Волновое уравнение для световой волны

Классическая электромагнитная теория света

Вы будете перенаправлены на Автор24

Электромагнитная сущность света

Дж. Максвелл предсказал своей теорией существование электромагнитных волн. Как следствие его уравнений, скорость электромагнитных волн в вакууме получилась равной:

В то время величина $c$ (1) называлась электродинамической постоянной. Ее численное значение было эмпирически получено В. Е. Вебером и Р.Г. Кольраушем в 1856 г. ($c=3,1\cdot <10>^8\frac<м><с>$). Причем, величина электродинамической постоянной практически совпала со скорость света в вакууме, которую измерил И.Л. Физо в 1849 г ($c=3,15\cdot <10>^8\frac<м><с>$).

Другое важное совпадение свойств электромагнитных волн и света — это поперечность. Поперечность электромагнитных волн является следствием уравнений Максвелла. Поперечность волн света была доказана опытами Юнга по поляризации света. Данные два факта позволили Максвеллу сделать вывод о том, что световые волны по своей природе являются электромагнитными волнами. Подтвердило, также, данный взгляд на свет, как волну открытие Фарадеем в 1846 г. вращения плоскости поляризации света в магнитном поле.

Физическое существование электромагнитных волн эмпирически доказал Г. Р. Герц в 1888 г. Длина волн, которые он генерировал и регистрировал, была равна $66 см$. Герц показал отражение, преломление, поляризацию этих волн, получил стоячие волны, показал способность электромагнитных волн к интерференции.

Электромагнитная теория света устранила проблемы, с которыми столкнулась теория упругого эфира, но физики XIX век считали, что она дала символическое решение вопроса о природе света, рассматривая ее как формальную схему. Считалось, что уравнения верно передают количественные соотношения между величинами и явлениями, нет отчетливого физического толкования символов, которые входят в уравнения. Ученые думали, что система уравнений Максвелла составят математическое основание полной физической теории световых явлений после того как будут найдены механические свойства эфира. Однако попытки обнаружить механические свойства электромагнитного эфира не увенчались успехом. Гипотеза механического эфира, как и попытка построения механической картины мира канули в лету. Поэтому в современной волновой теории говорят, что свет — это колебания электромагнитного поля, при этом не считают, что эти колебания можно свести к чему-то «более простому и наглядному».

Готовые работы на аналогичную тему

Надо отметить, что классическая физика не способна истолковать явления атомного масштаба. Здесь требуется введение квантовых представлений. Так, классическая теория, например, не объясняет распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Возвращение к представлению о частицах света (фотонах) потребовало, например, объявление такого явления как фотоэффект, эффекта Комптона и некоторых других. Получается, что явления распространения света, следует описывать как волновые процессы в рамках соответствующей электромагнитной теории, а для объяснения эффектов взаимодействие света и вещества применять корпускулярные представления. Полная теория света является корпускулярно волновой.

Волновое уравнение

Волновое уравнение для света как электромагнитной волны поучают из системы уравнений Максвелла — если свободных зарядов и токов нет, то для вектора магнитной индукции волновое уравнение в вакууме имеет вид:

где $\triangle =\nabla \cdot \nabla $ — оператор Лапласа. Волновое уравнение при аналогичных условиях для вектора напряженности электрического поля световой волны имеет вид:

Часто уравнения (2) и (3) записывают, используя оператор Д’ Аламбера ($\square=\triangle -\frac<1>\frac<<\partial >^2><\partial t^2>$), где скорость света в вакууме равна:

В таком случае волновые уравнения (2) и (3) запишутся в виде:

Световая волна

В электромагнитной волне совершают колебания векторы $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$. Из опыта известно, что физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызваны колебаниями вектора напряженности. В связи свыше сказанным, чаще всего говорят о световом векторе, имея в виду под ним вектор напряженности электрического поля. Изменение в пространстве и времени проекции светового вектора на направление распространения волны описывается уравнением:

где $E_m$ — модуль амплитуды светового вектора (для плоской волны $E_m=const,\ $для сферической — $E_m\sim \frac<1>$), $k$ — волновое число, $r$ — расстояние, которое считается вдоль направления распространения волны.

Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости ($v$) в некоторой среде называют абсолютным показателем преломления среды. Обозначают его $n$. Так:

Соответственно, получается из классической электромагнитной теории :

где для подавляющего большинства прозрачных веществ $\mu \approx 1.$ Формула (8) осуществляет связь между оптическими и электромагнитными свойствами вещества. При этом следует помнить, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты колебаний электрического поля. Что объясняет дисперсию света, то есть зависимость показателя преломления от частоты.

Величина показателя преломления ($n$) дает характеристику оптической плотности среды.

