Волна и ее характеристики уравнение плоской волны

Волна и ее характеристики уравнение плоской волны

Для существования волны необходим источник колебания и материальная среда или поле, в которых эта волна распространяется. Волны бывают самой разнообразной природы, но они подчиняются аналогичным закономерностям.

По физической природе различают:

упругие, звуковые, волны на поверхности жидкости

свет, радиоволны, излучения

По ориентации возмущений различают:

Смещение частиц происходит вдоль направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сжатии;

могут распространяться в любых средах.

Смещение частиц происходит поперек направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сдвиге;

могут распространяться только в твердых средах (и на границе двух сред).

Примеры: упругие волны в струне, волны на воде

По характеру зависимости от времени различают:

Упругие волны — механические возмещения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической (синусоидальной), если соответствующие ей колебания среды являются гармоническими.

Бегущие волны — волны, переносящие энергию в пространстве.

По форме волновой поверхности: плоская, сферическая, цилиндрическая волна.

Волновой фронт — геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени.

Волновая поверхность — геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.

Характеристики волны

Длина волны λ — расстояние, на которое волна распространяется за время, равное периоду колебаний

Амплитуда волны А — амплитуда колебаний частиц в волне

Скорость волны v — скорость распространения возмущений в среде

Период волны Т — период колебаний

Частота волны ν — величина, обратная периоду

Уравнение бегущей волны

В процессе распространения бегущей волны возмущения среды доходят до следующих точек пространства, при этом волна переносит энергию и импульс, но не переносит вещество (частицы среды продолжают колебаться в том же месте пространства).

где v – скорость, φ₀ – начальная фаза, ω – циклическая частота, A – амплитуда

Свойства механических волн

1. Отражение волн – механические волны любого происхождения обладают способностью отражаться от границы раздела двух сред. Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду.

2. Преломление волн – при распространении механических волн можно наблюдать и явление преломления: изменение направления распространения механических волн при переходе из одной среды в другую.

3. Дифракция волн – отклонение волн от прямолинейного распространения, то есть огибание ими препятствий.

4. Интерференция волн – сложение двух волн. В пространстве, где распространяются несколько волн, их интерференция приводит к возникновению областей с минимальным и максимальным значениями амплитуды колебаний

Интерференция и дифракция механических волн.

Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении.

При наложении волн может наблюдаться явление интерференции. Явление интерференции возникает при наложении когерентных волн.

Когерентными называют волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную разность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн.

Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания.

Если волны от источников А и Б придут в точку С в одинаковых фазах, то произойдет усиление колебаний; если же – в противоположных фазах, то наблюдается ослабление колебаний. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных и ослабленных колебаний.

Условия максимума и минимума

Если колебания точек А и Б совпадают по фазе и имеют равные амплитуды, то очевидно, что результирующее смещение в точке С зависит от разности хода двух волн.

Если разность хода этих волн равна целому числу волн (т. е. четному числу полуволн) Δd = kλ , где k = 0, 1, 2, . то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум.

Условие максимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 2x₀.

Если разность хода этих волн равна нечетному числу полуволн, то это означает, что волны от точек А и Б придут в точку С в противофазе и погасят друг друга.

Условие минимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 0.

Если Δd не равно целому числу полуволн, то 0

Явление отклонения от прямолинейного распространения и огибание волнами препятствий называется дифракцией.

Соотношение между длиной волны (λ) и размерами препятствия (L) определяет поведение волны. Дифракция наиболее отчетливо проявляется, если длина набегающей волны больше размеров препятствия. Опыты показывают, что дифракция существует всегда, но становится заметной при условии d

Дифракция – общее свойство волн любой природы, которая происходит всегда, но условия её наблюдения разные.

Волна на поверхности воды распространяется в сторону достаточно большого препятствия, за которым образуется тень, т.е. волнового процесса не наблюдается. Такое свойство используется при устройстве волноломов в портах. Если же размеры препятствия сравнимы с длиной волны, то за препятствием будет наблюдаться волнение. Позади него волна распространяется так, как будто препятствия не было вовсе, т.е. наблюдается дифракция волны.

