Волновая функция физический смысл волновой функции уравнение шредингера

Волновая функция физический смысл волновой функции уравнение шредингера

Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории, которая принципиально отличается от классической механики.

Решение задачи о движении тела макроскопических размеров основано на применении второго закона Ньютона. Если известны силы, действующие на тело, то сначала мы находим его ускорение, затем — траекторию, после чего — все параметры движения. Но в масштабах атомов понятие траектории теряет свой смысл. Своё значение сохраняют так называемые интегралы движения. К ним относятся, в первую очередь, энергия, импульс, момент вращения и чётность. В квантовой теории эти величины определяются сразу, минуя этап вычисления траектории.

В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив его, мы находим набор энергетических уровней, который реализуется в заданном потенциале, а также получаем информацию статистического характера о возможном положении частицы.

8.1. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как законы Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов описывает волновые свойства частиц. Покажем связь уравнения Шредингера с волновым пакетом. Для этого запишем уравнение волнового пакета:

где B — амплитуда. Будем считать, что величина B как функция k равна нулю при k Δ k и k > Δ k . Тогда областью интегрирования становится вся числовая ось. Вспоминая соотношения де Бройля-Эйнштейна (формулы (2.1) и (2.1а) первой главы), приходим к новой записи выражения для волнового пакета

Продифференцируем (1.1) по времени:

Появлению энергии в подынтегральной функции соответствует оператор дифференцирования

Его называют оператором энергии . Импульс, в свою очередь, связан с оператором

в чём можно убедиться, дифференцируя (1.1) по x :

Мы рассматриваем нерелятивистскую частицу в отсутствие внешних полей, следовательно, ее энергия равна p2/2 m. Ей можно сопоставить оператор двойного дифференцирования по координате:

Вычитая (1.3) из (1.2), получим

Всё подынтегральное выражение вместе с разностью равно нулю. Следовательно,

Мы вывели одномерное уравнение Шредингера для свободной частицы. Теперь учтём возможное присутствие внешних полей:

Здесь U = U( x , t ) — потенциальная энергия, зависящая только одной координаты. Вообще говоря, она может также меняться со временем. Соответственно, приходим к одномерному уравнению Шредингера:

Обобщение на случай трёх измерений сводится к замене производной по x оператором Лапласа:

Уравнение Шредингера с потенциалом, зависящим от всех трёх координат, имеет вид

Вектору импульса в трёхмерном случае соответствует оператор градиента:

где e _x , e _y и e _z — единичные векторы в направлении координатных осей. В процессе вывода мы использовали следующие соотношения между физическими величинами и операторами:

Оператор принято отмечать «шляпкой». Например, оператор, отвечающий физической величине G, обозначается как Ĝ. В квантовой механике вводится оператор энергии, или оператор Гамильтона

Он позволяет записать уравнение Шредингера следующим образом:

Уравнение Шредингера содержит мнимую единицу i , следовательно, его решение должно быть комплексным. Этим оно отличается от волнового уравнения в классической механике . В качестве примера рассмотрим одномерный случай. Классическое уравнение

позволяет работать отдельно с действительной и мнимой частями Y , каждая из которых подчиняется одному и тому же уравнению. В самом деле, если

где u и V — действительные функции, то уравнению (1.9), которое мы теперь запишем в виде

равносильна система одинаковых уравнений, каждое из которых совпадает с исходным :

Действительная и мнимая части Y разделились. Мы убедились, что в классическом случае нет принципиальной необходимости в комплексном представлении (хотя оно часто используется для удобства вычислений). Для уравнения Шредингера это не так. Разложение (1.10) вставим теперь в уравнение (1.4):

Этому уравнению эквивалентна система

в которой переменные u и V связаны друг с другом.

Структура уравнения Шредингера

показывает, что оно отображает закон сохранения энергии.

Уравнение Шредингера определяет зависимость волновой функции от времени и от координат. Как второй закон Ньютона описывает траекторию частицы, так уравнение Шредингера описывает эволюцию волновой функции.