Длина волны света в среде ($\lambda $) связывается с длиной волны в вакууме ($<\lambda >_0$) соотношением:

Модуль средней (по времени) величины плотности потока энергии, которую переносит световая волна, называется интенсивностью света (I) в данной точке пространства:

где $\overrightarrow

$ — вектор Умова — Пойнтинга. Основными единицами измерения интенсивности служат $\left[I\right]=\frac<Вт><м^2>=\frac<лм><м^2>$ (люмен на кв. метр). Так как для модулей амплитуд векторов напряженностей электрического и магнитного полей имеем соотношение:

Из (11) можно записать, что:

Так как $\left|\left\langle \overrightarrow

\right\rangle \right|\sim E_mH_m,$ значит, что $I\sim n^2.$

Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, называют лучами. Средний вектор Пойнтинга направлен в каждой точке по касательной к лучу. Если мы рассматриваем изотропную среду, то направление $\left\langle \overrightarrow

\right\rangle $ совпадает с нормалью к волновой поверхности (волновым вектором $\overrightarrow$). Получается, что лучи перпендикулярны волновым поверхностям.

Задание: Получите волновое уравнение для вектора магнитной индукции световой волны, которая распространяется в вакууме, где нет свободных зарядов и токов из системы уравнений Максвелла и материальных уравнений.

Решение:

Уравнения Максвелла для вакуума, в котором нет свободных зарядов ($\rho =0$) и токов ($\overrightarrow=0$) имеют вид:

материальные уравнения при этом:

Применим операцию rot к уравнению (1.1), и используем материальные уравнения из системы (1.5), получим:

В выражении (1.6) можно изменить порядок дифференцирования в правой части выражения, так как пространственные координаты и время — независимые переменные, следовательно, имеем:

Учтем, что $rotrot\overrightarrow=graddiv\overrightarrow—<\nabla >^2\overrightarrow$ , выражения (1.2) и (1.3), получаем:

Задание: Для плоской световой волны можно записать, что $\overrightarrow\left(\overrightarrow,\ t\right)=\overrightarrow\overrightarrow\right)\right)(2.1)\ >,\ \overrightarrow\left(\overrightarrow,\ t\right)=\overrightarrow\overrightarrow\right)\right)\ >\left(2.2\right),$ где $\overrightarrow=const,\ \overrightarrow=const.$ Покажите, что векторы $\overrightarrow\bot \overrightarrow\bot \overrightarrow$.

Решение:

За основу решения задачи примем систему уравнений Максвелла, записанную в виде:

Подставим выражения (2.1) и (2.1) в уравнения системы (2.3), используя $\nabla e^\overrightarrow>=i\overrightarrow\nabla e^\overrightarrow>,\ \frac<\partial ><\partial t>e^<-i\omega t>=-i\omega e^<-i\omega t>$, получим соотношения:

\[-\overrightarrow\times \overrightarrow=\omega <\mu >_0<\varepsilon >_0\overrightarrow\ \left(2.4\right),\] \[\overrightarrow\times \overrightarrow=\omega \overrightarrow\ \left(2.5\right),\] \[\overrightarrow\cdot \overrightarrow=0\ \left(2.6\right),\] \[\overrightarrow\cdot \overrightarrow=0\ \left(2.7\right).\]

Ответ: Выражения (2.6) и (2.7) показывают, что векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ плоской световой волны перпендикулярны вектору $\overrightarrow$, то есть направлению распространения. Выражение (2.4)и (2.5) указывают на то, что $\overrightarrow$ $\bot $ $\overrightarrow$.

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Классическая теория света

Волновая природа света

В классической теории свет рассматривают как электромагнитную волну. Данная теория свои истоки берет в работах Дж. Максвелла об электромагнитных волнах. Ученый в теории доказал, что электромагнитные волны существуют, при этом в вакууме свет распространяется со скоростью, которая равна:

где $<\varepsilon >_0=8,85\cdot <10>^<-12>\frac<Ф><м>$ — электрическая постоянная; $<\mu >_0=4\pi \cdot <10>^7\frac<Гн><м>$ — магнитная постоянная.

Из теории Максвелла следовало, что электромагнитные возмущения распространяются в вакууме со скоростью, равной $c=\frac<1><\sqrt<<\varepsilon >_0<\mu >_0>>.\ $ Эту скорость назвали электродинамической постоянной. Ее величину экспериментально получили В. Е. Вебер и Р.Г. Кольрауш в середине XIX века.($c=3,1\cdot <10>^8\frac<м><с>$). К тому времени Физо измерил скорость света в вакууме и получил величину, равную $=3,15\cdot <10>^8\frac<м>.\ $ Получилось, что электродинамическая постоянная и скорость света практически совпали.

Кроме того из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны являются поперечными. Как показали эксперименты Юнга, рассматривавшего поляризацию световых волн, волны света, так же поперечны.

Из сказанного выше мы, как и Максвелл можем сделать вывод: волны света — это электромагнитные волны.

Экспериментально то, что электромагнитные волны существуют, показал Г. Р. Герц в конце XIX века. Исследователь наблюдал отражение, преломление, поляризацию полученных волн, возможность электромагнитных волн интерферировать.

