Волновое уравнение для акустической волны

Звук. Волновое уравнение

ЗВУК. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

§ 2. Распростра­нение звука

§ 3. Волновое уравнение

§ 4. Решения волнового уравнения

§ 5. Скорость звука

В этой главе мы будем обсуждать новое яв­ление — волны. О волнах часто и много гово­рится в физике, и мы наше внимание должны сконцентрировать на этом вопросе не только потому, что собираемся рассмотреть частный пример волн — звук,— но и потому, что вол­новые процессы имеют и другие многочислен­ные применения во всех областях физики.

Изучая гармонический осциллятор, мы уже отмечали, что существуют примеры как меха­нических колеблющихся систем, так и элект­рических. Волны тесно связаны с колебатель­ными системами, однако волновое движение есть не только колебание в данном месте, за­висящее от времени, но и движение в простран­стве.

Мы уже на самом деле изучали волны. Когда мы говорили о волновых свойствах света, мы обращали особое внимание на пространственную интерференцию волн одной и той же частоты от различных источников, расположенных в раз­ных местах. Существуют еще два важных явления, о которых мы не упоминали и которые свойственны как свету, т. е. электромагнитным волнам, так и любой другой форме волнового движения. Первое из них — это явление ин­терференции, но уже не в пространстве, а во времени. Когда мы слушаем звуки сразу от двух источников, причем частоты их слегка отличаются, к нам приходят то гребни обеих волн, то гребень одной волны и впадина другой (фиг. 47.1).

Фиг. 47.1. Интерференция звука во времени от двух источников с несколько отличающимися часто­тами приводит к биениям.

Звук то усиливается, то ослабевает, возникают биения, или, другими словами, происходит интерференция во времени. Второе явление — это волновое движение в замкнутом объеме, когда волны отражаются то от одной, то от другой стенки.

Все эти эффекты можно было, конечно, рассмотреть и на примере электромагнитных волн. Мы этого не сделали по той причине, что на одном примере мы не почувствовали бы общего характера явления, свойственного самым разным процессам. Чтобы подчеркнуть общность понятия волн вне рамок электро­динамики, мы рассмотрим здесь другой пример — звуковые волны.

Есть еще пример — морские волны, набегающие на берег, или мелкая водяная рябь. Кроме того, существуют два рода упругих волн в твердых телах: волны сжатия (или продольные волны), в которых частицы тела колеблются вперед и назад в направлении распространения волны (звуковые колебания в газе именно такого типа), и поперечные волны, когда частицы тела колеблются перпендикулярно направлению движения волны. При землетрясениях в результате движения участка земной коры возникают упругие волны обоих типов.

И, наконец, есть еще один тип волн, который нам дает сов­ременная физика. Это волны, определяющие амплитуду веро­ятности нахождения частицы в данном месте,— «волны мате­рии», о которых мы уже говорили. Их частота пропорциональна энергии, а волновое число пропорционально импульсу. Эти волны встречаются в квантовой механике.

В этой главе мы будем рассматривать только такие волны, скорость которых не зависит от длины волны. Пример таких волн — распространение света в вакууме. Скорость света в этом случае одна и та же для радиоволн, для синего и зеленого света и вообще для света любой длины волны. Именно поэтому, когда мы описывали волновые явления, мы сначала и не заметили са­мого факта распространения волн. Вместо этого мы говорили, что если перенести заряд в некоторую точку, то электрическое поле на расстоянии х будет пропорционально ускорению заряда, но не в момент времени t, а в более ранний момент времени t— x/c. Поэтому распределение электрического поля в про­странстве в некоторый момент времени, изображенное на фиг. 47.2, спустя время t передвинется на расстояние ct. Вы­ражаясь математически, можно сказать, что в рассматриваемом нами одномерном случае электрическое поле есть функция от x—ct. Отсюда видно, что при t=0 оно оказывается функцией только х. Если взять более поздний момент времени и несколько увеличить х, мы получим ту же самую величину поля. Напри­мер, если максимум поля возникает при x=3 и в момент времени t=0, то положение максимума в момент времени t находится из равенства

Мы видим, что такая функция отвечает распространению волны. Итак, функция f(x—ct) описывает волну. Мы можем все сказанное записать кратко так:

если Dx=cDt. Конечно, существует еще и другая возможность, когда источник излучает волны не направо, как указано на фиг. 47.2, а налево, так что волны будут двигаться в сторону отрицательных х.

