Волновое уравнение продольной и поперечной

Продольные и поперечные волны

Отвлечемся от внутреннего строения вещества для того, чтобы исследовать законы распространения механических волн. Вещество будем рассматривать как сплошную среду, непрерывно изменяющуюся в пространстве.

Частицей, изучая колебания, будем называть малый элемент объема среды, размеры которого много больше, чем расстояния между молекулами, при этом частицу среды принимаем за материальную точку.

Рассматривая механические волны, будем считать вещества, в которых они распространяются, упругими, внутренние силы, возникающие в них при малых деформациях, пропорциональными величине деформации.

При возбуждении колебания, в каком- либо месте упругой среды, в результате взаимодействия частиц среды, оно распространяется в веществе от точки к точке с некоторой конечной скоростью. Процесс распространения колебаний называют волной. Важным свойством волнового процесса является то, что в нем не происходит переноса массы, каждая частица выполняет колебания около положения равновесия. В волне от частицы к частице передается состояние колебательного движения и энергия колебаний. Волна переносит энергию.

В зависимости от направления колебаний частицы вещества по отношению к направлению распространения волны, волны делят на продольные и поперечные.

Продольные волны

Если частицы совершают колебания в направлении распространения волны, то такую волну называют продольной.

Продольные волны распространяются в веществе, в котором возникают силы упругости, при деформации растяжения и сжатия в веществе в любом агрегатном состоянии.

Так, например, волны звука, распространяющиеся в воздухе, относят к продольным волнам. Продольные волны, имеющие частоты от 17 до 20

000 Гц называют звуковыми. Скорость распространения акустических волн зависит от свойств среды и ее температуры.

При распространении продольной волны в среде возникают чередования сгущений и разрежений частиц, перемещающихся в направлении распространения волны со скоростью $v$. Все время существования волны, элементы среды выполняют колебания у своих положений равновесия, при этом разные частицы совершают колебания со сдвигом по фазе. В твердых телах скорость распространения продольных волн больше, чем скорость поперечных волн.

Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях равна:

где $K$ — модуль объемной упругости вещества; $\rho =const$ — плотность среды. В газах формула (1) справедлива, если избыточное давление много меньше, чем равновесное давление невозмущенного газа.

Скорость распространения продольных волн в тонком стержне, вызванных его продольным растяжением и сжатием равна:

где $E$ — модуль Юнга вещества стержня.

Поперечные волны

Поперечной волной называют такую волну, в которой колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.

Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Следовательно, в жидкостях и газах механических поперечных волн не наблюдают. Поперечные механические волны возникают в твердых телах. Примером таких волн являются волны, которые распространяются в натянутых струнах.

Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде можно вычислить как:

где $G$ — модуль сдвига среды; $\rho $ — плотность вещества.

Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.

Приведенная здесь скорость распространения упругих волн называется фазовой скоростью.

Уравнение продольной и поперечной волны

Основной задачей при изучении волн является установление закона изменения во времени и пространстве физических величин, которые однозначно характеризуют движение волны. При рассмотрении упругих волн такой величиной служит, например, смещение ($s$) частиц среды от их положений равновесия. Функция $s$ в зависимости от координат пространства и времени называется уравнением волны.

Самым простым видом волн являются гармонические волны. В таких волнах параметры $s$ для всех частиц среды, которые охвачены волной, совершают гармонические колебания с одинаковыми частотами. Для реализации данного волнового процесса необходимо, чтобы источник гармонических волн совершал незатухающие гармонические колебания.

Уравнение одномерной волны записывают как:

$k$ — волновое число; $\lambda \ $ — длина волны; $A$ — амплитуда волны в точке (если среда не поглощает энергию, то амплитуда колебаний совпадает с амплитудой колебаний источника волн); $\left[\omega t-kx+\varphi \right]$ — фазой волны; $\omega $- циклическая частота колебаний; $\varphi $ — начальная фаза.

Примеры задач с решением

Задание: Поперечная волна распространяется по натянутой струне со скоростью $v=2\frac<м><с>$, период колебаний точек струны равен T= 1 с, амплитуда колебаний составляет 0,05 м. Какими будут смещение и скорость малого элемента струны, который находится на расстоянии $x_1=1\ $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c?

Решение: Основой для решения задачи служит уравнение одномерной волны:

где $s$ — смещение точки струны, совершающей колебания; $x$ — расстояние от источника волны до рассматриваемой точки; $k=\frac<\omega >$ — волновое число; $v$ — скорость распространения волны.

Циклическую частоту $\omega $ найдем (при T=1 c) как:

Тогда волновое число при $v=2\frac<м><с>$ равно:

Уравнение для нашей волны в учетом данных задачи приобретет вид:

Смещение точки струны, находящейся на расстоянии $x_1=1\ $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c будет равно:

Скорость рассматриваемой точки струны найдем как:

Ответ: $s_1=-0,05$ м; $\frac