Выход в комплексную плоскость является следствием требования, чтобы волновая функция в любой момент времени полностью определялась её начальным значением. Следовательно, уравнение Шредингера должно содержать только первую производную волновой функции по времени, но не вторую. Если ограничиться гармоническими функциями в действительной области, то волновое уравнение обязано содержать вторую производную. В самом деле, однократное дифференцирование переводит синус в косинус и наоборот. Но колебания могут быть описаны экспонентой с комплексным показателем. Её важное свойство заключается в том, что первая производная функции возвращает нас к ней самой:

Перейдём к обсуждению физического смысла волновой функции.

2.1. Волновая функция

Выкладки предыдущего раздела мы проводили, используя представление классической механики о волновом пакете. В уравнении Шредингера функция Y ( r , t ) приобретает новый смысл. Она называется волновой функцией и описывает уже не суперпозицию колебаний, но состояние реальной частицы. Перечислим основные свойства волновой функции.

Волновая функция как вероятность

В квантовой механике вся информация о частице содержится в её волновой функции. С учётом соотношения неопределённостей, эта информация носит вероятностный характер. А именно, квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности W найти частицу в данной точке в заданный момент времени:

Здесь звёздочка означает комплексное сопряжение. В большинстве задач, которые нам встретятся в дальнейшем, имеет место точное равенство:

Выбор между (2.1) и (2.2) определяется степенью локализации частицы в пространстве. Если вероятность найти частицу в удалённых точках исчезающе мала, то интеграл

взятый по всему пространству, сходится. В конечном итоге именно это и делает возможным равенство (2.2). Наоборот, свободно движущаяся частица может быть обнаружена в любой точке. Интеграл (2.3) для её волновой функции расходится и, следовательно, | Y | 2 не может служить вероятностью никакой величины. В этом случае справедливо отношение

которое является следствием (2.1). Ниже нам неоднократно будут встречаться волновые функции, модуль которых не стремится к нулю при удалении от начала координат, либо убывает слишком медленно. Хотя для таких функций не имеет смысла (2.2), тем не менее, отношение значений W в двух разных точках пространства равно отношению вероятностей обнаружить там частицу.

Принцип суперпозиции

Уравнение Шредингера линейно относительно волновой функции. Следовательно, любая линейная комбинация

его решений Y ₁ и Y ₂ также является его решением.

Таким образом, линейная комбинация волновых функций обязательно описывает некоторое состояние частицы (или системы частиц). В частности, при C₂ = 0 получаем, что решение уравнения Шредингера, известно с точностью до постоянного множителя.

Нормировка

Вероятность W по своему смыслу должна удовлетворять условию нормировки

Если частица совершает своё движение в ограниченной области, то, согласно предыдущему разделу, существует интеграл:

При выполнении последнего равенства волновая функция может быть преобразована так, чтобы условие

имело место даже в том случае, когда константа C не равна единице. А именно, условию (2.7) удовлетворяет функция

Согласно сказанному в предыдущем разделе, обе эти функции описывают одно и то же состояние. Процесс перехода от Y к F называется нормировкой, а функция F — норми p ованной волновой функцией.

8.3 Ток вероятности

В газодинамике известно уравнение непрерывности для потока вещества

где r — плотность, а

поток вещества, движущегося со скоростью v . Оно справедливо в том случае, если нет источников и стоков частиц. Аналогичное соотношение

можно вывести и для плотности вероятности W . Сначала проведём расчёты для одномерного случая. Для определения вектора тока вероятности S воспользуемся уравнением Шредингера (1.4) для свободной частицы. Запишем его также для комплексно–сопряжённой волновой функции:

то, подставляя сюда выражения (1.4) и (3.4) для производных по времени от Y и Y *, находим

Последнее уравнение представляет собой аналог одномерного уравнения непрерывности, если поток вероятности принять равным