Примеры проявления дифракции. Слышимость громкого разговора за углом дома, звуки в лесу, волны на поверхности воды.

Стоячие волны

Стоячие волны образуются при сложении прямой и отраженной волны, если у них одинаковая частота и амплитуда.

В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Колебания струны. В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.

Отсюда вытекает условие

Длинам волн соответствуют частоты

n = 1, 2, 3. Частоты v n называются собственными частотами струны.

Гармонические колебания с частотами v n называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Уравнение стоячей волны:

В точках, где координаты удовлетворяют условию (n = 1, 2, 3, …), суммарная амплитуда равна максимальному значению – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (n = 0, 1, 2,…), суммарная амплитуда колебаний равна нулю – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (a), и узел – если более плотная (б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.

Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.

Плоская волна

Определение и основные понятия плоской волны

Пусть источником волн в бесконечной упругой среде является бесконечно большая пластина. Она совершает колебания вдоль оси X, плоскость пластины перпендикулярна оси X (рис.1).

Пластина совершает гармонические колебания. Введем следующие обозначения: $s_0$ — смещение точек пластины AB и примыкающих к ней частиц среды от положения равновесия; $A_0$ — амплитуда колебаний пластины; $\varphi $ — фаза колебаний; $\omega $ — циклическая частота колебаний. Уравнение колебаний пластины имеет вид:

В таком случае в среде распространяется гармоническая волна такой же частоты. Если среда является однородной и изотропной, то колебания всех частиц вещества на одинаковых расстояниях от пластины идентичны (совпадают амплитуды и начальные фазы колебаний). То есть волновые поверхности имеют вид параллельных плоскостей, которые перпендикулярны оси X (направлению волны). Данные волны называют плоскими.

Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоскими.

Уравнение плоской волны

Колебания в точках среды, находящихся на расстоянии $x$ от плоскости AB отстают по фазе от колебаний источника на величину $kx$:

при отсутствии рассеяния энергии волны в веществе $A$=$A_0$. $k=\frac<2\pi ><\lambda >\ $- волновое число.

Для точек пространства находящихся правее плоскости AB $x>0$, для точек находящихся левее этой плоскости $x Пример 1

Задание: Плоская гармоническая волна распространяется по прямой, которая совпадает с осью X, в положительном направлении оси. Среда энергию не поглощает. Скорость распространения волны равна $v$. Амплитуда волны $A.$ Две точки, которые находятся на расстояниях $x_1\ и\ x_2$ от источника волны совершают колебания с разностью фаз $\Delta \varphi =\frac<3\pi ><5>$. Какова длина волны? Запишите уравнение волны.

Решение: Запишем уравнение плоской волны:

Фазы колебаний двух точек в этой волне равны:

\[<\varphi >_1=\omega t-kx_1+\varphi ;;\ <\varphi >_2=\omega t-kx_2+\varphi \left(1.3\right).\]

Найдем их разность:

\[\Delta \varphi =\omega t-kx_2+\varphi -\left(\omega t-kx_1+\varphi \right)=k\left(x_2-x_1\right)=\frac<2\pi ><\lambda >\left(x_2-x_1\right)\left(1.4\right).\]

Выразим длину волны ($\lambda $) из (1.4):

Для написания уравнения волны через известные из условий задачи величины используем формулу:

Можем записать уравнение волны:

Задание: В однородном упругом веществе имеется плоская стоячая волна вида: $s=A<\cos (\omega t)\ ><\cos (kx)\ >$. Нарисуйте графики зависимости $s\left(x\right)$ при $t=0$ и $t=\frac<2>$, где $T$ — период колебаний.

Волны в физике — что это такое, виды, характеристики, примеры

Каждый день вас окружает множество волн. В этой статье вы узнаете, что это такое и какими свойствами они обладают.

Простое объяснение волн с точки зрения физики

В качестве концепции вы можете представить волну как форму с последовательными восходящими и нисходящими частями. К этой категории относится, например, волна воды.

Однако эти части, поднимающиеся и опускающиеся вверх и вниз, не являются случайными по форме и расположению, а следуют очень определенной схеме. Этот паттерн показывает, как частицы среды, в которой распространяется волна, колеблются вверх и вниз. Частицы «возмущаются» волной определенным образом.

