Волна в упругой среде уравнение упругой волны

Волна в упругой среде уравнение упругой волны

§1 Волны в упругой среде

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и т.д.) находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды, вследствие чего в прилегающих к этому телу элементах среды возникают периодические

деформации (например, сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия; благодаря взаимодействию соседних элементов среды, упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от колеблющегося тела.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательное движение около положений равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом или просто волной. В зависимости от характера возникающих при этом упругих деформаций различают продольные и поперечные волны. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространений колебаний. В поперечных волнах частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига, поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разряжений. Волны, возбуждаемые на поверхности воды, являются поперечными, они обязаны своим существованием земному притяжению.

В твёрдых телах могут быть вызваны и продольные и поперечные волны.

Предположим, что точечный источник волны начал возбуждать в среде колебания в момент времени t = 0; по истечению времени t это колебание распространится по различным направлениям на расстояние r = v_it , где v_i — скорость волны в данном направлении. Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волна определяется конфигурацией источника колебаний и свойствами среды. В однородных средах скорость распространения волна везде одинакова. Среда называется изотропной, если эта скорость одинакова по всем направлениям. Фронт волна от точечного источника колебаний в однородной и изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются сферическими.

В неоднородной и не изотропной (анизотропной) среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму. Если фронт волны представляет собой плоскость и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

Поверхности волны, точки которых колеблются в одинаковых фазах, называются волновыми или фазовыми поверхностями.

График, показывающий распределение в среде колеблющейся величины в данный момент времени, называют формой волны.

§2 Уравнение плоской волны

Уравнение волны позволяет найти смещение от положения равновесия колеблющейся точки с координатами (х, у, z ) в момент времен t .

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 происходят по закона косинуса

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от х = 0 до этой плоскости волне требуется время v – скорость, распространения волны, следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е, будут иметь вид

— уравнение падающей, бегущей волны.

(уравнение волны, распространявшейся в направлении оси X).

S — смещение точки от положения равновесия в плоскости, находящейся на расстоянии х от источника колебаний;

А — амплитуда волны;

φ₀ — начальная фаза.’

Для одной волны можно выбрать х и t так, чтобы φ₀ =0.

Для нескольких волн это не удаётся.

Если волна распространяется в сторону убывания координаты х, то колебания в плоскости х начнутся раньше на , чем в плоскости х = 0. Тогда уравнение отраженной волны запишется в виде

— уравнение отраженной волны.

§3. Понятие о фазовой скорости.

Связь между фазовой и групповой скоростями

1. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении бегущей волны

(1)

Из него следует связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение . Вытекающее из него значение даёт скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав (1), получим

k — волновое число, λ — длина волны.

Таким образом, скорость v в уравнении распространяющейся волны является фазовой скоростью, т.е. она показывает, с какой скоростью распространяется фаза волны (скорость перемещения фазы).

Во всех реальных волновых процессах приходиться иметь дело с более сложными волнами, имеющими несинусоидальный характер. Такую сложную волну можно представить как сумму косинусоидальных или синусоидальных волн, или как группу таких волн. В реальных условиях наблюдается перемещение групп волн, каждая из которых отличается от другой по частоте. В каждый момент времена можно найти точку, в которой наблюдается максимум колебаний, возникающих в результате наложения этих волн. В этой точке фаза любой группы волн будет одинаковой. Эта точка называется центром группы волн. Положение центра группы волн со временем изменяется. Этой точке соответствует максимум энергии колеблющейся группы волн. Энергия колеблющейся группы волн переносится со скоростью, равной скорости перемещения центра группы волн. Эту скорость называют групповой скорстью. Она обозначается u .

1. Связь между групповой и фазовой скоростями.

Чтобы найти эту связь воспользуемся тем, что в центре группы волн фазы всех волн одинаковы. Групповая скорость равна

Волны в упругой среде. Волновое уравнение

§ 1. Понятие упругой волны. Поперечные и продольные волны. . 2

§ 2. Фронт волны. Длина волны. . 3

Глава II. Волновое уравнение.

§ 1. Математические сведения. . 4

§ 2. Упругие волны в стержне.

1) волновое уравнение. . 5

§ 3. Упругие волны в газах и жидкостях.

волновое уравнение; . 8

случай идеального газа . 9

Список использованной литературы. . 11

§1. Понятие волны. Поперечные и продольные волны.

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v . Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

Частицы среды , в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение , они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное 1/ 4vТ , т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний,

совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2 . По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь vТ, достигнет частицы 5.

На рис. 2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью v.

§2. Фронт волны. Длина волны.

На рис. 1 и 2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны (или волновым фронтом ). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства,охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

На рис. 3 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени t . С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что

=vТ, (1.1)

где v – скорость волны, Т – период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2П. Заменив в соотношении (1.1) Т через 1/ ( – частота колебаний), получим

= v (1.2)

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.

§1. Математические сведения.

Этот параграф является математическим введением к тому динамическому рассмотрению волн, которое будет дано в $2. Рассмотрим произвольную функцию

f(at-bx) (2.3) от аргумента аt—bх. Продифференцируем ее дважды по t :

(2.4)

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу at—bx. Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:

(2.5)

Сравнивая (2.4) и (2.5), мы убеждаемся, что функция (2.3) удовлетворяет уравнению

(2.6)

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция

f(at+bx) (2.7) (2.7) аргумента at+bx, а также сумма функций вида (2.3) и (2.7).

Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (2.6)—дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например,

f 1 (at — bх) + f 2 (at+bx).

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида

(2.6а)

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн.

Вид функций f 1 , f 2 определяется характером движения источника волн, а такжеявлениями, происходящими на границе среды.

Пусть источником волнявляется плоскость х =0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х= 0 распространяются вправо и влево волны

s= Acos(wtkx), k =.

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции s 1 , s 2 ,s 3 , . в отдельности, то ему удовлетворяет также функция

S == S 1 + S 2 + S 3 + .

Рассмотрим несколько примеров.

а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущиеволны

s 1 = Aсоs(wt — kx ), s 2 = Acos(wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида

S=

Это—функция вида f(at—bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации всторону возрастающих х.

в) Пусть волны S 1 , S 2 , имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S 1 + S 2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, – волны пройдут “одна сквозь другую” и притом каждая так, как будто другой не существует.

§2. Упругие волны в стержне.

1. волновое уравнение.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.

Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+х . Масса этого куска равна р 0 S 0 х, где р 0 и S 0 – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

слева стоит произведение массы куска на ускорение д 2 / дt 2 его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на S 0 :

(2.7)

Перейдя к пределу при , получим уравнение

(2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

(2.9)

Вспомнив теперь формулу , содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:

(2.10)

Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн

(2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)

(2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой

.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u ), деформация инапряжение . Дифференцируя (2.11)по t и но x ,получаем:

v=uf’(x ut) (2.13a)

=f»(x ut), (2.13б)

=Ef’ (x ut). (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.

На рис.5 показан пример “моментальных снимков”, относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f» ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечноблизкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

(2.14)

(2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома ( р аналогично разности потенциалов, v — силе тока).

§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях

Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению

(2.16)

где р = — есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р 0 . Величины р 0 , не зависят ни от х , ни от t.

Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.

При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.

Есть однозначная функция плотности:

, (2.18) где и — соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

(2.19)

Найдем теперь связь между и деформацией = . Мы сначала выразим через , а затем через :

а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:

P 0 += f( +)

разлагая f( +) в рядпо степеням ,

P 0 += f( )+ f’( )+1/2 f’( )( ) 2 .

Так как P 0 = f( ), то получаем:

= f’( )+1/2 f’’( )() 2 . (2.20)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20) членами, пропорциональными ( ) 2 , ( ) 3 , . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

= f’( )

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.

f’ () —постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем V 0 в результате деформации превращается в объем

V=V 0 (1+ ), (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).

2. Случай идеального газа . Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния

где p – давление, V—объем одного моля, R— универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по термодинамической шкале (“абсолютная температура”), или

где М— масса 1 моля, = M/V— плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид

постоянная величина (С и С — теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение

Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).

Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

Список использованной литературы.

• Горелик, Колебания и волны,
• И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
• Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.

Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.

Две волны Х 1 =Аsin( wt-kl) и Х 2 =Аsin (wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v =960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.

Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v= 7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.

Для рецензии и заметок:

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Лекция №9. Механические волны

6.1. Распространение колебаний в упругой среде

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях и газообразных средах.

Упругая волна называется поперечной , если колебания частиц среды происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела.

На рис. 6.1.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси 0х . График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны также равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концентрических сфер.

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания частицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S будет зависеть только от координаты х и времени t

Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x/υ . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

где А − амплитуда волны; ϕ₀ − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t-x/υ)+ϕ₀=const. Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы, и называется фазовой скоростью .

При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Придадим уравнению плоской волны симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину $$k = <2π \over λ>$$ , которая называется волновым числом , которое можно представить в виде

Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону A=A₀e −βx . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

6.3. Волновое уравнение

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид

где r − радиус-вектор, точки волны; r =k× n − волновой вектор ; n − единичный вектор нормали к волновой поверхности

Волновой вектор − это вектор, равный по модулю волновому числу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности называется.

Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z Тогда уравнение (6.3.2) примет вид

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

Сложив производные по координатам, и с учетом производной по времени, получим

6.4. Скорость распространения волн в различных средах

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси 0х . Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S₀ и высотой d_x . Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение S , то смещение основания с координатой x+dx будет S+dS . Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформацию ε=∂S/∂x (деформации растяжения). Наличие деформации свидетельствует о существовании нормального напряжения σ , которое при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия

где Е − модуль Юнга среды.

Из зависимости смещения от координаты x видно, что относительная деформация ∂S/∂x , а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движения. Масса этого объема

где ρ − плотность недеформированной среды.

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилиндра одинаковым и равным

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F₁ и F₂ , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент времени. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

После разложения силы F₂ в ряд, получим

и результирующая F₁ , F₂ сил, действующая на элемент объема равна

Используя основное уравнение динамики поступательного движения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для плоской волны (6.3.6) $$<∂^2S \over ∂x^2>=<1 \over v^2><∂^2S \over ∂t^2>$$ , получим

где Е − модуль Юнга.

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продольных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид