Волновое уравнение скалярный и векторный потенциалы

Тема 11. Электродинамические потенциалы. Основные теоремы и принципы электродинамики

Постановка задач в электродинамике. Скалярный и векторный электродинамические потенциалы. Уравнения Даламбера для электродинамических потенциалов. Уравнения Пуассона и Лапласа. Связь электродинамических потенциалов с векторами ЭМП. Решение неоднородных уравнений Даламбера для электродинамических потенциалов. Запаздывающие потенциалы.

Применение электродинамических потенциалов в анализе ЭМП.

Основные теоремы и принципы в теории гармонических полей. Магнитные токи и заряды. Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Теорема единственности для внешней и внутренней задач электродинамики. Принцип эквивалентности. Различные формулировки принципа эквивалентности. Лемма Лоренца. Сопряженная лемма. Теорема взаимности.

Указания к теме

Необходимо выучить определения скалярного и векторного потенциалов, обратить внимание на их связь с векторами и энергией ЭМП, а также на применение в анализе ЭМП; уяснить понятие запаздывающего потенциала.

Пользуясь теоремой Пойнтинга о балансе энергии, можно определить дополнительные условия, наложение которых сообщает решениям уравнений Максвелла физическую определенность (единственность).

Следует выучить формулировки теорем единственности и взаимности, принципов эквивалентности и двойственности, обратить внимание на их место в теории ЭМП.

Основные сведения

При решении задач излучения необходимо решать систему уравнений Максвелла при наличии сторонних источников ЭМП. Введение электродинамических потенциалов позволяет упростить расчет ЭМП излучающих систем. Из условия соленоидальности магнитного поля (2.8) можно записать:

Þ , (11.1)

где введенную функцию называют векторным потенциалом.

Подстановка выражения (11.1) в (2.6) позволяет связать с :

или . (11.2)

Из условия потенциальности электростатического поля

Þ , (11.3)

где введенную функцию j называют скалярным потенциалом (в случае электростатического поля функция jявляется скалярным электрическим потенциалом)[1, 11].

Векторы ЭМП можно выразить через и j :

, . (11.4)

Волновые уравнения для электродинамических потенциалов.Подставляя выражение (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем

. (11.5)

Удобно выбрать div так, чтобы в уравнении (11.5) слагаемое в скобках оказалось бы равным нулю

. (11.6)

Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона [1–3, 11].

С учетом выражения (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для потенциалов и j

; (11.7)

. (11.8)

После решения уравнений (11.7) и (11.8) для конкретных исходных данных векторы и находятся после подстановки и j в (11.4).

В случае стационарного магнитного поля можно считать потенциальной энергией токов, в то же время j связан с потенциальной энергией зарядов в электростатике [1–3].

При решении задач излучения с целью уменьшения числа неизвестных иногда вводят вектор Герца [12] ( , ).

, . (11.9)

В классической электродинамике и j – лишь вспомогательные величины, так как для представления ЭМП необходим переход к и . В квантовой электродинамике и j считаются фундаментальными величинами [1–3].

Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве.Решение уравнений (11.7) и (11.8) в безграничном пространстве упрощается. В пространстве вне точечного источника r_ст = 0.

Для точечного заряда в ССК и ЦСК решение имеет вид [1–4]

. (11.10)

При v®¥ (мгновенное распространение действия ЭМП) из уравнений (11.8) получается уравнение С. Пуассона [1, 6, 11] : .

При точках незаряженной области (r = 0) уравнение Пуассона (11.15) переходит в уравнение П. Лапласа [6, 11] : .

Волновое уравнение для векторного потенциала имеет вид [1–3, 11]

(11.11)

Полученные решения (11.10) и (11.11) отражают конечность скорости распространения ЭМП от своих источников. В точке наблюдения значения электродинамических потенциалов (а значит, и векторов ЭМП) определяются значением не в текущий момент времени t, а в предшествующий момент t – r/v. Поэтому решения (11.10) и (11.11) называют запаздывающими потенциалами. Время запаздывания r/v как раз показывает, какое время требуется ЭМВ, чтобы пройти расстояние r с конечной скоростью v [11].

Сравнивая уравнения (11.10) и (11.11) с (5.5) и (5.6), можно сделать вывод, что полученные решения имеют характер сферических волн.

