Волновод круглого сечения уравнение поля

Круглый волновод. Вывод формул для поля

При анализе волн в круглом волноводе (рис. 1.13) будем считать, что заполняющая его среда — идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Е- и Н-волн, и невозможно существование ТЕМ-волн (см. раздел 5.4 пособия 2).

Рис. 1.13. К анализу волн в круглом волноводе

При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Z с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию которая в случае Е-волн равна , а в случае Н-волн — . Функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

(1.28)

где, как обычно, . Представим функцию w0 в виде w0=R(r)Ф(φ). Разделяя переменные в уравнении (1.29) аналогично тому, как это было сделано в разделе 4.2 пособия 2, получаем:

(1.29)

(1.30)

где , , А1, А2, С и D — произвольные постоянные.

При функция Неймана стремится к бесконечности, а составляющие и должны быть ограничены. Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем:

(1.31)

В случае Е-волн , апоперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (5.19) и (5.20) из пособия 2. Вводя обозначение , получаем:

(1.32а)

(1.32б)

а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (1.32а) и (1.32б) имеет разный смысл. В (1.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (1.32б) m определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (1.32б) постоянная φ0 влияет только на начало отсчета угла φ, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Z. В рамках используемой физико-математической модели постоянные E0z и φ0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора Еи т.д.). Аналогичный вопрос обсуждался ранее при анализе формул (1.16) и (1.17).

Чтобы найти неизвестную постоянную , используем граничное условие (1.104) из пособия 1:

В рассматриваемом случае из него следует равенство:

, (1.33)

где а — радиус волновода (см. рис. 1.13). Подставляя выражение Для из (1.32б) в (1.33), получаем:

(1.34)

Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя m-го порядка через (см. рис.1.14), из (1.34) находим:

(1.35)

Параметр β вычисляется по формуле (5.14) из пособия 2.

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения (1.34). Например, корню v01Е соответствует волна Е01, корню v12 -волна E12, корню vmn — волна Етп.

Рис. 1.14. Корни функции Бесселя

Зависимость структуры поля волны от угла φ определяется индексом m. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу φ с периодом 2π/m. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла φ).

На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса m и n. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а n — число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при п = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной соотношением (1.33): В рассматриваемом случае:

(1.36)

Несколько первых корней функций Бесселя vmnE в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (1.36), приведены в табл. 1.1. Низшим типом среди волн Е в круглом волноводе является волна E01.

Несколько первых корней функций Бесселя в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн

Распространение электромагнитной волны

В круглом волноводе

Круглый волновод — односвязный закрытый волновод, поперечное сечение которого имеет форму круга радиуса r (см. рис. 2). Уравнение Гельмгольца в общем виде в цилиндрической системе координат имеет вид:

, (12)

где — комплексная амплитуда электрического или магнитного поля.

Решение уравнения (12) ищется в виде комбинации функций Бесселя первого и второго рода (функций Неймана) порядка m (см. рис. 7) по радиальной координате (r) и тригонометрических функций по угловой координате (j).

Рис. 7. Графики функций Бесселя Jm(а) и Неймана Nm(б)

В общем виде решение уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат для продольной компоненты поля имеет вид:

(13)

Однако в силу условий физической задачи поле в центре волновода не может быть бесконечно большим, что навязывается значением функции Неймана при r = 0, следовательно, необходимо положить Bm = 0 в (13). Кроме того, в (13) можем опустить sin(mj). Так как начало отсчета угла j может быть выбрано произвольно, выберем за начало отсчета полуплоскость j = const, в которой имеет максимальное значение. Косинус имеет максимальное значение при mj = 0, а синус при этом равен нулю. Перепишем (13) в соответствии с вышеизложенными соображениями:

. (14)

Запишем граничные условия для электромагнитного поля на стенке волновода, выполненного из идеального проводника:

(15)

Решения уравнения (12) для электрических волн:

(16)

Для магнитных волн:

(17)

В отличие от прямоугольного волновода, в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических и для магнитных волн. Поперечные волновые числа для электрических волн находятся через корни функций Бесселя (nmn), а для магнитных – через корни производных функций Бесселя (cmn):

Значения первых корней функций Бесселя и их производных приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Корни функций Бесселя (nmn)

Таблица 2. Корни производных функций Бесселя (cmn)

Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение собственных мод круглого волновода.Индекс m входит в качестве постоянного коэффициента в аргументы функций cos(mj) и sin(mj), определяющих зависимость составляющих векторов Е и H собственных волн волновода от пространственной переменной j. Для выяснения общих закономерностей, определяющих зависимость этих составляющих от величины коэффициента m, достаточно рассмотреть одну из этих функций, например, cos(mj).

При m = 0 имеем cos(0 j)=1 и рассматриваемая составляющая не зависит от угла j (силовые линии соответствующего вектора представляют собой окружности).

При m = 1 зависимость от угла j определяется функцией cos j. В этом случае во всех точках диаметра j = ± (p/2) рассматриваемая составляющая будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра j = ± (p/2) будут находиться узлы (нулевые значения) этой составляющей. Поэтому данный диаметр называют «узловым». При m = 2 зависимость рассматриваемой составляющей от пространственной переменной j определяется функцией cos 2j и узловых диаметров будет два (j = ± (p/4), j = ± (3p/4)), при m = 3 – три и т.д.

Таким образом, индекс m определяет число узловых диаметров составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода и показывает какое количество узлов этих составляющих укладывается на половине окружности в поперечном сечении волновода.

Индекс n опосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их первых производных, которые определяют зависимость составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода от пространственной переменной r. Величина n дает информацию о числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменной r от 0 до a.

Следовательно, величина n определяет число узлов (нулевых значений) составляющих векторов E и H, укладывающихся вдоль радиуса волновода.

При n = 1 узлы рассматриваемой составляющей будут находиться непосредственно на стенке волновода, поэтому величина (n – 1) будет определять количество «узловых окружностей» составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых рассматриваемые составляющие равны нулю).

Рекомендации по графическому построению силовых линий векторов E и H в поперечном сечении круглого волновода.Знакомство с узловыми диаметрами и узловыми окружностями позволяет принять следующий порядок действий при построении картины силовых линий векторов E и H:

— в соответствии со значениями индексов m и n в поперечном сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых окружностей;

— вдоль полученных «направляющих» наносятся силовые линии того вектора, который для данной собственной волны имеет только поперечные составляющие;

— перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного» вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной собственной волны чисто поперечным;

— если силовые линии вектора E выходят из стенок волновода или входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим стенкам;

— если силовые линии вектора H проходят вблизи стенок волновода, то на границе раздела они должны быть параллельны этим стенкам.

Рис. 6. Силовые линии векторов E и H для некоторых типов волн