Лекция 6. Метод Даламбера
В этой лекции решение задачи Коши для волнового уравнения
Шаг 1. Заменим переменные (x, t) новыми переменными (ξ,η), в которых волновое уравнение примет другой вид: Такая замена выполняется по формулам
После подстановки этих производных в волновое уравнение, получим:
что и требовалось доказать.
Шаг 2. Преобразованное уравнение легко решается двумя последовательными интегрированиями (сначала по переменной η , а затем по ξ):
где C1(η) – произвольная функция от η. Так как C(ξ) – произвольная функция, то и – также произвольная функция.
Окончательно, общее решение U(ξ,η) имеет вид
Шаг 3. Для нахождения общего решения первоначального уравнения подставим в (25) вместо ξ и η выражения (24):
Шаг 4. Определим функции C1 и C2, используя начальные условия из (23). После подстановки первого условия получим
Найдем производную функции U в (26) по переменной t и подставим второе условие:
В результате будем иметь систему уравнений
Если проинтегрировать второе уравнение системы (27) по x в пределах от xo до х , то получим следующую систему:
При сложении этих уравнений получим
Если из первого уравнения системы вычесть второе уравнение, то будем иметь
Подставим теперь полученные функции в общее решение (26):
Поменяем местами пределы интегрирования во втором интеграле, стоящем в скобках в (28). В результате получим решение исходной задачи Коши
Формула (29) называется формулой Даламбера.
Далее мы исследуем решение, определяемое по формуле Даламбера.
Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера
При исследовании формулы Даламбера будем исходить из физического смысла волнового уравнения. Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны
и начальные условия
Такая задача Коши с помощью замены независимой переменной сводится к задаче (23):
Решение преобразованной задачи имеет вид (см. формулу Даламбера (29):
Если теперь в эту формулу вместо τ подставить at, то получится решение исходной задачи
Прежде, чем перейти к физической интерпретации этой формулы, сделаем следующее замечание.
Замечание. Рассмотрим в отдельности функции C1(x-at) и C2(x-at), входящие в общее решение (26) (коэффициент а в них появился потому, что нас сейчас интересует более общее уравнение (30)). Начнем с функции C1(x-at) и построим графики этой функции при возрастающих значениях t: t=to, t=t1, t=t2 и т.д. (см. рис. 8).
Если по очереди проецировать эти картинки на экран (как в мультфильмах), то они «побегут» вправо. Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент а является скоростью распространения волны. В самом деле, предположим, что параллельно оси х движется наблюдатель со скоростью а. Пусть в некоторый момент to он находился в точке xo. Тогда за промежуток наблюдатель сместится вправо на величину и окажется в точке Если в точке xo наблюдатель видел отклонение струны на величину то в момент t величина отклонения – будет точно такой же! То есть наблюдатель будет видеть форму струны не изменяющейся.
Вторая функция C2(x-at) тоже представляет собой волну, но только она будет распространяться со скоростью а влево. Часто функции C1(x-at) и C2(x-at) называют, соответственно, прямой и обратной волной. Таким образом, общее решение U(x,t) (формула (26)) волнового уравнения является суперпозицией прямой и обратной волны.
Теперь дадим интерпретацию формулы Даламбера для двух частных случаев.
СЛУЧАЙ 1. Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля, а начальная скорость равна нулю. Это означает, что начальные условия имеют вид
При таких начальных условиях получается решение задачи Коши, которое называется волной отклонения. Уравнение волны отклонения определяется формулой Даламбера
то есть решение U в некоторой точке xo в момент времени to зависит от значений начальной функции φ в двух точках на оси х: в точке (xo — ato) и в точке (xo + ato) (см. рис. 9).
Значение U равно среднему арифметическому значений начальной функции φ в точках (xo — ato) и (xo + ato). На рис. 9 изображена плоскость xOt, которая называется фазовой плоскостью. На оси х указаны точки (xo — ato, 0) и (xo + ato, 0), в которых начальные отклонения струны определяют величину отклонения струны в точке xo в момент времени to. Эти точки являются точками пересечения прямых x — at = xo — ato и x + at = xo + ato с осью х. Указанные прямые называются характеристиками волнового уравнения. Треугольник с вершиной в точке (хo, to) и основанием, которое получается при пересечении характеристик с осью х (см. рис. 9), называется характеристическим треугольником.
Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, изобразим фазовую картину решения следующей задачи:
Замечание. На самом деле начальные отклонения струны не могут быть разрывными в точках х = -1 и х = 1, ведь струна не разрывается. Однако мы не слишком сильно погрешим против истинной картины распространения колебаний, если будем считать их кусочно постоянными. Дело в том, что, во-первых, рассматриваются очень малые колебания струны, и, во-вторых, малые изменения начальных значений незначительно влияют на решение задачи.
На рисунке 10 изображена фазовая плоскость x0t. Решение U(x,t) задачи отлично от нуля только в заштрихованных областях, причем начальное отклонение распространяется с одинаковой скоростью в двух противоположных направлениях – возникает прямая и обратная волны. Границы этих областей – это характеристики волнового уравнения: x — at = -1, x — at = 1, x + at = -1, x + at = 1.