Обобщение на случай трёх измерений даёт уравнение непрерывности (3.3) с дивергенцией вектора

Физический смысл определённого таким образом потока вероятности S можно выяснить, вычислив его для свободной частицы, то есть, для волновой функции вида

Производная выражается через Y :

Аналогично вычисляем производную от комплексно сопряжённой функции:

Подставляя (3.7) и (3.7а) в (3.5), получаем

Нетрудно убедиться, что в трёхмерном случае мы приходим к формуле

Она полностью аналогична (3.2), где роль плотности выполняет плотность вероятности W, а вместо потока массы j надо подставить вектор S.

Поток вероятности равен нулю в случае действительной волновой функции. Следовательно, последняя описывает финитное движение, то есть, движение в ограниченной области пространства.

8.4 Операторы физических величин

В этом разделе мы соберём вместе явные выражения для самых важных для нас операторов. Оператор энергии сводится к дифференцированию по времени:

а оператор проекции импульса на одну из координат — к дифференцированию по этой координате:

Аналогичные формулы справедливы для проекций момента на две другие оси, а в трёхмерном случае

вектор импульса выражается через оператор градиента:

При формировании операторов можно пользоваться соотношениями между классическими величинами. Так, оператор кинетической энергии с помощью соотношения

выражается посредством оператора Лапласа:

В отсутствие внешних полей полная энергия частицы равна её кинетической энергии:

В квантовой механике этому факту соответствует уравнение Шредингера для свободной частицы:

Последняя формула является обобщением (1.4) на случай трёх измерений.

Оператор координаты сводится к простому умножению на эту координату. То же самое справедливо и для оператора, представляющего любую функцию координат. Например,

В последующих разделах мы познакомимся с оператором момента вращения.

С математической точки зрения уравнения квантовой механики сводятся к линейной задаче на собственные значения с заданными граничными условиями.

Здесь Y _i — собственные функции, а G _i — собственные значения оператора . Физический смысл (4.7) заключается в следующем. В результате измерения можно обнаружить только те значения физической величины, которые входят в спектр собственных значений её оператора.

Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным. Например, непрерывным является спектр импульса свободной частицы. Покажем это для одномерного случая. Вычислим собственное значение p проекции импульса на ось x :

Решение последнего уравнения

в комплексной форме выражает «мгновенную фотографию» плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x . Не удивительно, что мы получили именно такое решение, так как мы исходили из представления плоских волн при получении уравнения Шредингера. Временнýю часть волновой функции мы установим позже.

Отметим важную особенность функции (4.10): квадрат её модуля равен константе |C| 2 . Следовательно, свободно летящая частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Как уже было сказано в разделе (2.1), такую функцию невозможно нормировать приведённым там способом. Таким образом, она представляет собой пример волновой функции, квадрат модуля которой пропорционален вероятности в смысле (2.4), но не имеет места (2.1).

Среднее значение.

В этом разделе мы с самого начала предполагаем, что волновая функция квадратично интегрируема, то есть существует интеграл (2.6). Как известно из математики, среднее значение функции координат f ( x ) определяется с помощью вероятности W( x ) как

Для операторов, зависящих только от координат, это определение без всяких изменений переносится в квантовую механику. Нужно только вместо вероятности написать квадрат модуля волновой функции:

Здесь интегрирование ведётся по всей области изменения аргумента x .

В общем случае, когда физическая величина G не является функцией координат (например, импульс), её среднее значение определяется как

Подынтегральная функция состоит из двух сомножителей: Y * ( x ) и — результата воздействия оператора на функцию Y ( x ). Формула (4.11) является частным случаем (4.12), когда

Пусть система находится в определённом состоянии, соответствующем собственному значению G _i и собственному вектору — волновой функции Y _i . Если физическую величину G усреднять с помощью функции Y _i , то среднее значение равно G _i . В этом легко убедиться, подставив (4.7) в (4.12).

Волновая функция физический смысл волновой функции уравнение шредингера

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля . Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Выделим в пространстве достаточно малый объем dV=dxdydz, в пределах которого значения ψ-функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dW в частицы в этом объеме пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля ψ -функции:

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, то есть отношению вероятности нахождения частицы в объеме к этому объему .

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δр x .

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δр x , соответствующие одновременному определению x и р x , связаны зависимостью

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция р x (Δp x→ ± ), и наоборот. Аналогично,

Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей .

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

где ΔE — неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину.

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Так как состояние микрочастицы описывают ψ -функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Шредингером. Такое уравнение в квантовой механике постулируется так же, как в классической механике постулируется закон Ньютона.

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

где m- масса частицы; ; Е и Е n –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов – e (электрон) и Ze (ядро), — находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Первое из них — главное квантовое число n =1, 2, 3, . Оно определяет уровни энергии электрона по закону

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е 1 , Е 2 , Е 3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Е n от расстояния r между электроном и ядром. С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Второе квантовое число – орбитальное l , которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L i электрона относительно ядра:

Третье квантовое число – магнитное m l , которое при данном l принимает значения 0, ±1, ± 2, …, ±l; всего 2l+1 значений. Это число определяет проекции орбитального момента импульса электрона на некоторое произвольно выбранное направление Z:

Четвертое квантовое число – спиновое m s . Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Соотношение неопределенности, волновая функция, излучение и поглощение энергии

Конспект лекции

Аннотация: знакомство с границами применимости классической физики, уравнением Шредингера. Традиционное изложение темы.

В первой четверти XX-го века получены экспериментальные свидетельства двойственности свойств материи: электромагнитное излучение проявляет свойства частиц (фотоэффект, комптоновское рассеяние, . ), а частицы демонстрируют волновые свойства (эффект Рамзауэра, туннельный эффект, . ).

Но свойства волн и частиц в известной степени противоположны.

Нет подходящих образов, чтобы представить существование волновых и корпускулярных свойств у одного объекта. Нельзя все свойства волн и все свойства частиц приписать одному объекту. Необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической физики. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, названный теперь его именем. Он может быть записан в следующем виде

.

Здесь Δx — неопределенность координаты x, Δp — неопределенность импульса, ħ — постоянная Планка, деленная на 2π (h = 6.62·10 -34 Дж·с). Выражение (1) следует понимать так, что если мы точно задаем координату частицы (Δx → 0), то ничего не можем сказать о величине импульса (Δp → ∞). Одновременно точно задать координату и импульс микрочастицы невозможно. Для иллюстрации рассмотрим опыт по дифракции электронов на щели. Прямой опыт Йенсона (см. лекцию) показал, что за щелью распределение интенсивности электронов будет иметь вид, показанный на рис.1. Рис.1. Дифракция электронов на щели.

Отклонение электрона от первоначального направления означает получение им приращения импульса Δp. Ширина щели служит мерой неопределенности положения электрона (электрон проник в щель, в какой точке щели это произошло, неизвестно). Из опыта известно, что при уменьшении ширины щели дифракционная картина уширяется. Т.е., если Δx уменьшается, Δp растет, как это предсказывает соотношение (1).

Принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из величин, входящих в соотношение. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. Неравенства (1) и (2) представляют собой ограничения применимости понятий классической механики.

Оценим количественную сторону ограничений на трех примерах.

Молекула в стакане.

Массы молекул имеют порядок 10 -27 кг. Пусть стакан имеет размер

10 -1 м. Эту величину возьмем в качестве неопределенности координаты Δx. Тогда для неопределенности скорости получим

.

Чрезвычайно малое значение Δv в сравнение со скоростью молекул (при комнатной температуре порядка 500 м/с) приводит к выводу об отсутствии ограничений на классическое рассмотрение движения молекул в этом случае.
Электрон в атоме.