И так, электромагнитная природа света установлена из результатов совпадения свойств электромагнитных волн, которые описывают уравнения Максвелла и свойств света. Световое излучение — это электромагнитные волны длины, которых находятся в диапазоне: $0,38\le \lambda \le 0,77\ (мкм)$.

Ограничения волновой теории света

Классическая электромагнитная теория света ответила на ряд вопросов, на которые не могла ответить теория упругого эфира, господствовавшая в физике XIX века. Был сделан вывод о том, что данная теория позволила символически решить вопрос о природе света. Было принято, что уравнения Максвелла передают численные соотношения между величинами и явлениями, но не имеют четкого физического истолкования символов, входящих в соответствующие выражения. Полагалось, что после определения механических свойств эфира система уравнений Максвелла полностью объяснят все световые явления. Через некоторое время сама гипотеза механического эфира была отвергнута. Так как классическая физика не имеет возможности объяснить явления атомного масштаба, необходимо применять квантовые представления. Классическая теория, например, не может объяснить энергетический спектр абсолютно черного тела. Использование представлений о свете, как потоке корпускул, требуется для объяснения некоторых световых эффектов (фотоэффект, эффекта Комптона и др.). В настоящее время считают, что полная теория света — это корпускулярно волновая теория.

Используя волновую теорию света, объясняют законы распространения света (отражение, преломление, интерференцию, дифракцию и т.п).

Уравнение световой волны

В электромагнитной волне колебания выполняют векторы магнитной индукции и напряженности ($\overline\ <\rm и>\ \overline$). Эксперименты показывают, что действия света вызывают колебания $\overline$. Часто говорят о световом векторе, подразумевая под ним вектор $\overline$. Изменение в пространстве и времени проекции светового вектора на направление распространения волны можно описать при помощи выражения:

где $E_m$ — величина амплитуды светового вектора (для плоской волны $E_m=const,\ $для сферической — $E_m\sim \frac<1>$), $k$ — волновое число, $r$ — расстояние, по направлению распространения волны.

Абсолютным показателем преломления среды (обозначаемым как $n)\ является:$

где $v-$ фазовая скорость волны.

Тогда следуя классической волновой теории:

где для прозрачных веществ $\mu \approx 1.$ Выражение (4) реализует взаимосвязь оптических и электромагнитных свойств вещества. Величина $\varepsilon $ (диэлектрическая проницаемость вещества) зависима от частоты колебаний электрического поля. Это является объяснением существования дисперсии света (зависимости показателя преломления от частоты).

Показатель преломления ($n$) характеризует оптическую плотность вещества.

Длина волны света в веществе ($\lambda $) связывается и длина волны в вакууме ($<\lambda >_0$) соотносят как:

Корпускулярные свойства света

В соответствии с корпускулярной (фотонной) теорией света, свет является потоком фотонов, которые имеют энергию, массу и импульс.

Энергия фотона равна:

где $h=6,62\ \cdot <10>^<-34>Дж\cdot с$ — постоянная Планка, $\nu $ — частота волны.

Масса фотона ($m_f$):

Фотонная теория объясняет явления взаимодействия света с веществом (например, дисперсию света, рассеяние, фотоэффект).

Примеры задач с решением

Задание. Уравнение плоской световой волны представлено в экспоненциальном виде: $\overline\left(\overline,\ t\right)=\overline<\exp \left(-i\left(\omega t-\overline\overline\right)\right)\ >,\ \overline\left(\overline,\ t\right)=\overline<\exp \left(-i\left(\omega t-\overline\overline\right)\right)\ >,$ где $\overline=const,\ \overline=const.$ Докажите, что световая волна является поперечной. Покажите, что векторы $\overline\bot \overline\bot \overline$.

Решение. Доказать, что световая волна является поперечной, значит, показать, что: $\overline\bot \overline\bot \overline$, где $\overline$ — волновой вектор.

В качестве основы для решения возьмем систему уравнений Максвелла, которую запишем в дифференциальном виде (при отсутствии токов и зарядов):

\[-\overline\times \overline=\omega <\mu >_0<\varepsilon >_0\overline\ \left(1.2\right),\] \[\overline\times \overline=\omega \overline\ \left(1.3\right),\] \[\overline\cdot \overline=0\ \left(1.4\right),\] \[\overline\cdot \overline=0\ \left(1.5\right).\]

Из формул (1.4) и (1.5) следует, что векторы $\overline$ и $\overline$ нормальны к волновому вектору $\overline$, который определяет направление распространения волны. Из формул Выражение (1.2) и (1.3) очевидно, что векторы $\overline$ и $\overline$ перпендикулярны.

Задание. Какова длина волны $\lambda $ фотона, если его импульс равен импульсу электрона, движущегося со скоростью равной $v$? Массу электрона считайте известной.

Решение. Если считать, что электрон обладает скоростью много меньшей скорости света, то его массу будем считать постоянной, импульс равным:

Импульс фотона определим как:

По условию $p_f=p_e$. Энергия фотона равна:

Ответ. $\lambda =\frac$