Определение: под волной можно представить возмущение в среде, которое движется с фиксированной формой и постоянной скоростью.

На рисунке 1 показано, например, как такое возмущение в виде холма движется по веревке слева направо. Во время движения частицы веревки поднимаются вверх от переднего конца возмущения и тянутся вниз от заднего конца.

Рис. 1. Волна как возмущение в веревке

От света, который вам нужен, чтобы видеть, до звука, который вам нужен, чтобы слышать, до интернет-сигнала, который вам нужен для работы в Интернете, — все это волны. Как видите, волны — неотъемлемая часть жизни человека.

Виды волн

В этом подразделе мы рассмотрим различные виды волн и то, к какой области теоретической физики они относятся.

Поперечные и продольные волны

Например, в волне воды, которая движется слева направо, отдельные частицы воды колеблются вверх и вниз. Поэтому движение частиц перпендикулярно движению волны. Эти типы волн называются поперечными и могут быть поляризованными.

Звуковые волны (также называемые для краткости звуком), которые позволяют вам слышать, являются примером продольных волн. В продольных волнах частицы вовлеченной среды колеблются в направлении движения волны. Поэтому движение частиц параллельно движению волн.

Рис. 2. Поперечная волна и продольная волна

Волны в физике

Следующий список дает вам представление о том, с какими волнами вам, возможно, придется иметь дело в той или иной области физики:

• Классическая механика: механические волны и гравитационные волны;
• Электродинамика: электромагнитные волны;
• Квантовая физика: волны материи и волны вероятности.

Волна — это тип возмущения, которое распространяется с фиксированной формой. В этом разделе мы рассмотрим его свойства и поведение. Мы рассмотрим следующие моменты немного подробнее:

• Характеристики волн: амплитуда, частота, длина волны и скорость распространения;
• Поведение волн: отражение, преломление, дифракция и суперпозиция волн.

Характеристики волн

Чтобы описать характеристики, рассмотрим частный случай синусоидальных волн. В синусоидальных волнах восходящие и нисходящие части повторяют форму синусоидальной кривой.

Из этой схемы (паттерна) (рисунок 3) мы выделили следующий фрагмент: кривая начинается с нуля, идет к самой низкой точке, затем возвращается к нулю, продолжается до самой высокой точки и, наконец, возвращается к нулю.

Рис. 3. Синусоидальная волна

Амплитуда.

Расстояние по вертикали между высокой или низкой точкой и нулевой точкой называется амплитудой. Амплитуда обеспечивает барьер, внутри которого задерживаются восходящие и нисходящие части волны.

Например, если амплитуда водной волны составляет 2 метра, это означает, что при движении морской волны частицы воды поднимаются на максимальную высоту 2 метра.

Частота и длина волны.

Вы также можете представить себе синусоидальную волну следующим образом: мы копируем выбранный кусок и вставляем его бесконечное количество раз как слева, так и справа от него. Таким образом, этот выбранный фрагмент уже определяет поведение волны. Термин для этого — период.

Мы можем охарактеризовать этот период двумя способами:

1. Сколько времени требуется волне, чтобы пройти вдоль выбранного участка? Это описывает период времени или его обратную величину — частоту волны.
2. Какова горизонтальная ширина выбранного фгагмента? Это дает вам пространственный период волнового процесса или длину волны.

Важно знать! Расстояние по горизонтали между двумя последовательными максимумами (самая высокая точка) или минимумом (самая низкая точка) часто называется длиной волны.

Рис. 4. Характеристики волн

Скорость распространения волны.

Длина волны и частота волны тесно связаны между собой.

Важно знать! Скорость распространения волны = длина волны * частота волны.

Скорость распространения v волны связана с ее длиной волны λ и частотой f следующим образом: v = λ * f .

Например, если вы раскачиваете веревку вверх и вниз, создавая «веревочную волну», скорость распространения говорит вам о том, как быстро удаляется от вас высокая точка (или любой другой участок) волны.

Отражение, преломление и дифракция волн.