10 -30 кг, размер атома

10 -10 м. Для неопределенности скорости получим

.

И поскольку эта величина Δv сравнима со скоростью электронов в атоме, соотношение неопределенностей играет решающую роль, игнорировать волновые свойства электрона никак нельзя.
Луч осциллографа.

Скажутся ли волновые свойства электрона на работе осциллографа? Пусть радиус луча на экране очень качественного осциллографа равен r = 10 мкм, длина трубки L

10 -1 м. Тогда относительное изменение импульса Δp/p = r/L = 10 -4 . Импульс электрона определим, задав напряжение на трубке U, равным 10 кВ

.

Неопределенность импульса тогдаΔp

6·10 -27 , а неопределенность координаты

что существенно меньше размера пятна на экране. Т.е. пользоваться осциллографом можно, не задумываясь о волновых свойствах электронов.

Приведем один пример использования соотношения неопределенностей для оценки физических величин. Исходим из того, что неопределенность, например, импульса — это минимальное значение импульса, которое что-то значит.

Покажем, что в существующих ядрах не могут находиться электроны. За неопределенность координаты возьмем радиус ядра r, тогда

Размеры ядер имеют порядок 10 -14 м, электрон с таким импульсом — ультрарелятивистский, его энергия много больше энергии покоя, и последней можно пренебречь в оценках. Имеем E = p·c (как для фотонов). Для того чтобы электрон находился в ядре, его кинетическая энергия должна быть меньше потенциальной энергии (энергии взаимодействия с заряженным шаром, которым представляем ядро). Получаем

Ядер с таким большим атомным номером не существует. Точное решение задачи с нахождением волновой функции показывает отсутствие связанного состояния для электрона в потенциальной яме, которой представляется ядро.

Другая важная пара связанных физических величин – энергия Е и время t. Соотношение неопределённостей для них имеет вид

.

Если под величиной Δt понимать среднее время жизни атома в возбужденном состоянии, то энергия этого состояния определена с точностьюΔE. В основном состоянии атом может находиться без внешних воздействий бесконечно долгое время: Δt = ∞. Тогда ΔE = 0, то есть в основном состоянии энергия атома является строго определенной величиной. Однако каждый возбужденный уровень энергии имеет конечную ширину, которая определяется временем жизни атома в этом состоянии. Вследствие этого длина волны испускаемого кванта при переходе из возбужденного состояния не будет однозначной, спектральная линия излучающего атома имеет конечную ширину. Говорят о естественной ширине линии. Ширина спектральной линии определяется шириной уровней энергии, между которыми происходит переход. Обычно ширина уровней энергии очень мала. Например, для переходов с излучением в видимой части спектра (время жизни атома в возбужденном состоянии

Соотношение (2) допускает рождение на короткое время с последующим исчезновением частиц (их называют виртуальными (возможными) частицами). Их время жизни очень мало — порядка 10 -21 — 10 -24 с. Это объясняет, почему в вакууме постоянно присутствуют кванты различных полей. Отдельные виртуальные частицы нельзя обнаружить в принципе, но их суммарное воздействие на обычные микрочастицы обнаруживается экспериментально. В опыте У.Лэмба и Р.Ризерфорда (1947 г.) при исследовании спин-орбитального расщепления (см. лекцию) 2p уровня атома водорода обнаружено не только ожидаемое расщепление энергий состояний 2p_3/2 и 2p_1/2, но и отличие энергий 2s_1/2 и 2p_1/2 состояний. Это отличие обусловлено, как выяснилось позднее, во-первых, испусканием и поглощением связанным электроном виртуальных фотонов, что приводит к изменению эффективной массы электрона и возникновению у него аномального магнитного момента, и, во-вторых, возможностью виртуального рождения и аннигиляции в вакууме электронно-позитронных пар, что искажает кулоновский потенциал ядра. Лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась правильность квантовой электродинамики.