При решении задач электродинамики выделяют внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренней называется задача определения ЭМП внутри области V, ограниченной замкнутой поверхностью S (рис. 11.1), при заданных на ней граничных условиях для векторов ЭМП. Примеры внутренней задачи – определение ЭМП в объемном резонаторе, определение функции распределения тока в антенне заданной конструкции.

Внешняя задача электродинамики заключается в решении уравнений Максвелла для неограниченного пространства вне области V, ограниченной замкнутой поверхностью S , при наличии источников ЭМП. Примеры внешней задачи – определение ЭМП антенны в свободном пространстве при известном распределении тока в антенне, решение задач дифракции.

При постановке задач электродинамики необходимо ввести начальные и граничные условия, сообщающие этим задачам физическую определенность [1]. Векторы ЭМП не могут иметь произвольную зависимость от координат и времени. Например, есть ограничения на скорость убывания амплитуд и .

Из закона сохранения энергии следует [1], что в пространстве без потерь каждый из векторов и должен убывать не медленнее, чем 1/r . Это условие называется условием излучения на бесконечности [1]:

= 0 ; = 0 . (11.12)

Условия (11.12) эквивалентны условиям излучения Зоммерфельда

= 0 ; = 0 . (11.13)

Знак при вторых слагаемых в уравнениях (11.13) определяет, что условия записаны для ЭМВ, которая расходится (удаляется) от источника [1, 5]. При наличии потерь в пространстве, которые учитываются коэффициентом затухания a, векторы ЭМП убывают быстрее – пропорционально exp(–ar)/r.

Существуют принципы и теоремы электродинамики, которые позволяют существенно упростить решение задач электродинамики и теории антенн.

Теорема единственности решений уравнений Максвелла.Методы решения уравнений ЭМП могут быть различными, поэтому необходимо доказать, что решение, полученное любым методом, является единственным. В учебных пособиях [1, 12] приведено доказательство того, что если при решении уравнений Максвелла при определенных начальных и граничных условиях получены значения векторов ЭМП ( и ), то это решение будет единственным.

Принцип двойственности. Для решения задач теории ЭМП удобно ввести понятия магнитных токов и зарядов. Как отмечалось ранее, эти величины являются фиктивными и вводятся как эквивалент действия электрических токов.

При наличии магнитных источников уравнения Максвелла (2.20)–(2.21) уступают место следующим [1, 13]:

= = , , (11.14)

= = , . (11.15)

где и – плотности сторонних электрического и магнитного токов соответственно; s_м – удельная эквивалентная магнитная проводимость; и – объемные плотности электрического и магнитного зарядов.

Сопоставляя уравнения Максвелла и выражения (11.14)–(11.15), нетрудно убедиться, что одни полностью переходят в другие при следующей замене:

® , ® , ® , ® , ® , e_a « µ_a , s_э « s_м,

, ® – , ® – , ® – , ® – , ® – . (11.16)

Следует отметить, что размерности эквивалентных величин несколько отличаются от обычных в системе СИ. Оказывается, что измеряется в вольтах на метр квадратный, а не в амперах на метр квадратный, как , I_м – в вольтах (размерность U), Q_м – в веберах (размерность Ф), s_м – в омах на метр (размерность удельного сопротивления) [1, 7], то есть размерности прямой и обратной замены отличаются как сопротивление и проводимость!

Таким образом, если найдено ЭМП заданных электрических источников, то достаточно сделать замену (11.16) в готовом решении задачи, и это непосредственно приведет к выражению ЭМП излучения магнитных источников.

Общий смысл принципа двойственности состоит в том, что при определенных условиях электрическое и магнитное поля «меняются ролями». Кроме того, симметрия системы уравнений Максвелла (11.14)–(15.9) подчеркивает равноправие электрических и магнитных составляющих в переменном ЭМП.

Лемма Лоренца. Пусть в некоторой линейной среде имеется два электрических источника, характеризуемых функциями плотности стороннего электрического тока и соответственно (рис. 11.2). После преобразований

. (11.17)

Интегрируя уравнение (11.17) по области V, ограниченной поверхностью S, охватывающей источники ЭМП, с учетом теоремы Остроградского – Гаусса (2.11) получим

. (11.18)

Соотношения (11.17) и (11.18) – это соответственно дифференциальная и интегральная формулировки леммы Лоренца, устанавливающей важные связи между полями двух источников.