Фиг. 47.2. Примерное распределение электрического поля в некоторый момент времени (а) и электрическое поле через промежуток времени t (b).

Тогда распространение волны описывалось бы функцией g(x+ct).

Может еще случиться, что в пространстве одновременно движется несколько волн, и тогда электрическое поле есть сумма всех полей и все они распространяются независимо. Это свойство электрических полей можно выразить так: пусть f1(x—ct) отвечает одной волне, a f2(x—ct) — другой, тогда их сумма также описывает некоторую волну. Это утверждение на­зывается принципом суперпозиции. Он справедлив и для звуко­вых волн.

Мы хорошо знаем, что звуки воспринимаются в той после­довательности, в какой они создаются источником. А если бы высокие частоты распространялись быстрее, чем низкие, то вместо звуков музыки мы слышали бы резкий и отрывистый шум. Точно так же если бы красный свет двигался быстрее, чем синий, то вспышка белого света выглядела бы сначала красной, затем белой и наконец синей. Мы хорошо знаем, что такого на самом деле не происходит. И звук, и свет движутся в воздухе со скоростью, почти не зависящей от частоты. При­меры волнового движения, где этот принцип не выполняется, будут рассмотрены в гл. 48.

Для света (электромагнитных волн) мы получили формулу, определяющую электрическое поле в данной точке, которое воз­никает при ускорении заряда. Казалось бы, нам остается теперь подобным образом определить какую-нибудь характеристику воздуха, скажем давление на заданном расстоянии от источ­ника через движение источника, и учесть запаздывание при рас­пространении звука.

В случае света такой подход был приемлем, так как все наши знания сводились к тому, что заряд в одном месте дейст­вует с некоторой силой на заряд в другом месте. Подробности распространения взаимодействия из одной точки в другую были абсолютно несущественны. Но звук, как известно, распро­страняется по воздуху от источника к уху, и естественно спросить, чему равно давление воздуха в каждый данный мо­мент. Кроме того, хотелось бы знать, как именно движется воздух.

В случае электричества мы могли поверить в правило, поскольку законы электричества мы еще не проходили, но для звука это не так. Нам недостаточно сформулировать за­кон, определяющий распространение звукового давления в воздухе; этот процесс должен быть объяснен на основе законов механики. Короче, звук есть часть механики, и он должен быть объяснен с помощью законов Ньютона. Распространение звука из одной точки в другую есть просто следствие механики и свойств газов, если звук распространяется в газе, или свойств жидкостей и твердых тел, если звук проходит через эти среды. Позднее мы выведем также свойства света и его волновое дви­жение из законов электродинамики.

§ 2. Распространение звука

Давайте выведем теперь свойства распространения звука между источником и приемником, основываясь на законах Нью­тона, но не учитывая при этом взаимодействия звука с источ­ником и приемником. Обычно мы более подробно останавлива­лись на результате, а не на его выводе. В этой главе мы исполь­зуем противоположный подход. Главным здесь будет в некото­ром смысле само получение результата. Метод объяснения но­вых явлений с помощью старых, законы которых уже известны, представляет собой, пожалуй, величайшее искусство матема­тической физики. Математическая физика решает две проблемы: найти решение заданного уравнения и найти уравнения, опи­сывающие новое явление. То, чем мы будем заниматься, отно­сится как раз ко второй проблеме.

Рассмотрим простейший пример — распространение звука в одномерном пространстве. Для вывода нам сначала необхо­димо понять, что же в действительности происходит. В основе явления лежит следующий факт: когда тело перемещается в воздухе, возникает возмущение, которое как-то распростра­няется по воздуху. На вопрос, что это за возмущение, мы можем ответить: это такое движение тела, которое вызывает изменение давления. Конечно, если тело движется медленно, воздух лишь обтекает его, но нас интересует быстрое движение, когда воздух не успевает обойти вокруг тела. При этих условиях воздух в процессе движения сжимается и возникает избыточное давление, толкающее окружающие слои воздуха. Эти слои в свою очередь сжимаются, снова возникает избыточное давление, и вот начинает распространяться волна.

Опишем этот процесс на языке формул. Прежде всего решим, какие нам нужны переменные. В нашей задаче нам нужно знать, насколько переместился воздух, поэтому смещение воздуха в звуковой волне, несомненно, будет первой нашей переменной. Вдобавок хотелось бы знать, как меняется плотность воздуха при смещении. Давление воздуха тоже меняется, и это еще одна интересная переменная. Кроме того, воздух движется с некото­рой скоростью, и мы должны уметь определить скорость частиц воздуха. Частицы воздуха имеют еще и ускорение, но, записав все эти переменные, мы сразу же поймем, что и скорость, и ускорение будут нам известны, если известно смещение воздуха как функция времени.