Волновая функция

Наличие волновых свойств у микрочастицы показывает, что ей (микрочастице) следует сопоставить некоторое волновое поле (аналог знакомых нам электрического, магнитного, гравитационного полей). Амплитуду этого волнового поля, зависящую от координат и времени, принято называть волновой функцией . Физическое толкование (М.Борн, 1926 г.):

величина пропорциональна вероятности того, что микрочастица в момент времени t будет обнаружена в объеме dV вокруг точки с координатами x, y, z.

Вспомним опыт с пропусканием электронов через щель. Куда попадет данный конкретный электрон — дело случая. После пропускания малого числа электронов картина похожа на мишень плохого стрелка. Поведение электрона должно описываться некоторой вероятностной функцией. И эта функция должна быть связана со свойствами волнового поля, т.к. итог большого числа попаданий электронов — вполне четкая картина дифракционных полос. Совместить случайный характер попадания электрона в данное место с его волновыми свойствами можно, лишь допустив, что вероятность попадания электрона в данную точку пропорциональна интенсивности волнового поля, т.е. квадрату амплитуды |Ψ| 2 . |Ψ| 2 имеет смысл плотности вероятности. С помощью волновой функции можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы частиц. Например, среднее расстояние электрона от ядра

Свойства волновой функции:

• самое главное — сама амплитуда Ψ(x,y,z,t) непосредственного физического смысла не имеет; только |Ψ| 2 — плотность вероятности;
• волновая функция может быть комплексной (так чаще всего и бывает);
• умножение волновой функции на постоянную величину не изменяет физического состояния частицы, которая она описывает (распределение вероятности в пространстве и во времени не изменится; во сколько раз частицу чаще можно встретить в одной точке, чем в другой, во столько же раз и после умножения);
• волновая функция должна быть непрерывной и однозначной;
• непрерывной должна быть и первая производная по координате, так как через нее определяется импульс частицы;
• волновая функция не должна обращаться в бесконечность;
• обычно волновую функцию нормируют так ,что

т.е. вероятности достоверного события.

Уравнение Шредингера

Уравнение, решением которого является волновая функция, получено австрийским физиком Э.Шредингером

• m — масса частицы;
• Ψ(x,y,z,t) — волновая функция;
• ħ — постоянная Планка, деленная на π2;
• — оператор Лапласа;
• U(x,y,z,t) — потенциальная энергия;
• i — мнимая единица.

Это уравнение применимо только для нерелятивистских частиц, у которых масса не зависит от скорости.

Для многих задач уравнение Шредингера можно упростить, исключив зависимость от времени. Это так называемые стационарные задачи. Пусть потенциальная энергия зависит только от координат U = U(x,y,z). Будем искать решение в виде произведения двух функций, зависящих одна от координат, а другая от времени: Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)·φ(t). Поставим это выражение в уравнение и вынесем из-под знаков дифференцирования сомножители, не зависящие от соответствующих переменных

Разделим получившееся уравнение на ψ(x,y,z)·φ(t). Теперь левая часть зависит только от координат, а правая от времени. Поскольку обе части равны между собой, то остается единственная возможность: каждая из них равна одной и той же константе. Обозначим эту константу -E (E, как будет видно, — полная энергия частицы).

Теперь имеем два уравнения: первое для функции ψ(x,y,z)

Это так называемое стационарное уравнение Шредингера. Второе, которое легко решается, для временной части

Итак, для стационарного случая имеем два дифференциальных уравнения. Многочисленные эксперименты подтверждают выводы, вытекающие из решения уравнения Шредингера. На этом основана наша уверенность в справедливости этого уравнения.

В 1933г. Эрвину Шредингеру присуждена Нобелевская премия:

E RWIN S CHRODINGER for the discovery of new productive forms of atomic theory.

(за открытие новых продуктивных форм атомной теории)

Решение уравнения Шредингера для свободной частицы

Для понимания природы явлений в микромире обычно достаточно решить одномерную задачу. Этим мы и займемся. Для свободной частицы U(x) = 0, и уравнение Шредингера имеет вид

.