В случае свободного пространства в дальней зоне источников (S®∞) левая часть соотношения (11.18) стремится к нулю [1, 5, 6], а это приводит к таким соотношениям:

, . (11.19)

Принцип взаимности разделенных источников. В случае, когда источники разделены в пространстве, первый источник расположен в области V₁, а второй – в области V₂ (рис. 11.2), соотношения (11.19) принимают форму

. (11.20)

Интеграл справа можно истолковать как некоторую характеристику взаимодействия ЭМП первого источника с ЭМП второго; аналогичный смысл имеет интеграл слева. Очевидно, что характеристики такого рода равны независимо от типа источников и изотропных сред, в которых они расположены.

Соотношение (11.20) выражает принцип взаимности, подразумевая пространственно разделенные источники и их поля.

Для двух линейных токов из выражения (11.20) следует [1]

, (11.21)

где и представляют собой э. д. с., наводимые на каждом из линейных элементов (I1) и (I2) полем другого источника.

Равенство (11.21) можно представить в другой форме:

Þ , (11.22)

где и имеют смысл взаимных сопротивлений.

Принцип взаимности проявляется в том, что э. д. с., наводимая на первом элементе заданным током второго, оказывается такой же, как и э. д. с. на втором элементе при равном токе первого [1].

Э. д. с., наводимая в приемной антенне в зависимости от ее ориентации, изменяется по тому же закону, что и ЭМП в дальней зоне, создаваемое этой антенной в режиме передачи. То есть направленность действия антенны при приеме и передаче одинакова. В теории антенн принцип взаимности позволяет использовать характеристику направленности передающей антенны (ДН) при использовании этой антенны в качестве приемной, а также использовать измеренную характеристику ДН приемной антенны и в режиме передачи.

Среды, устройства и системы, в которых выполняется принцип взаимности, называют взаимными [1].

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 11, 15, с. 55–59, 83–90; 2, с. 75–78, 123–126, 132–139, 150–152; 3, гл. 11, с. 51–55; 4, с. 47–50; 5, с. 21–24, 52–55, 223–239; 6, с. 128–138, 172, 205–212; 7, с. 63–67, 244–279; 8, с. 18–25, 57–61; 9, с. 60–61, 143–154, 157–159; 10, с. 68–70; 11, с. 61–75, 121–125; 12, с. 63–65, 94–98, 106–132; 13, с. 134–140, 150–155, 165–168, 238–241; 32, с. 13–17; 34, с. 5–10; 35, с. 11–13; 36, с. 9–12].

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение электродинамическим потенциалам ЭМП.

2. Что дает введение электродинамических потенциалов?

3. Почему потенциалы называют «запаздывающими»?

4. Существует ли связь электродинамических потенциалов с энергией ЭМП?

5. С помощью какого из электродинамических потенциалов можно охарактеризовать потенциальную энергию зарядов в электростатическом поле?

6. Какой потенциал связан с потенциальной энергией токов в случае стационарного магнитного поля?

7. Каково место электродинамических потенциалов в теории ЭМП и теории антенн?

8. Укажите условия калибровки волновых уравнений для электродинамических потенциалов. Зачем нужны условия калибровки?

9. Можно ли скалярный потенциал назвать «электростатическим»?

10. Существуют ли магнитные токи и заряды?

11. Дайте определение внешней и внутренней задач электродинамики.

12. В чем смысл принципа двойственности?

13. Назовите формулировку теоремы единственности. Какие требования предъявляются к функциям, описывающим ЭМП для выполнения теоремы единственности?

14. Дайте формулировку принципа эквивалентности.

15. В чем заключается смысл теоремы взаимности?

Вывод волнового уравнения для векторного потенциала. Волновое уравнение для векторного потенциала в лоренцевской и кулоновской калибровках

, . (11.4)

Подставляя (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной линейной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем:

. (11.5)

Для учета потерь проводимости в левую часть (11.5) следует добавить слагаемое [12]. Для однозначного определения необходимо задать его соленоидальную и потенциальную части (см. подраздел 2.5).

Потенциальную часть ( ) можно определить произвольно. Удобно выбрать так, чтобы в (11.5) исчезло слагаемое в скобках.

. (11.6)

Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона.

С учетом (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для электродинамических потенциалов [2].

. (11.7)

. (11.8)

После решения (11.7) и (11.8) для конкретных исходных данных векторы и находятся после подстановки и j в (11.4). В магнитостатике можно считать потенциальной энергией токов, также как j связан с потенциальной энергией зарядов в электростатике [3].

