оператора справедливы аналогичные результаты: либо λ λ λ (конечная последовательность характеристических чисел); либо λ λ λ (бесконечная последовательность характеристических чисел) В этом случае lim λ = Каждому характеристическому числу λ можно сопоставить собственный вектор ϕ, причем векторы < ϕ >образуют ортонормированную систему Аналогичные утверждения верны для интегрального оператора с непрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром В этом случае вместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегрального оператора или собственные функции ядра K (, s) Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор со следующей последовательностью характеристических чисел (неважно, конечной или бесконечной) : λ λ λ, которым соответствует ортонормированная последовательность собственных векторов ϕ, ϕ,, ϕ, Теорема Вектор y принадлежит нуль-пространству оператора А ( y Ker A ) тогда и только тогда, когда ( y, ϕ k ) = k =,, ( ϕ k — конечная или бесконечная последовательность) Теорема Гильберта-Шмидта Функция f () называется истокопредставимой через ядро K (, s), если существует непрерывная функция g () такая, что f ( ) = K(, s) g( s) ds Если функция f () истокопредставима через симметрическое 7

22 непрерывное ядро K (, s), то она может быть разложена в ряд f ( ) = f ϕ ( ), где f = ( f, ϕ ) = f( s) ϕ ( s) ds, причем этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [, ] k k k Можно рассматривать оператор Фредгольма в пространстве непрерывных C комплекснозначных функций h [, ], состоящем из комплекснозначных функций вещественной переменной : y( ) = u( ) + i v( ) [, ], функции u(), v() непрерывные на [,] вещественные функции В этом пространстве скалярное произведение вводится так: (, y = y ) ( ) y y ( ) d (здесь * k = k — знак комплексного сопряжения) Теорема Пусть интегральный оператор с непрерывным симметрическим вещественным ядром K (, s) действует в комплексном пространстве h C [,] Тогда этот оператор может иметь только вещественные собственные значения Если ядро K(,s) является вырожденным, те представимо в виде K(, s) = ( ) ( s), где ( ),, ( ) и ( s),, ( )- линейно независимы и j= j j s непрерывны по своим аргументам на [, ], то интегральный оператор является вырожденным В этом случае и у него всегда есть нулевое собственное значение, причем кратность его равна Отыскание других собственных значений сводится к решению эквивалентной алгебраической задачи на собственные значения и собственные векторы для некоторой матрицы c Λ ci = cj j( ) i( ) d, i =. или K C = Λ C, где K = < kij>i, j=, C = j= c kij Собственные значения Λ матрицы К и, следовательно, собственные значения (и характеристические числа λ = ) интегрального оператора Фредгольма теперь можно Λ найти, решив характеристическое уравнение det( K ΛI) = Некоторые задачи на нахождение характеристических чисел и собственных функций оператора Фредгольма с непрерывным невырожденным ядром рассмотрены также в примерах к теме 7 k 8

23 Примеры решения задач Пример Пусть M — подпространство евклидова пространства, инвариантное относительно самосопряженного оператора А Доказать, что ортогональное дополнение M подпространства М также инвариантно относительно оператора А Решение Рассмотрим любые элементы y M, z M, те ( yz, ) = Подпространство М инвариантно относительно оператора А, что означает Ay M для любого y M, те ( Ay, z ) = Нужно доказать, что Az M Оператор А — самосопряженный, поэтому ( Ay, z) = ( y, Az) =, те элемент Az ортогонален любому y M, следовательно Az M, что и требовалось доказать Пример Доказать, что норма вполне непрерывного самосопряженного оператора может быть найдена по формуле A = sup ( Ay, y) y = y = Решение Обозначим µ = sup ( Ay, y) и докажем, что указанная точная верхняя грань существует Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, получим ( Ay, y) Ay y A y = A, откуда следует существование sup ( Ay, y) и = = оценка µ = sup ( Ay, y) A y y = Докажем теперь, что справедливо неравенство µ A Для любого элемента у y = имеет норму, равную единице, поэтому ( Ay, y) sup ( Ay, y ) = µ, откуда y y = получаем ( Ay, y) µ y Пользуясь линейностью оператора А, свойствами скалярного произведения и равенством ( Ay, z) = ( y, Az) (определение самосопряженного оператора), нетрудно получить 4( Ay, z) = ( A( y + z), y + z) ( A( y z), y z) Из этого равенства с учетом полученной выше оценки, имеем 4 ( Ay, z) = ( A( y+ z), y+ z) ( A( y z), y z) ( A( y+ z), y+ z) + ( A( y z), y z) µ y+ z + µ y z = µ ( y + z ) Поэтому для произвольных элементов Ay пространства таких, что y =, z =, верно ( Ay, z ) µ Полагая z =, Ay получим ( Ay, Ay ) = Ay µ для любых у, таких что y =, откуда следует A µ Ay Итак, µ A µ, поэтому A = µ = sup ( Ay, y), что и требовалось y = Замечание Обратившись к теореме о существовании собственного вектора вполне непрерывного самосопряженного оператора, можно заключить, что если в рассмотренной задаче оператор А — вполне непрерывный, то максимальное по модулю собственное значение его удовлетворяет соотношению Λ = A = sup ( Ay, y) y = y = 9

