Волновое уравнение для электромагнитного поля это

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Волновое уравнение для электромагнитного поля

Ток смещения

Если замкнуть ключ (рис. 6.1), то лампа при постоянном токе гореть не будет: емкость C – разрывает цепь постоянного тока. Но вот в моменты включения лампа будет вспыхивать.

1.

При переменном токе – лампа горит, но в то же время нам ясно, что электроны из одной обкладки в другую не переходят – между ними изолятор (или вакуум). А вот если бы взять прибор, измеряющий магнитное поле, то в промежутке между обкладками мы обнаружили бы магнитное поле (рис. 7.2).

3.

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Этот термин имеет смысл в таких веществах, как, например, диэлектрики. Там смещаются заряды под действием электрического поля. Но в вакууме зарядов нет – там смещаться нечему, а магнитное поле есть. То есть название Максвелла «ток смещения» – не совсем удачное, но смысл, вкладываемый в него Максвеллом, – правильный.

Максвелл сделал вывод: всякое переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле.

Токи проводимости в проводнике замыкаются токами смещения в диэлектрике или в вакууме. Переменное электрическое поле в конденсаторе создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, имеющий величину, равную току в металлическом проводнике.

Это утверждение позволяет (на базе нашего примера с конденсатором) найти величину тока смещения. В свое время мы с вами доказали, что поверхностная плотность поляризационных зарядов σ равна – вектору электрического смещения:

,

(7.2.2)

Полный заряд на поверхности диэлектрика и, следовательно, на обкладках конденсатора (S – площадь обкладки)

,

(7.2.3)

т.е. ток смещения пропорционален скорости изменения вектора электрического смещения . Поэтому он и получил такое название – ток смещения.

Плотность тока смещения

,

(7.2.4)

Вихревое магнитное поле ( ) образующееся при протекании тока смещении, связано с направлением вектора правилом правого винта(рис. 7.2).

Из чего складывается ток смещения?

Из раздела «Электростатика и постоянный ток» (п. 4.3), известно, что относительная диэлектрическая проницаемость среды где χ – диэлектрическая восприимчивость среды. Тогда

5. или

Отсюда видно, что – вектор поляризации. Следовательно

,

(7.2.5)

В этой формуле – плотность тока смещения в вакууме; – плотность тока поляризации, т.е. плотность тока, обусловленная перемещением зарядов в диэлектрике.

Волновое уравнение электромагнитного поля. Плоская электромагнитная волна.

Волновое уравнение для электромагнитного поля

В главе IX мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, вообще говоря, тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве , следовательно, представляет собой волну.

Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла. В случае однородной нейтральной непроводящей среды с постоянными проницаемостями

Поэтому уравнения (71.1) — (71.4) можно написать следующим образом:

(104.1)

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (104.1):

(104.5)

Символ означает дифференцирование по координатам.

Изменение последовательности дифференцирования по координатам и времени приводит к равенству

Произведя в (104.5) такую замену и подставив в получившееся уравнение значение (104.3) для ротора Н, получим

(104.6)

Согласно (11.40) . В силу (104.4) первый член этого выражения равен нулю. Поэтому левая часть формулы (104.6) представляет собой . Таким образом, опустив слева и справа знак минус, приходим к уравнению

В соответствии с (39.15) . Поэтому уравнению можно придать вид

(104.7)

Раскрыв оператор Лапласа, получим

Взяв ротор от обеих частей уравнения (104.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению

Уравнения (104.8) и (104.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (104.1) и (104.3), каждое из которых содержит и Е, и Н.

Уравнения (104.8) и (104.9) прёдставляют собой типичные волновые уравнения (см. (96.2)). Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны. Следовательно, уравнения (104.8) и (104.9) указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в видеэлектромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

(104.10)

В вакууме (т. е. при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в пустоте с.

Электромагнитная волна. Уравнение электромагнитной волны. Интерферометры и их применение. Понятие об интерференционном микроскопе

Страницы работы

Содержание работы

Распространяющееся электромагнитное поле, в котором напряженности электрического и магнитного полей изменяются по какому-нибудь периодическому закону, называют электромагнитной волной. Очевидно, источником электромагнитной волны может быть любой электрический колебательный контур или даже любой проводник, по которому течет переменный ток. Скорость распространения электромагнитных волн постоянна для данной (однородной и изотопной) среды и равна скорости света (в вакууме с = 3 × 10 8 м/сек).