Как уже говорилось, мы рассмотрим волну в одном измере­нии. Так можно поступить, если мы находимся достаточно да­леко от источника и так называемый фронт волны мало отли­чается от плоскости. На этом примере наше доказательство будет проще, поскольку можно сказать, что смещение c зависит только от х и t, а не от у и z. Поэтому поведение воздуха опи­сывается функцией c (х, t).

Насколько полно такое описание? Казалось бы, оно очень не полно, потому что нам не известны подробности движения молекул воздуха. Они движутся во всех направлениях, и этот факт не отражается функцией c(х, t). С точки зрения кинетиче­ской теории, если в одном месте наблюдается большая плот­ность молекул, а в соседнем меньшая, молекулы будут перехо­дить из области с большей плотностью в область с меньшей плотностью, так чтобы уравнять плотности. Очевидно, что при этом никаких колебаний не происходит и звук не возникает. Для получения звуковой волны нужно, чтобы молекулы, вы­летая из области с большей плотностью и давлением, переда-пали импульс другим молекулам, находящимся в области раз­режения. Звук возникает в том случае, если размеры области изменения плотности и давления намного больше расстояния, проходимого молекулами до соударения с другими молекулами. Это расстояние есть длина свободного пробега, и оно должно быть много меньше расстояния между гребнями и впадинами давления. В противном случае молекулы перейдут из гребня во впадину, и волна моментально выровняется.

Мы, естественно, хотим описать поведение газа в масштабе, большем, чем длина свободного пробега, так что свойства газа не будут определяться поведением отдельных молекул. Напри­мер, смещение есть смещение центра инерции небольшого объема газа, а давление или плотность относятся к этому же объему. Мы обозначим давление через Р, а плотность через r, причем обе величины будут функциями от х и t. Необходимо помнить, что наше описание приближенное и справедливо лишь, когда свойства газа не слишком быстро меняются с расстоянием.

§ 3. Волновое уравнение

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:

I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. III. Неравномерное распределение давления вызывает дви­жение газа.

Рассмотрим сначала свойство П. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р0 и плотностью r. Давление Р зависит от плот­ности среды: Р=f(r), и в частности равновесное давление Р0=f(r0). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар=105н/м2). Давление в одну стандартную атмосферу приб­лизительно равно 1 бар (1 атм=1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Ротн=2•10-10 бар.

Звуковое давление Р=103 Ротн=2•10-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление ме­няется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может пре­вышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэто­му, написав для звуковой волны

Р=Р0+Рu, r = r0+ru, (47.2)

можно считать, что изменение давления Pu очень мало по сравнению с P0, а изменение плотности ru очень мало по сравнению с r0. Тогда

где P0 = f(r0) и f'(r0) — производная от f(r), взятая при значении r =r0. Второе равенство здесь возможно только потому, что ru очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление Pu пропорционально избыточной плот­ности ru; коэффициент пропорциональности обозначается через к:

(II) Рu=cru, где c=f'(r0)=(dP/dr

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержа­ние свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину c(х,t), так что его новое положение есть x+c(x, t), как показано на фиг. 47.3.

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Dх, и его смещенное положение есть х+Dх+c(х+Dх,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рас­сматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Dx, есть r0Dx, где r0 — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, сме­щенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+c (x,t) и x+Dх+c (х+Dх,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Dx до прихода волны. Если через r обозначить новую плотность, то

Поскольку Dx мало, можно написать c (x+Dx,t)-c (x, t)=(дc/дx)Dx. Здесь уже появляется частная производная, потому что c зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

Но в звуковой волне все изменения малы, так что ru мало, c мало и дc/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

можно пренебречь ru(дc/дх) по сравнению с r0(дc/дх). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если сме­щение c растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотноше­ние между силой и давлением, можно получить уравнение дви­жения. Возьмем объем воздуха толщиной Dx и с единичной пло­щадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть r0Dx, а ускорение воздуха есть д2c/дt2, так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть r0Dx(д2c/дt2). (Если Dx; мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единич­ную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна r0Dx(д2хc/дt2). В точке х мы имеем силу Р(х,t), дей­ствующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+Dx; возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x;+ Dx, t) (фиг. 47.4):

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (дР/дх)Dх.