Если расписать (11.7) в декартовых координатах, получатся три скалярных уравнения, абсолютно подобных (11.8).

Реален ли , или это только лишь «полезное приспособление» для расчета ЭМП? В классической электродинамике и j – лишь вспомогательные величины, поскольку для реального представления ЭМП нам все равно необходим переход к векторам и .

Любопытное доказательство реальности , как физического поля приводится в [3]. Векторный потенциал может существовать, даже если =0. Как известно из физики, магнитное поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Векторные линии представляют собой концентрические окружности вокруг соленоида, подобно векторным линиям вокруг проводника с током. Для того, чтобы определить наличие тока в соленоиде (а также магнитного поля в соленоиде) достаточно обойти его по замкнутому пути, даже не приближаясь.

Проанализируем результаты опыта, приведенного в [3, т. 6, стр. 22]. Через две очень близко расположенные на экране весьма узкие щели пропускаются потоки электронов от точечного источника. На некотором расстоянии от экрана анализируют интерференционную картину. Между щелями за экраном расположен миниатюрный соленоид. Когда через соленоид пропускают ток, интерференционная картина смещается. Поскольку вне соленоида =0, получается, что силовое действие на потоки электронов оказывает именно поле [3].

В квантовой электродинамике электродинамические потенциалы считаются фундаментальными величинами, и векторы и j вытесняют из записи физических законов и [3].

Инвариантность волнового уравнения для векторного потенциала относительно градиентных преобразований.

Инвариантность векторного потенциала

Рассмотрим уравнения, которые определяют понятия скалярного и векторного потенциалов.
На основании данных уравнений можно утверждать ,что векторный потенциал определён с точностью до градиента скалярной функции— например функции «х» — то есть =

А’ = А + grad(x)

Действительно =

Данное равенство справедливо в силу того, что ротор градиента равен нулю.

Таким образом векторные потенциалы Aи A’ приводят к одному и тому же значению вектора индукции B

Инвариантность волнового уравнения для скалярного потенциала относительно градиентных преобразований. Волновое уравнение в лоренцевской и кулоновской калибровках.

Инвариантность скалярного потенциала

Теперь выясним — как должен преобразовываться скалярный потенциал ϕ, чтобы вектор E не менялся.
С учётом определения скалярного потенциала =

а также на основании ранее упоминавшегося равенства =

А’ = А + grad(x)

Запишем =

На основании предыдущего равенства можно сделать вывод , что преобразования скалярного потенциала вида:

не меняют значения электрического поля (вектора напряжённости электрического поля).

, . (11.4)

4.3. Электродинамические векторный и скалярный потенциалы

Для удобства исследования электромагнитного (так же как и при рассмотрении статических и стационарных полей) поля вводят в рассмотрение векторный магнитный потенциал и скалярный электрический потенциал.

Естественно, что при этом эти потенциалы являются функциями не только координат, но и времени. При этом векторный магнитный потенциал связан с вектором магнитной индукции посредством уравнения (3.6) (что вытекает из закона непрерывности магнитного потока), а скалярный потенциал электромагнитного поля U удовлетворяет следующему уравнению:

Кроме данного уравнения (с целью упрощения) скалярный потенциал связывают с векторным потенциалом посредством ввода так называемого калибровочного условия

.

После подстановки этих потенциалов в уравнения Максвелла и некоторых преобразований (с учетом условия (4.10)), получают для них уравнения Даламбера

(4.12)

Здесь – плотность тока проводимости.

В области, где нет свободных зарядов (r=0) и нет токов проводимости и переноса уравнения (4.11) и (4.12) приобретают вид волновых уравнений:

Переменное электромагнитное поле создается токами и зарядами, зависящими не только от координат, но и от времени (r=r(x,y,z,t), d=d(x,y,z,t), поэтому решение уравнений (4.11) и (4.12) в сферической системе координат может быть представлено в следующем виде:

Здесь – значение вектора плотности тока в элементе объема dv в момент времени (t-r/u), предшествующий моменту времени t, в который определяется векторный потенциал; – значение объемной плотности заряда в момент времени (t-r/u), предшествующий моменту времени t, в который определяется U.

В связи с этим, скалярный U и векторный А потенциалы, выраженные формулами (4.13) и (4.14) называют электродинамическими запаздывающими потенциалами.

Наиболее часто понятием запаздывающих потенциалов пользуются в радиотехнике при рассмотрении вопросов, связанных с излучением электромагнитной энергии.