24 Пример Рассмотрим оператор умножения Ay = ( ) y( ), действующий в пространстве h [,] а) Доказать, что указанный оператор является ограниченным и найти его норму б) Доказать, что у него нет максимального вектора Решение а) Напомним, что нормой линейного оператора называется число Рассмотрим в пространстве h [,] множество функций Тогда h[,] Ay = ( ) y( d ) y( d ) = A = sup Ay y = ( ): h[,] = ( ) = y y y d, поэтому оператор ограничен и для нормы оператора получаем оценку A Докажем, что норма рассматриваемого оператора равна Для этого достаточно построить последовательность y( ) непрерывных функций такую, что Ay h[,] ( ), Пусть y( ) =, Непосредственным вычислением легко проверить, что y h [,] = и h[,] Ay = ( ) ( ) d = Поэтому A = б) Докажем, что у рассматриваемого оператора в пространстве [,] h нет максимального вектора Напомним, что элемент y: y = называется максимальным вектором ограниченного оператора, если Ay = A Предположим, что y ( ): y = является максимальным вектором рассматриваемого оператора, тогда y = y ( ) d=, равенства, получим > Ay = ( ) y ( ) d = A = Вычитая последние два [ ( ) ] y ( ) d=, что невозможно Таким образом, сделанное предположение неверно, те максимального вектора у оператора нет Замечание Рассмотренный оператор умножения в пространстве h [,] является самосопряженным, но не вполне непрерывным, поэтому теорема о существовании максимального вектора в данном случае неприменима Пример 4 Пусть K ϕ ϕ (, s) = K(, s), где ϕ — нормированная собственная λ ( ) ( ) ( s) функция оператора Фредгольма Ay = K(, s) y( s) ds с непрерывным симметрическим

25 ядром, отвечающая характеристическому числу λ Рассмотрим интегральный оператор () A с ядром K () (, s ): () A y = K () (, s) y( s) ds Доказать, что: а) все собственные функции ϕ,, ϕ, оператора А, отвечающие характеристическим () числам λ λ, являются также собственными функциями оператора A, соответствующими тем же характеристическим числам λ λ ; б) оператор λ = ; () A не имеет других характеристических чисел, отличных от k, k,,4, в) функция ϕ также является собственной функцией оператора A (), соответствующей () нулевому собственному значению ядра K (, s) () Решение Так как ядро оператора А непрерывно и симметрично, то и ядро K (, s) () удовлетворяет тем же условиям, те оператор A является вполне непрерывным и () самосопряженным Заметим также, что действие оператора A можно представить в () ( ) ( s) следующем виде: A y = [ K(, s) ϕ ϕ ] y( s) ds= Ay ϕ ( ϕ, y) λ λ Напомним, что собственные функции самосопряженного оператора образуют ортогональную систему, и Aϕ k = K(, s) ϕk( s) ds = ϕk Будем считать также, что λ ϕk = ϕk( ) d = а) Для любой собственной функции ϕ k, k =,,4, оператора A имеем () () ϕ( ) ϕ( s) A ϕk = K (, s) ϕk( s) ds = K(, s) ϕk( s) ds ϕk( s) ds = ϕk( ) = ϕk( ) λ λ λ, те ϕ k является собственной функцией оператора характеристическому числу λ k k k () A, соответствующей б) Пусть () λ — характеристическое число оператора A, а ϕ — отвечающая ему () собственная функция, те A ϕ = ϕ Докажем, что λ является также λ характеристическим числом оператора A, те совпадает с одним из λ k, k =,,4, Действительно () () ϕ( ) ϕ( s) ϕ = λa ϕ = λk (,) s ϕ() s ds = λk(,) s ϕ() s ds λ ϕ() s ds = λa ϕ = λa, ϕ λ те λ является характеристическим числом оператора A, что и требовалось Здесь было использовано неочевидное (так как ϕ k и ϕ — собственные функции различных операторов. ) соотношение ϕ () s ϕ() s ds = ( ϕ, ϕ) = ( ϕ, λa ϕ) = λ( ϕ, A ϕ) = ( A cамосопряженный) = λ( A ϕ, ϕ) = () () () () ( ϕ, ϕ) ϕ ( ϕ, ϕ) = λ ( Aϕ, ϕ) ( ϕ, ϕ) = λ, ϕ = λ λ λ = k