Мы учли, что Dx; мало и что только избыточное давление Ри меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все вели­чины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Рu в (47.11) с помощью (47.4):

а затем исключить ru с помощью (I). Тогда r0 сократится и у нас останется

Обозначим с2s =x, тогда можно написать

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра­нение звука в среде.

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f(x—vt). Посмотрим теперь, является ли f(x—vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f‘(x—vt). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x—vt); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно cs.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью cs и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида c (х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распростра­нялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д2c/dt2 не зависит от выбора x+vt или х-vt, потому что в эту производ­ную входит только v2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью cs.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем c1 . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной c1 по t1, умноженной на 1/с2s. И пусть есть второе решение c2, обладаю­щее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда полу­чается

Теперь мы хотим удостовериться, что c (х, t) тоже представ­ляет некую волну, т. е. c тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

и вдобавок

Отсюда следует, что d2c/dx2=(l/c2s)д2c/dt2, так что справедли­вость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по c.

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлет­воряет волновому уравнению

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения элект­родинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому урав­нению для звука.

§ 5. Скорость звука

При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с2s=(dP/dr)0. (47.21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло пере­дается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меня­ются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны ве­лика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что погло­щение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.

Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует адиабатическому изменению давления, для ко­торого мы нашли, что PVg=const, где V — объем. Поскольку плотность r обратно пропорциональна объему, связь P и r для адиабатических процессов дается соотношением

откуда мы получаем dP/dr=gP/r. Тогда для скорости звука возникает соотношение

Можно еще написать с2s= gPV/rV и использовать соотноше­ние PV=NkT. Мы видим, кроме того, что rV есть масса газа, которую можно записать как Nm или m, где m — масса молекулы, а m — молекулярный вес. Таким образом, находим

откуда видно, что скорость звука зависит только от темпе­ратуры газа и не зависит от давления или плотности. Мы уже отмечали, что

где — средняя квадратичная скорость молекул. Отсюда следует, что с2s=g/3 , или

Это равенство означает, что скорость звука есть средняя ско­рость молекул воздуха (точнее, корень квадратный из средней квадратичной скорости), умноженная на некоторое число, грубо говоря, на 1/(3)1/2. Другими словами, она того же порядка величины, что и скорость молекул, но на самом деле несколько меньше средней скорости молекул.

В общем-то мы могли этого ожидать, потому что такое воз­мущение, как изменение плотности, передается в конечном счете движением молекул. Однако подобного рода соображения не подсказывают нам точного значения скорости; могло ведь оказаться, что звук переносится самыми быстрыми или самыми медленными молекулами. Разумно и весьма утешительно, что скорость звука оказалась равной приблизительно половине средней молекулярной скорости.

* При таком выборе Pотн Р — уже не максимальная амплитуда зву­кового давления, а «среднее квадратичное» давление, равное максималь­ному, деленному на 1/Ö2.

Волновой фронт. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Упругие волны в безграничных средах

В данной главе вводится ряд определений и понятий физической акустики, рассматриваются волны в безграничных средах, дается представление о волновом уравнении и его характеристических свойствах.

Волновое уравнение

Многообразие различных волновых процессов в первом приближении описывается волновым уравнением

, (1.1)

где ;

– гамильтониан – инвариантный оператор.

Это линейное гиперболическое уравнение второго порядка. В случае упругих сред, о чем будет сказано ниже, оно описывает малые свободные колебания. Под функцией понимаются различные физические величины: давление, смещение, скорость смещения частиц среды и т. д.

В случае одного пространственного измерения уравнение (1.1) для плоского случая приобретает наиболее простой вид:

. (1.2)

Величина с постоянна и имеет размерность скорости. Далее будет ясно, что соответствует скорости распространения возмущения. Решением уравнения (1.2) является суперпозиция двух функций:

. (1.3)

Отметим далее важное свойство уравнения (1.2), справедливое и для уравнения (1.1). Величины , называются характеристиками уравнения (1.2). Будем полагать, что . Находя полную производную по от , получим, что , откуда . Так как , то возмущение, имеющее в некоторый момент времени заданную форму , не изменит ее и в любой другой момент времени. Таким образом, возмущения распространяются, не изменяясь по характеристикам, с постоянной скоростью. Это важное характеристическое свойство уравнения (1.2). В случае трех пространственных переменных говорят уже о характеристических поверхностях.