Имеем дифференциальное уравнение второго порядка с посто39янными коэффициентами. Его решение, используя характеристическое уравнение, получаем в виде

.

Теперь добавим множитель φ(t), зависящий от времени (см. выше)

.

Если учесть, что E/ħ = ω, получили уравнение волны с фазой kx-ωt в первом слагаемом и -kx-ωt во втором. Если фазу зафиксировать, то точка с постоянной фазой движется в направлении x для первого слагаемого (x растет с увеличением t), и в противоположном для второго. Первое слагаемое описывает движение частицы в направлении x, второе — против x.

Выражение (4) однозначно, конечно и имеет смысл при любых значениях энергии E. Энергия свободной частицы может принимать любое значение, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Этой волне соответствует не зависящая от времени вероятность обнаружить частицу в данной точке пространства. Действительно, выбирая для простоты волну, распространяющуюся в положительном направлении x, имеем |Ψ| 2 = Ψ·Ψ * = |A| 2 .

И напоследок получим соотношение между импульсом p и энергией E свободной частицы. Вспоминая выражение для длины волны де Бройля, для волнового числа k получим

.

Возведя это выражение в квадрат и приравняв к равенству для k 2 (3), получим

что совпадает с классическим соотношением.

Тождественность частиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули.

Проделаем опыт по изучению углового распределения упруго рассеянных α-частиц на ядрах углерода 12 C: α + 12 C → α + 12 C. Рис. 2. Рассеяние α-частиц на ядрах углерода. На рисунке 2а изображен в системе центра инерции результат взаимодействия, которое привело к рассеянию α-частицы на угол θ и попаданию в детектор 1. Ядро углерода регистрируется в детекторе 2. Пусть Ψ(θ) — волновая функция, описывающая этот процесс.

Но может быть (рисунок 2б) α-частица рассеялась на угол π — θ и попадает в детектор 2. Этот процесс описывается функцией Ψ(π — θ). Детекторы 1 и 2 включены в схему совпадений, и событие считается зарегистрированным, когда в каждый детектор попадет по частице.

Можно ли сделать детектор, различающий α-частицы и ядра углерода? Отвечаем «да», и случаи 1а и 1б различны. Измеряемая величина — доля частиц, рассеянных на данный угол. В случае а) она пропорциональна |Ψ(θ)| 2 , а в случае б) — |Ψ(π — θ)| 2 . А если детектор не различает частицы (например, счетчик Гейгера), тогда вероятность опыта пропорциональна

Состояния в принципе различны и складываются вероятности.

А при рассеянии α-частиц на ядрах гелия: α + 4 He → α + 4 He (α-частица — это и есть ядро гелия!)? Тут взаимодействуют тождественные частицы, и экспериментальные результаты не согласуются с формулой (5). Полная неразличимость частиц приводит к интерференции рассеянных волн. В этом случае складываются амплитуды

Если подсчитать по этим формулам вероятности для угла θ = π/2, то вероятности 2|Ψ(π/2)| 2 и |2·Ψ(π/2)| 2 = 4·|·Ψ(π/2)| 2 отличаются в два раза. Ошибиться тут нельзя. Опыт согласуется со вторым значением: для неразличимых частиц складываются амплитуды.

А как обстоит дело с электронами? Электроны в отличие от α-частиц имеют спин (собственный момент количества движения), который может иметь два направления. Если спины взаимодействующих электронов направлены одинаково, то это тождественные частицы, но ни (5), ни (6) неверно. Для них складываются амплитуды в противофазе:

Если спины электронов имеют противоположные направления, детектором можно определить, какой электрон попал в детектор, и складываются вероятности (5).

Приходим к выводу: тождественность микрочастиц существенна при описании взаимодействия этих частиц.