Если волна попадает в другую среду, могут произойти следующие два явления:

1. Происходит отражение. Часть входящей волны отражается на границе раздела двух сред. Эта отраженная часть распространяется дальше в исходной среде. Отраженная волна имеет ту же длину волны, что и входящая;
2. Происходит преломление. Часть входящей волны преломляется на границе раздела. Эта преломленная часть распространяется в новой среде с другой длиной волны. Так называемый коэффициент преломления определяет, будет ли длина волны короче или длиннее.

Например, когда свет от солнца попадает на поверхность воды, среда меняется с воздуха на воду. Это приводит к тому, что часть света отражается, а часть преломляется. Это также является причиной того, что вы можете увидеть солнце, например, в луже воды.

Теперь для того, чтобы что-то произошло, волна не обязательно должна попасть на новый носитель. Если внутри текущей среды поместить препятствие, например, в виде стены с одним прямоугольным проходом, то может возникнуть явление дифракции (см. рисунок 5). Проще говоря, дифракция описывает явление, когда волна после прохождения не движется по прямой линии.

Рис. 5. Отражение, преломление и дифракция волн

Суперпозиция волн.

До сих пор мы рассматривали только одну волну. Но что происходит, когда две (или более) волны сталкиваются? Возникает явление, которое называется суперпозицией волн. Однако эта суперпозиция не возникает каким-то образом, а следует определенному принципу, который мы знаем под названием «принцип суперпозиции».

Чтобы объяснить принцип суперпозиции в случае волн, давайте снова рассмотрим синусоидальные волны. Каждая точка на синусоиде дает вам значение, которое является мерой силы отклонения частиц.

Принцип суперпозиции простыми словами: в каждой точке пространства, где встречаются две волны, вы складываете значения двух синусоид. Итог этого сложения дает результирующую волну.

В соответствии с принципом суперпозиции различные явления могут наблюдаться в суперпозиции. К ним относятся, в частности:

• Интерференция. В точках, где, например, встречаются два «холма» или две «впадины», суперпозиция приводит к усилению волны — возникает конструктивная интерференция. Теперь холм может встретиться с впадиной (или наоборот). В результате суперпозиция приводит к ослаблению волны — возникает деструктивная интерференция;
• Стоячие волны. Суперпозиция двух волн может привести к тому, что результирующая волна будет по-прежнему колебаться вверх и вниз, но она больше не будет двигаться слева направо (или наоборот) — в некотором смысле она «стоит» в пространстве. Этот тип волны называется стоячей волной.

Музыкальные инструменты создают стоячие волны посредством суперпозиции. Эти стоячие волны, в свою очередь, вибрируют в окружающем воздухе, создавая звуковые волны, которые доходят до ваших ушей и в конечном итоге позволяют вам услышать музыку.

Механические волны и электромагнитные волны

В этом разделе мы рассмотрим конкретные примеры механических и электромагнитных волн.

Механические волны

Волны, для распространения которых необходима среда, называются механическими волнами. Без среды механические волны не могут распространяться. В идеальном вакууме, например, звуковая волна не может распространяться.

Когда возникает механическая волна, периодическое движение одной частицы среды передается соседним частицам по мере того, как волна движется через среду. Частицы определенным образом «механически» связаны друг с другом.

Самым важным примером механической волны является звук. Звук окружает вас каждый день, будь то разговор с друзьями или прослушивание музыки. Звуковые волны позволяют вам слышать. Они возникают в результате вибрации частиц воздуха.

Электромагнитные волны

Электромагнитные волны не нуждаются в среде для распространения. Если для их распространения не нужна среда, то что тогда колеблется? Электромагнитная волна состоит из электрического и магнитного полей. И именно эти поля колеблются вверх и вниз.

Помните! Периодически изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного поля, которое также периодически изменяется, и наоборот, — таким образом происходит генерация электромагнитной волны.

Например, свет солнца — это электромагнитная волна. Это означает, что электромагнитные волны, помимо всего прочего, отвечают за то, что вы можете что-то видеть. Но вам также нужны электромагнитные волны, чтобы иметь возможность совершать телефонные звонки или пользоваться Интернетом.