Если рассмотреть процесс колебания некоторой фиксированной точки струны x = xo, то нетрудно заметить, что она колеблется только в конечный промежуток времени: от момента до момента , то есть В остальное время точка xo находится в покое. Говорят, что в момент t1 через точку x = xo проходит передний фронт волны, а в момент t2 — задний фронт волны. Вообще, фронтом волны называется граница между возмущенной (колеблющейся) и невозмущенной областями среды (точками струны). Для прямой волны уравнение переднего фронта x — at = 1, а заднего фронта x — at = -1. Для обратной волны, соответственно, x + at = -1 — уравнение переднего фронта, а x + at = 1 — заднего фронта.
СЛУЧАЙ 2. Пусть начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость отлична от нуля. Это означает, что начальные условия имеют вид
В этом случае решение задачи Коши называют волной импульса. Оно имеет вид (см. формулу Даламбера)
то есть решение U в некоторой точке xo в момент времени to зависит от начальных скоростей ψ во всех точках отрезка [xo — ato , xo + ato] (см. рис 11). Значение U равно (интегральному) среднему значению начальной скорости на отрезке [xo — ato , xo + ato], умноженному на промежуток времени t.
На рис. 11 изображена фазовая плоскость x0t. Точки (xo — ato, 0) и (xo + ato, 0) являются точками пересечения характеристик x — at = xo — ato и x + at = xo + ato с осью х. В качестве примера приведем фазовую картину решения следующей задачи:
Рис. 12 описывает процесс колебания струны, которой сообщается начальная единичная скорость на отрезке -1
При вычислении интеграла всегда удобно представить себе характеристический треугольник с вершиной в точке, лежащей в соответствующей области (см. рис 12). Тогда значение U(x,t) будет определяться значениями начальной функции ψ(x) в основании характеристического треугольника.
2. В области 2 функция
3. В области 3 функция
4. В области 4 функция
5. В области 6 функция
Это решение в различные моменты времени можно изобразить на плоскости x0U (см. рис 13). Здесь для простоты положим a=1.
Графики функции U(x,t), изображенные на рис. 13, задают форму струны в различные моменты времени.
Электронная библиотека
Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны.
Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы, тем самым, не будем учитывать влияния отраженных волн.
Таким образом, мы приходим к задаче о свободных колебаниях неограниченной струны, которая формулируется так: решить однородное линейное дифференциальное уравнение гиперболического типа
при начальных условиях
где функции и заданы на всей числовой оси. Никакие другие условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Метод ее решения называется методом Даламбера или методом бегущих волн.
Уравнение характеристик распадается на два:
Характеристиками являются прямые:
Введя новые переменные , получим канонический вид уравнения колебаний:
Интегрируя это уравнение по , получим:
Интегрируя последнее уравнение по (при фиксированном значении ), будем иметь:
Полученный общий интеграл запишем, подставив и :
Учитывая начальные условия (4.19), получим:
Интегрируя уравнение (4.22), получим:
Решая уравнение (4.23) совместно с уравнением (4.21) будем иметь:
Учитывая, что функции и определены для любого аргумента, заменяем x в уравнении (4.24) на и в уравнении (4.25) на .
Подставляя полученные выражения в уравнение (4.20), получим:
Выражение (4.26) называется формулой Даламбера или решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Она показывает также существование и единственность решения данной задачи.
Выясним физический смысл полученного решения. Рассмотрим два частных случая.
Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в формуле (4.26) надо положить . Тогда
Колебание можно рассматривать как наложение (суперпозицию) колебаний двух волн:
· первая волна распространяется со скоростью a вправо (прямая волна);
· вторая волна распространяется с той же скоростью влево (обратная волна).
В начальный момент времени t = 0 профили обеих волн совпадают и повторяют начальное отклонение струны с половинной амплитудой.
Пусть теперь начальное смещение , а отлично от нуля в промежутке , а вне этого промежутка . В таком случае говорят, что струна имеет только начальный импульс (волна импульса). Тогда в соответствии с (4.26) решение имеет вид:
Используя выражение (4.29), запишем уравнение (4.28) в виде:
То есть, по струне распространяются две волны импульса: прямая и обратная , а результирующая волна является суммой (суперпозицией) этих волн.
Вывод: действие импульса заключается в том, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, определяемый интегралом (4.28) и остаются в этом положении. Волна как бы оставляет след после своего прохождения.
Полученные результаты для колебаний бесконечной струны не могут быть применены к реальному колебанию физической струны. Действительно, при их выводе не были учтены многие факторы. В частности, опыт учит нас, что струна какой угодно длины, выведенная из положения равновесия или ударенная, колеблется. Законы колебания бесконечной струны (4.27) и (4.28) этого не показывают, потому что колебания конечной струны происходят вследствие отражения отклонений от закрепленных концов струны, а при рассмотрении бесконечной струны мы не учитываем влияния концов. Поэтому практически решения уравнений (4.27) и (4.28) применимы только для таких моментов t, для которых отклонения точек струны не успели дойти до ее концов. Кроме того, начальные функции и должны быть такими, чтобы в течение всего процесса было малой величиной, которой можно пренебречь по сравнению с единицей.
Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
http://libraryno.ru/4-2-2-kolebaniya-beskonechnoy-struny-reshenie-dalambera-2013_matem_dop/