26 ϕ A ϕ = Aϕ ( ϕ, ϕ ) = ϕ ( ) ϕ ( ) = ϕ ( ), следовательно ϕ — собственная () в) λ λk λk () функция оператора A, отвечающая собственному значению Λ = Пример 5 Доказать, что оператор умножения на : Ay = y( ), действующий в пространстве h [,] а) является самосопряженным; б) не имеет собственных значений Решение ), те А — самосопряженный ( Ay, z) = [ y( )] z( ) d = y( ) [ z( )] d = ( y, Az) б) Рассмотрим уравнение Ay y( ) = λ y( ) ( λ) y( ) =, откуда получаем y ( ) Итак, при любом λ уравнение Ay = λ y имеет только тривиальное решение, что и означает отсутствие собственных значений у оператора А Замечание Рассматриваемый оператор не является вполне непрерывным (см задачу 6), поэтому теорема о существовании собственного вектора в данном случае неприменима Пример 6 Доказать, что оператор Вольтерра пространстве h [,] : а) является вполне непрерывным; б) не имеет собственных значений Ay = y() s ds ( [,]), действующий в Решение а) Докажем сначала, что А — вполне непрерывный оператор при действии h[,] C[,] Рассмотрим ограниченную последовательность y h[,] : y = y ( ) d M, =. и последовательность h[,] z ( ) Ay y ( s) ds = = Докажем равномерную ограниченность z( ) в пространстве C [,] Действительно, z( ) = y( s) ds = y( s) ds ds y( s) ds ds y( s) ds M сразу для всех [,] и всех =. откуда следует z C[,] = sup z( ) M, что и [,] требовалось Докажем равностепенную непрерывность последовательности () Возьмем произвольные точки, [,] Имеем = = z ( ) z ( ) y () s ds y () s ds y () s ds ds y () s ds ( ) y () s ds M z M

27 Фиксируем произвольное ε > и возьмем ε 28 Пример 8 Найти характеристические числа и построить ортонормированные собственные функции однородного уравнения Фредгольма с непрерывным вырожденным симметрическим ядром y ( ) = λ si( + s) ysds ( ) Решение Ядро исследуемого оператора симметрическое и непрерывное, следовательно, оператор Фредгольма в данной задаче является вполне непрерывным и самосопряженным Представим ядро виде K(, s) = si( + s) = si cos s+ cos si s и обозначим cos sy ( s ) ds =, si sy ( s ) ds = Тогда y ( ) = λsi+ λcos, где = cos s y( s) ds = λ cos s( si s+ cos s) ds = λ, = si s y( s) ds = λ si s( si s+ cos s) ds= λ λ = Однородная система имеет нетривиальные решения при условии λ = λ ( ) λ λ = = λ =, откуда определяем характеристические числа λ = и λ = При λ = имеем =, те собственная функция ( ) (si cos ) y = C + ; при λ = получаем =, и собственная функция ( ) (si cos ) y = C Так как собственные функции, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то искомая ортонормированная система есть ϕ( ) = (si+ cos ), ϕ( ) = (si cos ) Пример 9 Если для любых, s [, ] имеет место равенство K(, s) = K( s, ), то ядро K(, s ) называется кососимметрическим Показать, что все отличные от нуля собственные значения оператора Фредгольма Ay = K(, s) y( s) ds, [, ] с вещественным кососимметрическим ядром — чисто мнимые числа Решение Пусть Λ — одно из собственных значений, те K(, s) y( s) ds =Λy( ), где y ( ) / — соответствующая собственная функция (возможно, комплекснозначная) Так 4

29 как ядро вещественно, то имеет место также K(, s) y ( s) ds =Λ y ( ), где знак * означает комплексное сопряжение Умножим второе уравнение на y, ( ) а первое — на комплексно сопряженную функцию y ( ), и проинтегрируем по отрезку [, ] Получим: ( ) ( ) (, ) ( ) Λ y d = y d K s y s ds, ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) Λ y d = y d K s y s ds = y s ds K s y d Меняя обозначения переменных интегрирования в последнем интеграле и учитывая, что K(, s) = K( s, ) приходим к соотношению ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) Λ y d = y d K s y s ds = y d K s y s ds Складывая первое и последнее равенства, найдем y ( ) /, то Λ = Λ, те либо Λ=, либо является чисто мнимым ( Λ +Λ ) y ( ) d= Так как Замечание Напомним, что все собственные значения самосопряженного оператора — вещественные числа В рассмотренном случае интегральный оператор Фредгольма не является самосопряженным, поэтому собственные значения могут не быть вещественными (в данном примере все ненулевые собственные значения оказались чисто мнимыми) Пример Найти характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с вырожденным кососимметрическим ядром Решение уравнения Ay = ( s) y( s) ds, [,] Требуется найти такие λ, при которых существуют нетривиальные решения y ( ) = λ ( sysds ) ( ) Обозначим y( s), C = ysds (), C = sysds () тогда y ( ) = λ( C C), и для определения C, C получим соотношения λ λ λ C = λ ( Cs C) ds= C λc, C = λ s ( Cs C ) ds C C =, y( s) откуда λ C+ λc = λ λ C + + C = Нетривиальные решения системы существуют при условии λ λ det = λ + = λ =+ i, λ = i λ λ + 5

источники:

http://kn.lib-i.ru/27metodichka/139129-1-v-volkov-yagola-integralnie-uravneniya-variacionnoe-ischislenie-kurs-lekciy-predislovie-uchebn.php

http://docplayer.com/27794006-V-t-volkov-a-g-yagola-integralnye-uravneniya-variacionnoe-ischislenie.html