Электроны тождественны, и перестановка двух любых экспериментально обнаружена быть не может: возможны переходы, ведущие к неразличимым экспериментально состояниям.

В 1945г. Вольфгангу Паули присуждена Нобелевская премия:

W OLFGANG P AULI for the discovery of the Exclusion Principle, also called the Pauli Principle.

(за открытие принципа запрета, названного принципом Паули)

Вычисление средних значений

Если известна волновая функция Ψ(x), то можно вычислить значение физических величин, характеризующих данную задачу. Как упоминалось, |Ψ(x)| 2 dx — дает долю частиц, находящихся между x и x + dx. Тогда среднее значение x

Аналогично надо поступить и любых функций координаты x. Например, среднее значение потенциальной энергии U(x) равно

По-другому вычисляется средняя кинетическая энергия, которая зависит не от координаты x, а от импульса. Приведем формулу

Можно проверить последнее выражение для частного случая n = 1 в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме

что совпадает со значением полной энергии E в основном состоянии, т.к. потенциальная энергия U полагалась равной нулю.

Излучение и поглощение энергии

Чтобы выяснить, излучает ли система, содержащая заряженную частицу, надо вычислить среднее значение координаты. Если среднее значение x колеблется с частотой ν, то согласно законам электродинамики надо ожидать испускания или поглощения излучения такой частоты.

Используем волновую функцию частицы в состоянии с квантовым числом n и энергией E_n —

Оказывается, если частица находится в определенном энергетическом состоянии, среднее значение x не зависит от времени, и излучения нет. В 1913 году Нильс Бор для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода постулировал, что атомная система может находиться только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия E_n. В стационарных состояниях атом не излучает. Этот постулат находился в явном противоречии с классической механикой. Рис.3. Уровни энергии.

Теперь рассмотрим систему, в которой есть два состояния с квантовыми числами n, m и соответствующими им энергиями E_n и E_m (рис.3). Принцип суперпозиции в квантовой механике заключается в следующем: если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ_n и Ψ_m, то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией

где a и b — произвольные коэффициенты. Наблюдая испускание излучения при возвращении в основное состояние n, можно заключить, что система была в состоянии m (т.е. a = 0, b = 1) в какой-то момент времени. Найдем среднее значение x для функции (8).

В подынтегральном выражении слагаемые с произведениями Ψ * _n·Ψ_n и Ψ * _m·Ψ_m приводят, как мы видели, к стационарным значениям x и не вызывают излучение или поглощение. Поэтому нас будут интересовать перекрестные произведения

Получили, что среднее положение частицы представляет собой периодическую функцию времени, умноженную на некоторое число (определенный интеграл по x). Поэтому получаются колебания заряда, и, следовательно, излучение с частотой

Таким образом, квантовая механика объясняет существование линейчатых спектров и обосновывает вторую гениальную догадку Н.Бора: испускание или поглощение фотонов происходит только с частотами, удовлетворяющими равенству hν = E_m — E_n.

Теперь заметим, что колебаний заряда не будет, если интеграл В (9) равен нулю

Когда это бывает? В лекции о квантовом гармоническом осцилляторе выписаны волновые функции основного и первых двух возбужденных состояний. Для перехода m = 1 → n = 0 этот интеграл (опуская постоянные коэффициенты)

т.к. под интегралом четная функция. Аналогично для перехода m = 2 → n = 1

функция под интегралом четная и интеграл нулю не равен. Переходы m = 1 → n = 0 и m = 2 → n = 1 разрешены и сопровождаются излучением кванта.

Теперь проанализируем переход m = 2 → n = 0.

т.к. под интегралом нечетная функция. Такой переход запрещен. Детальный анализ волновых функций гармонического осциллятора показывает, что возможны только переходы, при которых квантовое число обязательно меняется на единицу Δn = ±1. Это так называемое правило отбора. Для водородоподобных атомов правила отбора будут свои.

Квантовая механика объясняет основные характеристики испускания и поглощения света.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.