Электромагнитное поле графически изображается совокупностью электрических и магнитных силовых линий.

Уравнение электромагнитной волны.

Составим уравнение для наиболее простого случая — плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, в которой векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н поля сохраняют постоянные направления в пространстве (такая волна называется плоскополяризованной). Направим эти векторы вдоль координатных осей: Е вдоль ОZ ; Н вдоль ОУ.

Предположим, что в начальный момент времени (t = 0) в исходной точке пространства (х = 0) создано переменное электрическое поле Е, которое индуктирует магнитное поле Н. Через промежуток времени dt в соседней точке на расстоянии dx напряженности полей будут Е+dE и H+dH соответственно. При этом приращение электрического поля dE обусловлено скоростью изменения магнитного поля, а приращение магнитного поля dH — скоростью изменения электрического поля (эти скорости зависят от свойств среды, что в СИ учитывается с помощью абсолютных проницаемостей и ).

Опуская подробности, такая связь между скоростями изменения напряженностей Е и Н по времени и расстоянию может быть выражена, путем приравнивания частных производных от напряженностей Е и Н по расстоянию х и времени t:

Эти уравнения называются уравнениями Максвелла для плоской электромагнитной волны. Решение этих уравнений и составит искомое уравнение волны. Мы с вами рассматривали аналогичные уравнения в курсе механики. Поэтому подробное решение приводить не будем. Получим:

или

где .

Решениями этих уравнений являются гармонические (синусоидальные) функции.

где Е и Н — мгновенные, а Еm и Hm — максимальные значения напряжен-ностей, w — круговая частота колебаний векторов Е и Н, V — скорость распространения волны в направлении ОХ:

где = 3 × 10 м/сек — скорость электромагнитной волны в вакууме.

Из уравнений следует, что в электромагнитной волне (в вакууме и изотопной среде) векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (то есть электромагнитная волна — поперечная), колебания этих векторов происходят в фазе и их величины связаны соотношением:

Объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Энергия электромагнитного поля складывается их энергии электрического поля и энергии магнитного поля. Мгновенное значение объемной плотности энергии электромагнитного поля равно

w_ЭМ = w_Е + w_Н =

Учитывая, что , получим

w_ЭМ

w_ЭМ =

где Е и Н — мгновенные значения напряженностей полей.

Плотность потока энергии волны I можно получить, умножим объемную плотность энергии поля на скорость волны :

I = w_ЭМ u =

В системе СГС

Плотность потока энергии — это вектор, совпадающий с направлением распространения волны. В данном случае он называется вектором Умова-Пойнтинга.

Шкала электромагнитных волн.

По современным представлениям, свет имеет двойственные корпускулярно-волновые свойства.

Волновые свойства света проявляются преимущественно в явлениях, связанных с его распространением (интерференция, дифракция, отражение, преломление и др.). Поэтому при изучении этих явлений используется главным образом волновая теория, хотя она и не учитывает прерывности световой волны.

Корпускулярные свойства проявляются преимущественно при взаимодействии света с веществом (фотоэффект и др.), которое и рассматривается главным образом с точки зрения фотонной теории.

Основной характеристикой световых волн является частота колебаний n (частота колебаний векторов напряженности Е и Н электромагнитного поля). В волновой теории чаще используется связанная с ней длина волны в вакууме: , где с — скорость света в вакууме. Частота колебаний (длина волны в вакууме) влияет на свойства излучения и в определенных интервалах частот излучение приобретает особые качества. Например, электромагнитное излучение в определенном диапазоне частот действует на глаз, а в другом диапазоне (рентгеновские лучи) проникает в глубь веществ, непроницаемых для остального электромагнитного излучения и т.п.

В соответствии с условиями возбуждения и свойствами излучения электромагнитные волны делятся по частоте (или длине волны) на 6 диапазонов: радиоволны (длинные, средние, короткие), инфракрасные, видимые, ультрафиолетовые, рентгеновские волны и g — лучи, шкала приведена по мере возрастания частот, то есть убывания длин волн.

Излучение радиоволн обусловлено переменным токами в проводниках и электронными потоками (макроизлучатели). Излучение инфракрасных, видимых и ультрафиолетовых волн исходит из атомов, молекул и быстро заряженных частиц (микроизлучатели). Рентгеновское излучение возникает при внутриатомных процессах, g -лучи имеют ядерное происхождение.