В следующем параграфе мы еще вернемся к волновому уравнению (1.2) и его решению (1.3). Здесь же отметим одно обстоятельство, касающееся терминологии. Функцию вида в определенном контексте называют фазой. Применительно к уравнению (1.2) и решению (1.3) фаза совпадает с характеристикой. В общем случае, это может быть не так, поэтому в следующем параграфе и особенно в параграфе, посвященном явлению дисперсии, понятие фазы не следует отождествлять с характеристиками уравнения (1.2).

Колебания и волны

Колебания – процессы, при которых состояние системы воспроизводится через определенный промежуток времени. В акустике рассматриваются упругие колебания. Акустические колебания – механические колебания частиц упругой среды. Под упругой средой понимается среда, в которой напряжение есть линейная функция деформации. Колебания можно разделить на две большие группы: свободные и вынужденные. Свободные колебания система совершает, будучи предоставлена самой себе. Реально из-за наличия трения, диссипативных процессов и пр. свободные колебания являются затухающими. Вынужденные колебания система совершает под действием возмущающей силы. Если собственные частоты колебательной системы совпадают с частотой вынуждающих воздействий, то система входит в резонанс.

Упругие колебания в жидкостях и газах характеризуются одной из следующих величин: изменением давления p или плотности r, смещением частиц из положения равновесия u, скоростью колебательного движения v, потенциалом смещения χ или колебательной скорости φ. Следует отличать изменение давления или плотности, связанное с распространением акустических волн, от их статистического (среднего) значения. Все перечисленные величины взаимосвязаны, например: u = grad c; v = grad j; v где ρ – плотность среды; t – время.

Колебания, возникнув в одной точке среды, за счет упругого взаимодействия частиц распространяются с некоторой скоростью c. Волной называют процесс распространения упругого возмущения среды. С математической точки зрения волной имеет смысл называть решение волновых уравнений – главным образом линейных и квазилинейных гиперболических (они имеют одну характерную особенность).

При всем многообразии волновых явлений, линейные волны в одномерном случае могут быть представлены функциями вида

. (1.4)

Величина имеет смысл фазы. Отметим здесь, что фаза определена с точностью до аддитивной постоянной. В этой связи уместно сказать, что функция

(1.5)

также является решением волнового уравнения (1.2) при определенных соотношениях между и . Для синусоидальных функций фазой будет функция

. (1.6)

Здесь, как и в формулах (1.4), (1.5) знаки «минус» и «плюс» обозначают направление распространения волны: вдоль оси x и в обратном направлении, соответственно.

Волновой фронт. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Волновой фронт есть граница между возмущенной и невозмущенной областями упругой среды. Эта граница представляет собой волновую поверхность с нулевой фазой колебаний. Волновой поверхностью называется условная поверхность равной фазы, т. е. это геометрическое место точек, в которых фаза колебаний постоянна. В зависимости от формы волнового фронта выделяют три основных вида волн: плоские, сферические и цилиндрические.

Для плоских волн волновой фронт имеет вид плоскости. Источником таких волн являются плоскопараллельные пластины, испытывающие периодические деформации «растяжения-сжатия» по толщине. В одномерном случае аналитически плоская волна имеет вид (1.4), который легко обобщается на трехмерный случай:

(1.7)

Волновые поверхности сферических волн имеют вид концентрических сфер. Источником сферических волн является точечный объект или сфера малого диаметра. Аналитически сферическая волна – это функции вида

(1.8)

Цилиндрические волны имеют цилиндрический волновой фронт. Их источником является колеблющийся протяженный цилиндр малого диаметра. Уравнения цилиндрических волн – это функции вида

(1.9)

Различия между рассмотренными типами волн не сводятся только к геометрическому различию в форме волновых поверхностей, но имеют и ряд других особенностей. Если пренебречь затуханием, то амплитуда плоской волны не меняется при распространении волны, в то время как амплитуда сферической волны уменьшается с увеличением расстояния от источника как , а цилиндрической – как .

Не рассматривая подробно понятие интенсивности звуковых волн, укажем, что для плоских волн интенсивность – величина постоянная, для сферических волн интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния, а для цилиндрических волн интенсивность обратно пропорциональна расстоянию. В табл.1 приведены характеристики перечисленных типов волн в зависимости от формы волнового фронта.

Основные типы волн

Волновая поверхность	Аналитическое выражение	Интенсивность
Плоская
Цилиндрическая
Сферическая

Дата добавления: 2015-12-10 ; просмотров: 6839 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